Комбинаторика линейной устойчивости гамильтоновых систем произвольной размерности: последовательность GIT: низкая

Таблица ссылок

• Абстрактный
• Введение
• Предварительные сведения
• B-подпись
• Последовательность GIT: малые размеры
• Последовательность GIT: произвольное измерение
• Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

4. Последовательность GIT: малые размеры

Теперь мы обсудим глобальные топологические методы исследования периодических орбит, следуя изложению в [AFKM]. Эти методы кодируют: бифуркации; стабильность; конфигурации собственных значений; препятствия существованию постоянных семей; и B-знаки, визуальным и ресурсосберегающим способом.

Последовательность GIT — это последовательность карт и пространств, заданная формулой

Тогда, согласно вышеизложенному, точка устойчивости является результатом применения последовательности карт GIT к данной матрице.

4.1. Последовательность GIT: 2D. Начнем с простейшего случая, т.е. со случая автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, так что приведенная матрица монодромии является элементом из Sp(2) = SL(2, R).

В таком случае диаграмма устойчивости Брука представляет собой просто реальную линию, разделенную на три компонента; см. рисунок 1. Если две орбиты лежат в разных компонентах диаграммы, то в любом соединяющем их семействе всегда имеются бифуркации, поскольку из топологии диаграммы следует, что любой путь между ними должен пересекать собственные значения ±1 (соответствующие соответственно бифуркации или бифуркация удвоения периода).

Можно подумать, что индекс устойчивости «схлопывает» вместе две эллиптические ветви в среднем слое рисунка 1. Эти две ветви различаются Б-признаками, совпадающими с признаками Крейна [Кре2; Кре3]. Есть дополнительный верхний слой для симметричных орбит, где теперь каждая гиперболическая ветвь разделяется на две, и есть схлопывающаяся карта от верхнего слоя к среднему. Обратите внимание, что для перехода от одной ветви к другой (скажем, от положительной гиперболической ветви I к положительной гиперболической ветви II) топология верхнего слоя подразумевает, что необходимо пересечь собственное значение 1. Это означает, что в любом соединяющем их (симметричном) семействе следует ожидать бифуркаций, даже если они проецируются на одну и ту же компоненту диаграммы Брука. Таким образом, информация, предоставляемая диаграммой, гораздо более уточнена для случая симметричных орбит. Если мы скажем, что две орбиты качественно эквивалентны, если их можно соединить правильным орбитальным цилиндром, то топология пространств в последовательности GIT дает критерии для определения того, когда две орбиты качественно не эквивалентны. Подводить итоги:

• B-знаки «отдельные» гиперболические ветви для симметричных орбит.

• Если две орбиты лежат в разных компонентах диаграммы Брука, на любом соединяющем их пути всегда имеются бифуркации.

• Если две симметричные орбиты лежат в одной и той же компоненте диаграммы Брука, но B-знаки различаются, следует также ожидать бифуркации на любом (симметричном) пути, соединяющем их[1].

4.2. Последовательность GIT: 3D . Теперь применим ту же идею, но для автономных гамильтоновых систем с тремя степенями свободы, для которых приведенные матрицы монодромии являются элементами Sp(4).

Последовательность GIT [FM] добавляет к этой диаграмме два слоя, как показано на рисунке 3. Верхний уровень имеет две дополнительные ветви, чем средний, для каждого гиперболического собственного значения. Хотя комбинаторика и глобальная топология рассматриваемых пространств сложнее, чем в двумерном случае, интуитивная идея остается той же, а именно, что объем информации для симметричных орбит богаче и что мы можем различать больше орбит с точностью до качественной эквивалентности. . Обратите внимание, что поскольку в этом измерении у нас есть две пары собственных значений, B-сигнатура представляет собой пару (±, ±) знаков, и поэтому верхний слой имеет 4 ветви над каждым компонентом диаграммы Брука (кроме невещественного компонента).

[1] Мы осторожно используем слово «ожидать», а не давать математическое утверждение, поскольку теоретически орбиты могут тангенциально проходить через цикл Маслова без раздвоений.