Författare: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Sammanfattning Ackumulering av fysiska fel , , förhindrar exekvering av storskaliga algoritmer i nuvarande kvantdatorer. Kvantfelkorrigering lovar en lösning genom att koda logiska kvantbitar på ett större antal fysiska kvantbitar, så att de fysiska felen undertrycks tillräckligt för att tillåta körning av en önskad beräkning med tolererbar fidelitet. Kvantfelkorrigering blir praktiskt realiserbar när den fysiska felfrekvensen är under ett tröskelvärde som beror på valet av kvantkod, syndrommätningskrets och avkodningsalgoritm . Vi presenterar ett komplett kvantfelkorrigeringsprotokoll som implementerar feltolerant minne baserat på en familj av lågdensitetsparitetstjekkoder (LDPC-koder) . Vårt tillvägagångssätt uppnår en felfrekvensströskel på 0,7 % för den standardiserade kretsbaserade brusmodellen, i nivå med ytkoden , , , som i 20 år var den ledande koden vad gäller felfrekvensströskel. Syndrommätningscykeln för en längd- kod i vår familj kräver underordnade kvantbitar och en krets med djup 8 med CNOT-grindar, kvantbitsinitialiseringar och mätningar. Den nödvändiga kvantbitsanslutningen är en graf med grad 6 som består av två kantdisjunkta plana delgrafer. Specifikt visar vi att 12 logiska kvantbitar kan bevaras under nästan 1 miljon syndromcykler med totalt 288 fysiska kvantbitar, under förutsättning att den fysiska felfrekvensen är 0,1 %, medan ytkoden skulle kräva nästan 3 000 fysiska kvantbitar för att uppnå nämnd prestanda. Våra resultat gör demonstrationer av lågkostnads feltolerant kvantminne inom räckhåll för kvantdatorer på nära sikt. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Huvuddel Kvantberäkning har lockat uppmärksamhet på grund av dess förmåga att erbjuda asymptotiskt snabbare lösningar på en uppsättning beräkningsproblem jämfört med de bästa kända klassiska algoritmerna . Det tros att en fungerande skalbar kvantdator kan hjälpa till att lösa beräkningsproblem inom områden som vetenskaplig upptäckt, materialforskning, kemi och läkemedelsdesign, för att nämna några , , , . 5 11 12 13 14 Det huvudsakliga hindret för att bygga en kvantdator är kvantinformationens bräcklighet, på grund av olika brus källor som påverkar den. Eftersom isolering av en kvantdator från externa effekter och kontroll av den för att inducera en önskad beräkning är i konflikt med varandra, verkar brus oundvikligt. Brus källor inkluderar ofullkomligheter i kvantbitar, material som används, kontrollerande apparatur, fel vid tillståndsförberedelse och mätning samt en mängd externa faktorer som sträcker sig från lokala konstgjorda, såsom strömmande elektromagnetiska fält, till de som är inneboende i universum, såsom kosmiska strålar. Se ref. för en sammanfattning. Medan vissa brus källor kan elimineras med bättre kontroll , material och skärmning , , , verkar flera andra källor vara svåra, om ens möjliga, att avlägsna. Den sista typen kan inkludera spontan och stimulerad emission i fångade joner , , och interaktionen med badet (Purcell-effekten) i supraledande kretsar - som täcker båda ledande kvantteknologierna. Sålunda blir felkorrigering ett nyckelkrav för att bygga en fungerande skalbar kvantdator. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Möjligheten till kvantfeltolerans är väletablerad . Kodning av en logisk kvantbit redundant i många fysiska kvantbitar gör det möjligt att diagnostisera och korrigera fel genom upprepad mätning av syndrom för paritetstjekoperatorer. Felkorrigering är dock endast fördelaktig om hårdvarufeelfrekvensen är under ett visst tröskelvärde som beror på ett visst felkorrigeringsprotokoll. De första förslagen för kvantfelkorrigering, såsom konkatenerade koder , , , fokuserade på att demonstrera den teoretiska möjligheten till feltryckning. I takt med att förståelsen för kvantfelkorrigering och kvantteknologiernas kapacitet mognade, skiftade fokus till att hitta praktiska kvantfelkorrigeringsprotokoll. Detta resulterade i utvecklingen av ytkoden , , , som erbjuder en hög felfrekvensströskel nära 1 %, snabba avkodningsalgoritmer och kompatibilitet med befintliga kvantdatorer som förlitar sig på tvådimensionell (2D) kvadratisk gitterkvantbitsanslutning. Små exempel på ytkoden med en enda logisk kvantbit har redan demonstrerats experimentellt av flera grupper , , , , . Att skala upp ytkoden till 100 eller fler logiska kvantbitar skulle dock vara oöverkomligt dyrt på grund av dess dåliga kodningseffektivitet. Detta ökade intresset för mer generella kvantkoder kända som lågdensitetsparitetstjekkoder (LDPC-koder) . Nyliga framsteg i studiet av LDPC-koder tyder på att de kan uppnå kvantfeltolerans med mycket högre kodningseffektivitet . Här fokuserar vi på studiet av LDPC-koder, eftersom vårt mål är att hitta kvantfelkorrigeringskoder och protokoll som är både effektiva och möjliga att demonstrera i praktiken, med tanke på begränsningarna hos kvantdatorstekniker. