Keyfi boyutta Hamilton sistemleri için doğrusal kararlılığın kombinatoriği: GIT dizisi: düşük

Bağlantı Tablosu

• Soyut
• giriiş
• Ön Hazırlıklar
• B imzası
• GIT dizisi: düşük boyutlar
• GIT dizisi: keyfi boyut
• Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi, iyileştirmeler ve Referanslar

4. GIT dizisi: düşük boyutlar

Şimdi [AFKM]'deki açıklamayı takiben periyodik yörüngelerin incelenmesinde küresel topolojik yöntemleri tartışıyoruz. Bu yöntemler şunları kodlar: çatallanmalar; istikrar; özdeğer konfigürasyonları; düzenli ailelerin varlığının önündeki engeller; ve B işaretleri görsel ve kaynak açısından verimli bir şekilde.

GIT dizisi, tarafından verilen haritalar ve boşluklar dizisidir.

Daha sonra, yukarıdakilere göre, kararlılık noktası, GIT harita dizisinin verilen matrise uygulanmasının sonucudur.

4.1. GIT dizisi: 2B. En basit durumla, yani iki serbestlik derecesine sahip otonom Hamiltonyen durumuyla başlıyoruz, böylece indirgenmiş monodromi matrisi Sp(2) = SL(2, R)'deki bir öğedir.

Broucke kararlılık diyagramı bu durumda basitçe üç bileşene bölünmüş gerçek çizgidir; bkz. Şekil 1. İki yörünge diyagramın farklı bileşenlerinde yer alıyorsa, diyagramın topolojisi, aralarındaki herhangi bir yolun ±1 özdeğerlerini (sırasıyla çatallanmaya karşılık gelen) geçmesi gerektiğini ima ettiğinden, onları birleştiren herhangi bir ailede her zaman çatallanmalar vardır. veya periyodu ikiye katlayan çatallanma).

Stabilite indeksinin, Şekil 1'in orta katmanındaki iki eliptik dalı birlikte "çöktürdüğü" düşünülebilir. Bu iki dal, Kerin işaretleri [Kre2; Kre3]. Simetrik yörüngeler için artık her hiperbolik dalın ikiye ayrıldığı ekstra bir üst katman var ve üst katmandan orta katmana doğru çöken bir harita var. Bir daldan diğerine gitmek için (örneğin pozitif hiperbolik dal I'den pozitif hiperbolik dal II'ye), üst katmanın topolojisinin özdeğer 1'in çaprazlanması gerektiğini ima ettiğine dikkat edin. Bu, Broucke diyagramının aynı bileşenine yansıtılsalar bile, kendilerine katılan herhangi bir (simetrik) ailede çatallanmaların beklenmesi gerektiği anlamına gelir. Bu şekilde diyagramın verdiği bilgiler simetrik yörüngeler durumunda çok daha hassas hale gelir. Eğer iki yörüngenin, düzenli bir yörünge silindiri ile birleştirilebiliyorsa niteliksel olarak eşdeğer olduğunu söylersek, GIT dizisindeki uzayların topolojisi, iki yörüngenin niteliksel olarak eşdeğer olmadığı durumları belirlemek için kriterler verir. Özetle:

• Simetrik yörüngeler için B işaretleri “ayrı” hiperbolik dallardır.

• Broucke diyagramının farklı bileşenlerinde iki yörünge bulunuyorsa, onları birleştiren herhangi bir yolda her zaman çatallanmalar vardır.

• Broucke diyagramının aynı bileşeninde iki simetrik yörünge yer alıyorsa ancak B işaretleri farklıysa, bunları birleştiren herhangi bir (simetrik) yolda da çatallanma beklenmelidir[1].

4.2. GIT dizisi: 3D . Şimdi aynı fikri uyguluyoruz, ancak indirgenmiş monodromi matrislerinin Sp(4)'teki elemanlar olduğu, üç serbestlik derecesine sahip otonom Hamilton sistemleri için.

GIT dizisi [FM], Şekil 3'te gösterildiği gibi bu diyagrama iki katman ekler. Üst katman, her hiperbolik öz değer için ortadaki katmana göre iki ekstra dala sahiptir. İlgili uzayların kombinatorikleri ve global topolojisi 2 boyutlu durumdan daha karmaşık olsa da sezgisel fikir hala aynıdır; yani simetrik yörüngeler için bilgi miktarı daha zengindir ve niteliksel eşdeğerliğe kadar daha fazla yörüngeyi ayırt edebiliriz. . Bu boyutta iki çift özdeğerimiz olduğundan, B imzasının bir (±, ±) işaret çifti olduğunu ve bu nedenle üst katmanın Broucke diyagramının her bileşeni üzerinde (gerçek olmayan bileşen hariç) 4 dal bulunduğunu unutmayın.

[1] Teorik olarak yörüngeler Maslov döngüsünden teğetsel olarak çatallanma olmadan geçebileceğinden, matematiksel bir ifade vermek yerine “beklemek” kelimesini dikkatli kullanıyoruz.