Autori: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Apstraktno Akumulacija fizičkih grešaka , , sprečava izvršavanje velikih algoritama u trenutnim kvantnim računarima. Kvantna korekcija grešaka obećava rešenje kodiranjem logičkih kvantnih bitova u veći broj fizičkih kvantnih bitova, tako da se fizičke greške potiskuju dovoljno da bi se omogućilo izvođenje željenog izračunavanja sa podnošljivom preciznošću. Kvantna korekcija grešaka postaje praktično ostvarljiva kada je stopa greške fizičkih kvantnih bitova ispod granične vrednosti koja zavisi od izbora kvantnog koda, kruga za merenje sindroma i algoritma dekodiranja . Predstavljamo krajnji kvantni protokol za korekciju grešaka koji implementira tolerantan memorijski sistem baziran na porodici kodova sa niskom gustinom pariteta . Naš pristup postiže prag greške od 0,7% za standardni model šuma baziran na kolu, na nivou koda sa površinom , , , koji je 20 godina bio vodeći kod u pogledu praga greške. Ciklus merenja sindroma za kod dužine u našoj porodici zahteva pomoćnih kvantnih bitova i kolo dubine 8 sa CNOT kapijama, inicijalizacijom kvantnih bitova i merenjima. Potrebna konektivnost kvantnih bitova je graf stepena 6 sastavljen od dva planarna podgrafa bez zajedničkih ivica. Konkretno, pokazujemo da se 12 logičkih kvantnih bitova može očuvati skoro 1 milion ciklusa sindroma koristeći ukupno 288 fizičkih kvantnih bitova, pod pretpostavkom stope greške fizičkih kvantnih bitova od 0,1%, dok bi kod površine zahtevao skoro 3.000 fizičkih kvantnih bitova da bi se postigle navedene performanse. Naši rezultati približavaju demonstraciju kvantne memorije sa niskim režijskim troškovima i tolerancijom grešaka na dohvat kvantnih procesora bliske budućnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Glavno Kvantno računarstvo je privuklo pažnju zbog svoje sposobnosti da ponudi asymptotski brža rešenja za skup računarskih problema u poređenju sa najboljim poznatim klasičnim algoritmima . Veruje se da funkcionalni skalabilni kvantni računar može pomoći u rešavanju računarskih problema u oblastima kao što su naučna otkrića, istraživanje materijala, hemija i dizajn lekova, da navedemo samo neke , , , . 5 11 12 13 14 Glavna prepreka izgradnji kvantnog računara je krhkost kvantnih informacija, usled raznih izvora šuma koji na nju utiču. Pošto je izolovanje kvantnog računara od spoljnih efekata i kontrolisanje njega radi postizanja željenog izračunavanja u sukobu jedno sa drugim, šum se čini neizbežnim. Izvori šuma uključuju nesavršenosti u kvantnim bitovima, korišćenim materijalima, kontrolnim aparatima, greške pri pripremi stanja i merenju, kao i razne spoljne faktore u rasponu od lokalnih veštačkih, kao što su lutajući elektromagnetni talasi, do onih svojstvenih Univerzumu, kao što su kosmički zraci. Videti ref. za sažetak. Iako se neki izvori šuma mogu eliminisati boljom kontrolom , materijalima i oklopljavanjem , , , nekoliko drugih izvora se čini teškim, ako je uopšte moguće, da se uklone. Potonji mogu uključivati spontanu i stimulisanu emisiju u zarobljenim jonovima , , i interakciju sa kupatilom (Purcellov efekat) u superprovodnim krugovima—pokrivajući obe vodeće kvantne tehnologije. Stoga, korekcija grešaka postaje ključni zahtev za izgradnju funkcionalnog skalabilnog kvantnog računara. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Mogućnost kvantne tolerancije grešaka je dobro utvrđena . Kodiranje logičkog kvantnog bita redundantno u mnoge fizičke kvantne bitove omogućava dijagnostikovanje i ispravljanje grešaka ponovljenim merenjem sindroma operatorskih provera pariteta. Međutim, korekcija grešaka je korisna samo ako je stopa greške hardvera ispod određene granične vrednosti koja zavisi od specifičnog protokola za korekciju grešaka. Prvi predlozi za kvantnu korekciju grešaka, kao što su konkatenirani kodovi , , , fokusirali su se na demonstraciju teorijske mogućnosti suzbijanja grešaka. Kako je razumevanje kvantne korekcije grešaka i mogućnosti kvantnih tehnologija sazrelo, fokus se pomerio na pronalaženje praktičnih protokola za kvantnu korekciju grešaka. To je rezultiralo razvojem koda površine , , , koji nudi visok prag greške blizu 1%, brze algoritme dekodiranja i kompatibilnost sa postojećim kvantnim procesorima koji se oslanjaju na dvodimenzionalnu (2D) mrežu kvantnih bitova. Mali primeri koda površine sa jednim logičkim kvantnim bitom već su demonstrirani eksperimentalno od strane nekoliko grupa , , , , . Međutim, skaliranje koda površine na 100 ili više logičkih kvantnih bitova bilo bi prohibitivno skupo zbog njegove niske efikasnosti kodiranja. Ovo je podstaklo interesovanje za opštije kvantne kodove poznate kao kodovi sa niskom gustinom pariteta (LDPC) . Nedavni napredak u proučavanju LDPC kodova sugeriše da oni mogu postići kvantnu toleranciju grešaka sa mnogo većom efikasnošću kodiranja . Ovde se fokusiramo na proučavanje LDPC kodova, jer je naš cilj da pronađemo kvantne kodove za korekciju grešaka i protokole koji su istovremeno efikasni i mogući za demonstraciju u praksi, s obzirom na ograničenja tehnologija kvantnog računarstva. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantni kod za korekciju grešaka je tipa LDPC ako svaki operatorski provera koda deluje samo na nekoliko kvantnih bitova, a svaki kvantni bit učestvuje u samo nekoliko provera. Nedavno je predloženo nekoliko varijanti LDPC kodova, uključujući kodove sa hiperboličkom površinom , , , hipergrafski proizvod , uravnotežene kodove proizvoda , dvoblok kodove zasnovane na konačnim grupama , , , i kvantne Tanner kodove , . Potonji su pokazali , da su asimptotski 'dobri' u smislu ponude konstantne stope kodiranja i linearne udaljenosti: parametra koji kvantifikuje broj grešaka koje se mogu ispraviti. Nasuprot tome, kod površine ima asimptotski nultu stopu kodiranja i samo udaljenost kvadratnog korena. Zamena koda površine LDPC kodom visoke stope i velike udaljenosti mogla bi imati značajne praktične implikacije. Prvo, režijski troškovi tolerancije grešaka (odnos između broja fizičkih i logičkih kvantnih bitova) mogli bi se značajno smanjiti. Drugo, kodovi sa velikom udaljenosti pokazuju vrlo oštar pad u stopi logičkih grešaka: kako verovatnoća greške fizičkih kvantnih bitova prelazi graničnu vrednost, stepen suzbijanja grešaka postignut kodiranjem može se povećati za nekoliko redova veličine čak i sa malim smanjenjem verovatnoće greške fizičkih kvantnih bitova. Ova karakteristika čini LDPC kodove sa velikom udaljenosti privlačnim za demonstracije bliske budućnosti koje će se verovatno odvijati u režimu blizu granične vrednosti. Međutim, ranije se verovalo da bi prevazilaženje koda površine za realistične modele šuma, uključujući greške memorije, kapija i pripreme stanja i merenja, moglo zahtevati vrlo velike LDPC kodove sa više od 10.000 fizičkih kvantnih bitova . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ovde predstavljamo nekoliko konkretnih primera LDPC kodova visoke stope sa nekoliko stotina fizičkih kvantnih bitova opremljenih kolom za merenje sindroma male dubine, efikasnim algoritmom dekodiranja i protokolom tolerancije grešaka za adresiranje pojedinačnih logičkih kvantnih bitova. Ovi kodovi pokazuju prag greške blizu 0,7%, pokazuju odlične performanse u režimu blizu granične vrednosti i nude 10 puta smanjenje režijskih troškova kodiranja u poređenju sa kodom površine. Hardverski zahtevi za realizaciju naših protokola korekcije grešaka su relativno blagi, jer je svaki fizički kvantni bit povezan dvokvantnim kapijama sa samo šest drugih kvantnih bitova. Iako graf konektivnosti kvantnih bitova nije lokalno ugradljiv u 2D mrežu, on se može razložiti na dva planarna podgrafa sa stepenom 3. Kao što objašnjavamo u nastavku, takva konektivnost kvantnih bitova je veoma pogodna za arhitekture zasnovane na superprovodljivim kvantnim bitovima. Naši kodovi su generalizacija biciklističkih kodova koje su predložili MacKay i saradnici i detaljnije proučavani u referencama. , , . Naše kodove smo nazvali dvobivarijatni bicikl (BB) jer su zasnovani na dvobivarijatnim polinomima, kako je detaljno opisano u odeljku . Ovo su stabilizatorski kodovi tipa Calderbank–Shor–Steane (CSS) , koji se mogu opisati kolekcijom šestokvantnih operatorskih provera (stabilizatora) sastavljenih od Paulijevih i . Na visokom nivou, BB kod je sličan dvodimenzionalnom toričnom kodu . Konkretno, fizički kvantni bitovi BB koda mogu se postaviti na dvodimenzionalnu mrežu sa periodičnim graničnim uslovima tako da se svi operatorski provere dobijaju iz jednog para i provera primenom horizontalnih i vertikalnih pomeranja mreže. Međutim, za razliku od stabilizatora pločica i čvorova koji opisuju torični kod, operatorski provere BB kodova nisu geometrijski lokalni. Nadalje, svaka provera deluje na šest kvantnih bitova umesto na četiri. Kod ćemo opisati Tannerovim grafom tako da svaki čvor predstavlja ili podatkovni kvantni bit ili operatorski provera. Čvor provere i čvor podataka su povezani ivicom ako -ti operatorski provera deluje netrivijalno na -ti podatkovni kvantni bit (primjenom Paulijevog ili ). Videti sliku za primere Tannerovih grafova kodova površine i BB kodova. Tannerov graf bilo kog BB koda ima stepen čvora šest i debljinu grafa jednaku dva, što znači da se može razložiti na dva planarna podgrafa bez zajedničkih ivica ( ). Konektivnost kvantnih bitova debljine 2 je veoma pogodna za superprovodljive kvantne bitove povezane mikrotalasnim rezonatorima. Na primer, dva planarna sloja konektora i njihove upravljačke linije mogu se pričvrstiti na gornju i donju stranu čipa koji sadrži kvantne bitove, i obe strane spojiti. 41 35 36 42 Metode 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Tannerov graf koda površine, radi poređenja. , Tannerov graf BB koda sa parametrima [[144, 12, 12]] ugrađenog u torus. Svaka ivica Tannerovog grafa povezuje podatkovni i operatorski čvor. Podatkovni kvantni bitovi pridruženi registrima ( ) i ( ) prikazani su plavim i narandžastim krugovima. Svaki čvor ima šest incidentnih ivica, uključujući četiri kratkog dometa (koje idu ka severu, jugu, istoku i zapadu) i dve dugog dometa. Pokazujemo samo nekoliko dugodometnih ivica da bismo izbegli nered. Isprekidane i pune ivice ukazuju na dva planarna podgrafa koji pokrivaju Tannerov graf, videti . , Skica proširenja Tannerovog grafa za merenje i prema ref. , priključeno na kod površine. Ancila koja odgovara merenju može se povezati sa kodom površine, omogućavajući operacije učitavanja-čuvanja za sve logičke kvantne bitove putem kvantne teleportacije i nekih logičkih unitara. Ovaj prošireni Tannerov graf takođe ima implementaciju u arhitekturi debljine 2 kroz i ivice ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode BB kod sa parametrima [[ , , ]] kodira logičkih