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 En kvantfelkorrigeringskod är av LDPC-typ om varje tjekoperator i koden verkar endast på ett fåtal kvantbitar och varje kvantbit deltar i endast ett fåtal tjek. Flera varianter av LDPC-koder har föreslagits nyligen, inklusive hyperboliska ytkoder , , , hypergrafprodukt , balanserade produktkoder , tvåblockskoder baserade på ändliga grupper , , , och kvant Tanner-koder , . De senare visades , vara asymptotiskt "goda" i den meningen att de erbjuder en konstant kodningshastighet och linjärt avstånd: en parameter som kvantifierar antalet korrigerbara fel. Däremot har ytkoden en asymptotiskt noll kodningshastighet och endast kvadratrotsavstånd. Att ersätta ytkoden med en LDPC-kod med hög hastighet och högt avstånd kan ha betydande praktiska implikationer. För det första kan overheaden för feltolerans (förhållandet mellan antalet fysiska och logiska kvantbitar) minskas avsevärt. För det andra visar koder med högt avstånd en mycket skarp minskning av den logiska felfrekvensen: när den fysiska felfrekvensen passerar tröskelvärdet kan mängden effekttryckning som uppnås av koden öka med storleksordningar även med en liten minskning av den fysiska felfrekvensen. Denna egenskap gör LDPC-koder med högt avstånd attraktiva för demonstrationer på nära sikt som sannolikt kommer att operera i närheten av tröskelvärdet. Det ansågs dock tidigare att för att överträffa ytkoden för realistiska brusmodeller, inklusive minnes-, gate- och tillståndsförberedelse- och mätfel, kan det krävas mycket stora LDPC-koder med mer än 10 000 fysiska kvantbitar . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Här presenterar vi flera konkreta exempel på LDPC-koder med hög hastighet och några hundra fysiska kvantbitar, utrustade med en syndrommätningskrets med lågt djup, en effektiv avkodningsalgoritm och ett feltolerant protokoll för att adressera enskilda logiska kvantbitar. Dessa koder visar en felfrekvensströskel nära 0,7%, uppvisar utmärkt prestanda i närheten av tröskelvärdet och erbjuder en 10-faldig minskning av kodnings overhead jämfört med ytkoden. Hårdvarukrav för att realisera våra felkorrigeringsprotokoll är relativt milda, eftersom varje fysisk kvantbit är kopplad via tvåkvantbitsgrindar med endast sex andra kvantbitar. Även om kvantbitsanslutningsgrafen inte är lokalt inbäddbar i ett 2D-gitter, kan den dekomponeras i två planära delgrafer med grad 3. Som vi argumenterar nedan är en sådan kvantbitsanslutning väl lämpad för arkitekturer baserade på supraledande kvantbitar. Våra koder är en generalisering av cykelkoder föreslagna av MacKay et al. och studerade mer i detalj i ref. , , . Vi kallade våra koder för bivariata cykelkoder (BB) eftersom de är baserade på bivariata polynom, som beskrivs i detalj i . Dessa är stabilisatorkoder av Calderbank–Shor–Steane (CSS) typ , som kan beskrivas av en samling sexkvantbits tjek (stabilisator) operatorer bestående av Pauli och . På en hög nivå liknar en BB-kod den tvådimensionella toriska koden . Specifikt kan fysiska kvantbitar i en BB-kod läggas ut på ett tvådimensionellt gitter med periodiska gränsvillkor så att alla tjekoperatorer erhålls från ett enda par av och tjek genom att applicera horisontella och vertikala förskjutningar av gittret. Till skillnad från platt- och hörnstabilisatorerna som beskriver den toriska koden, är tjekoperatorerna i BB-koder inte geometriskt lokala. Dessutom verkar varje tjek på sex kvantbitar snarare än fyra. Vi kommer att beskriva koden med en Tanner-graf så att varje hörn i representerar antingen en datakvantbit eller en tjekoperator. Ett tjek-hörn och ett data-hörn ansluts av en kant om :e tjekoperatorn verkar icke-trivialt på :e datakvantbiten (genom att applicera Pauli eller ). Se fig. för exempel på Tanner-grafer för yt- och BB-koder, respektive. Tanner-grafen för alla BB-koder har grad sex och graf-tjocklek lika med två, vilket innebär att den kan dekomponeras i två kantdisjunkta planära delgrafer ( ). Tjocklek-2 kvantbitsanslutning är väl lämpad för supraledande kvantbitar kopplade med mikrovågsresonatorer. Till exempel kan två planära lager av kopplingar och deras styrlinjer fästas på ovansidan och undersidan av chippet som är värd för kvantbitarna, och de två sidorna kopplas samman. 41 35 36 42 Metoder 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metoder , Tanner-graf för en ytkod, som jämförelse. , Tanner-graf för en BB-kod med parametrarna [] inbäddad i en torus. Varje kant i Tanner-grafen kopplar en data- och en tjek-hörn. Datakvantbitar associerade med registren ( ) och ( ) visas som blå och orange cirklar. Varje hörn har sex incidenta kanter inklusive fyra kortdistanskante (pekande norrut, söderut, österut och västerut) och två långdistanskante. Vi visar bara några långdistanskante för att undvika oreda. Streckade och solida kanter indikerar två planära delgrafer som spänner över Tanner-grafen, se . , Skiss av en Tanner-graf-förlängning för mätning av och enligt ref. , som ansluter till en ytkod. Underordnad kvantbit som motsvarar mätningen kan anslutas till en ytkod, vilket möjliggör last-lagringsoperationer för alla logiska kvantbitar genom kvantteleportering och vissa logiska enhetsoperationer. Denna utökade Tanner-graf har också en implementering i en tjocklek-2 arkitektur genom och kanterna ( ). a b q L q R Metoder c 50 A B Metoder En BB-kod med parametrarna [[ , , ]] kodar logiska kvantbitar till datakvantbitar som erbjuder ett kodavstånd , vilket innebär att varje logiskt fel spänner över minst datakvantbitar. Vi delar upp datakvantbitar i register ( ) och ( ) av storlek /2 vardera. Varje tjek verkar på tre kvantbitar från ( ) och tre kvantbitar från ( ). Koden förlitar sig på underordnade tjek-kvantbitar för att mäta felfrekvensen. Vi delar upp tjek-kvantbitar i register ( ) och ( ) av storlek /2 som samlar in syndrom av och typ, respektive. Totalt förlitar sig kodningen på 2 fysiska kvantbitar. Den netto kodningshastigheten är därför = /(2 ). Till exempel kodar den standardiserade ytkod-arkitekturen = 1 logisk kvantbit till = 2 datakvantbitar för en kod med avstånd och använder − 1 tjek-kvantbitar för syndrommätningar. Den netto kodningshastigheten är ≈ 1/(2 2), vilket snabbt blir opraktiskt eftersom man tvingas välja ett stort kodavstånd, på grund av, till exempel, att de fysiska felen ligger nära tröskelvärdet. Däremot har BB-koder kodningshastigheten ≫ 1/ 2, se Tabell för kodexempel. Såvitt vi vet är alla koder som visas i Tabell nya. Avstånd-12 koden [] kan vara den mest lovande för demonstrationer på nära sikt, eftersom den kombinerar stort avstånd och hög netto kodningshastighet = 1/24. Som jämförelse har avstånd-11 ytkoden en netto kodningshastighet = 1/241. Nedan visar vi att avstånd-12 BB-koden överträffar avstånd-11 ytkoden för det experimentellt relevanta intervallet av felfrekvenser. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r För att förhindra ackumulering av fel måste man kunna mäta felfrekvensen tillräckligt ofta. Detta uppnås genom en syndrommätningskrets som kopplar datakvantbitar i stödet för varje tjekoperator med den respektive underordnade kvantbiten via en sekvens av CNOT-grindar. Tjekkvantbitar mäts sedan och avslöjar syndromvärdet. Tiden det tar att implementera syndrommätningskretsen är proportionell mot dess djup: antalet gallerlager som består av icke-överlappande CNOTs. Eftersom nya fel fortsätter att inträffa medan syndrommätningskretsen exekveras, bör dess djup minimeras. Hela cykeln för syndrommätning för en BB-kod illustreras i fig. . Syndromcykeln kräver endast sju lager av CNOTs oavsett kodlängd. Tjekkvantbitarna initialiseras och mäts i början respektive slutet av syndromcykeln (se för detaljer). Kretsen respekterar den cykliska skiftsymmetrin hos den underliggande koden. 2 Metoder Fullständig cykel av syndrommätningar som förlitar sig på sju lager av CNOTs. Vi ger en lokal vy av kretsen som endast inkluderar en datakvantbit från varje register ( ) och ( ). Kretsen är symmetrisk under horisontella och vertikala förskjutningar av Tanner-grafen. Varje datakvantbit är kopplad via CNOTs med tre *X-*tjek och tre *Z-*tjek kvantbitar: se för mer detaljer. q L q R Metoder Det fullständiga felkorrigeringsprotokollet utför c ≫ 1 syndrommätningscykler och anropar sedan en avkodare: en klassisk algoritm som tar som indata de uppmätta syndromen och ger en gissning av det slutliga felet på datakvantbitarna. Felkorrigering lyckas om den gissade och den faktiska felet sammanfaller modulo en produkt av tjekoperatorer. I detta fall har de två felen samma verkan på ett kodat (logiskt) tillstånd. Därför återför tillämpningen av inversen av det gissade felet datakvantbitarna till det ursprungliga logiska tillståndet. Annars, om det gissade och det faktiska felet skiljer sig åt genom en icke-trivial logisk operator, misslyckas felkorrigeringen och resulterar i ett logiskt fel. Våra numeriska experiment baseras på trosutbredning med en avkodare för ordnad statistik (BP-OSD) föreslagen av Panteleev och Kalachev . Det ursprungliga arbetet beskrev BP-OSD i samband med en leksaksbrusmodell med endast minnesfel. Här N 36 36