kvantnih bitova u podatkovnih kvantnih bitova koji nude kodnu udaljenost , što znači da svaka logička greška obuhvata najmanje podatkovnih kvantnih bitova. Delimo podatkovnih kvantnih bitova na registre ( ) i ( ) veličine /2 svaki. Svaka provera deluje na tri kvantna bita iz ( ) i tri kvantna bita iz ( ). Kod se oslanja na pomoćnih kvantnih bitova za merenje sindroma greške. Delimo pomoćnih kvantnih bitova na registre ( ) i ( ) veličine /2 koji prikupljaju sindrome tipa i redom. Ukupno, kodiranje se oslanja na 2 fizičkih kvantnih bitova. Neto stopa kodiranja je stoga = /(2 ). Na primer, standardna arhitektura koda površine kodira = 1 logički kvantni bit u = 2 podatkovnih kvantnih bitova za kod udaljenosti i koristi − 1 pomoćnih kvantnih bitova za merenje sindroma. Neto stopa kodiranja je ≈ 1/(2 2), što brzo postaje nepraktično jer je neophodno izabrati veliku kodnu udaljenost, zbog, na primer, činjenice da su greške fizičkih kvantnih bitova blizu granične vrednosti. Nasuprot tome, BB kodovi imaju stopu kodiranja ≫ 1/ 2, videti Tabelu za primere kodova. Koliko nam je poznato, svi kodovi prikazani u Tabeli su novi. Kod udaljenosti 12 [[144, 12, 12]] je možda najperspektivniji za demonstracije bliske budućnosti, jer kombinuje veliku udaljenost i visoku neto stopu kodiranja = 1/24. Za poređenje, kod površine udaljenosti 11 ima neto stopu kodiranja = 1/241. U nastavku pokazujemo da kod udaljenosti 12 BB nadmašuje kod površine udaljenosti 11 za eksperimentalno relevantan opseg stopa greške. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Da bi se sprečila akumulacija grešaka, mora se moći meriti sindrom greške dovoljno često. Ovo se postiže kolom za merenje sindroma koje povezuje podatkovne kvantne bitove u podršci svakog operatorskog provere sa odgovarajućim pomoćnim kvantnim bitom nizom CNOT kapija. Zatim se pomoćni kvantni bitovi mere, otkrivajući vrednost sindroma greške. Vreme potrebno za implementaciju kola za merenje sindroma je proporcionalno njegovoj dubini: broj slojeva kapija sastavljenih od nepreklapajućih CNOTova. Pošto nove greške nastavljaju da se javljaju dok se kolo za merenje sindroma izvršava, njegova dubina treba da bude minimalna. Potpuni ciklus merenja sindroma za BB kod ilustrovan je na slici . Ciklus sindroma zahteva samo sedam slojeva CNOTova bez obzira na dužinu koda. Pomoćni kvantni bitovi se inicijalizuju i mere na početku i na kraju ciklusa sindroma, respektivno (videti za detalje). Kolo poštuje simetriju cikličnog pomeranja osnovnog koda. 2 Metode Potpuni ciklus merenja sindroma oslanja se na sedam slojeva CNOTova. Dajemo lokalni pogled na kolo koji uključuje samo jedan podatkovni kvantni bit iz svakog registra ( ) i ( ). Kolo je simetrično pri horizontalnom i vertikalnom pomeranju Tannerovog grafa. Svaki podatkovni kvantni bit je povezan CNOT kapijama sa tri *X-*provere i tri *Z-*provere: videti za više detalja. q L q R Metode Potpuni protokol za korekciju grešaka izvodi c ≫ 1 ciklusa merenja sindroma, a zatim poziva dekoder: klasični algoritam koji kao ulaz uzima izmerene sindrome i daje pretpostavku o konačnoj grešci na podatkovnim kvantnim bitovima. Korekcija greške uspeva ako se pretpostavljena i stvarna greška poklapaju modulo proizvod operatorskih provera. U ovom slučaju, dve greške imaju isto dejstvo na bilo koje kodirano (logičko) stanje. Dakle, primena inverzne pretpostavljene greške vraća podatkovne kvantne bitove u početno logičko stanje. U suprotnom, ako se pretpostavljena i stvarna greška razlikuju za netrivijalni logički operator, korekcija greške ne uspeva, što rezultira logičkom gre N
