Авторы:  (1) Агустин Морено;  (2) Франческо Русчелли.  Таблица ссылок   Абстрактный   Введение   Предварительные сведения   B-подпись   Последовательность GIT: малые размеры   Последовательность GIT: произвольное измерение   Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература  Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера и уточнения  Теперь мы объясним, как последовательность GIT топологически кодирует (линейную) устойчивость периодических орбит, и сравним ее с основными понятиями теории Крейна и теоремой Крейна-Мозера об устойчивости. Мы также объясним, как получить теорему А.  Мы следуем изложению книги Экланда [Eke90] (см. также [Ab01]). Рассмотрим линейный симплектический ОДУ   Можно показать, что ОДУ x˙ = JA(t)x (сильно) стабильно тогда и только тогда, когда R(T) (сильно) стабильно [Eke90]. Более того, устойчивость эквивалентна тому, что R(T) диагонализуемо (т.е. все собственные значения полупросты), а его спектр лежит в единичном круге [Eke90].  Теперь рассмотрим эллиптическую пару {λ, λ} собственных значений симплектической матрицы R. Тогда любая другая симплектическая матрица, близкая к R, также будет иметь простые собственные значения в единичной окружности, отличные от ±1 (в противном случае собственное значение должно было бы раздвоиться на два , поскольку каждое собственное значение состоит из четверок, что невозможно, если собственные пространства одномерны). Следовательно, в этой ситуации R сильно устойчив. Случай собственных значений с более высокой кратностью рассматривается с помощью теории Крейна. Всякий раз, когда два эллиптических собственных значения встречаются вместе, это дает критерий того, когда они не могут выйти из круга и перейти в комплексную четверку. Это работает следующим образом.   если x, y — соответствующие собственные векторы. Более того, если мы рассмотрим обобщенные собственные пространства     Если λ — собственное значение симплектической матрицы R с |λ| = 1, то сигнатура (p, q) группы Gλ называется сигнатурой типа Крейна или сигнатурой Крейна группы λ. Если q = 0, т. е. Gλ положительно определена, говорят, что λ положительна по Крейну. Если p = 0, т. е. Gλ отрицательно определена, λ называется отрицательной по Крейну. Если λ либо отрицательна, либо положительна по Крейну, мы говорим, что она определена по Крейну. В противном случае мы говорим, что оно Крейн-неопределенно. Определение А.2. (Крейн-позитивность/отрицательность)  Если λ имеет тип Крейна (p, q), то λ имеет тип Крейна (q, p) [Eke90]. Если λ удовлетворяет условию |λ| = 1 и оно не является полупростым, то легко показать, что оно неопределённо по Крейну [Eke90]. Более того, ±1 всегда являются неопределенными по Крейну, если они являются собственными значениями, поскольку они имеют действительные собственные векторы x, которые, следовательно, G-изотропны, т. е. G(x, x) = 0. Следующие утверждения, первоначально доказанные Крейном в [Kre1; Кре2; Кре3; Kre4] и независимо переоткрытый Мозером в [M78], дает характеристику сильной устойчивости в терминах теории Крейна:     Теорема 3 (Крейна–Мозера). R сильно устойчив тогда и только тогда, когда он устойчив и все его собственные значения определены по Крейну.  См. доказательство в [   ]. Обратите внимание, что это обобщает случай, когда все собственные значения просты, отличны от ±1 и находятся в единичном круге, как обсуждалось выше. Итак, последовательность GIT связана с теорией Крейн следующим образом. Eke90     Предложение А.1 ([ФМ]). Для матрицы Воненбургера сигнатура Крейна совпадает с B-сигнатурой для эллиптических собственных значений.    В качестве простого примера, иллюстрирующего предложение А.1, рассмотрим матрицы Воненбургера  Пример А.3.  Как следствие теоремы Крейна–Мозера и предложения A.1 получаем следующее.       Теорема 4. Пусть R — матрица Воненбургера. Тогда R сильно устойчиво тогда и только тогда, когда оно стабильно и все его собственные значения B-определены.  В более высоких измерениях вопрос о том, может ли данное эллиптическое или гиперболическое собственное значение с высокой кратностью быть преобразовано в комплексную четверку, определяется тем, определена ли его B-сигнатура; см., например, рисунок 9 и замечание 5.2. Это дает топологическое доказательство теоремы Крейна – Мозера во всех измерениях и фактически обобщает его на гиперболический случай в случае матриц Воненбургера, доказывая теорему А во введении.  Рекомендации  [Ab01] Аббондандоло, Альберто. Теория Морса для гамильтоновых систем. Исследовательские заметки Чепмена и Холла/CRC по математике, 425. Чепмен и Холл/CRC, Бока-Ратон, Флорида, 2001. xii+189 стр. ISBN: 1-58488-202-6  [Ay22] Айдын, Ченгиз. От вавилонских лунных наблюдений до множителей Флоке и индексов Конли-Цендера. Препринт arXiv:2206.07803, 2022.  [АФКМ] Айдын, Ченгиз; Фрауэнфельдер, Урс; Ко, Даюнг; Морено, Агустин. Симплектические методы в проектировании космических полетов. Материалы конференции специалистов по астродинамике AAS/AIAA 2023 г., 2023 г.  [Br69] Брук, Р. Устойчивость периодических орбит в эллиптической ограниченной задаче трех тел. AIAA J. 7,1003 (1969).  [Eke90] Экеланд, Ивар. Методы выпуклости в гамильтоновой механике. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 19. Springer-Verlag, Берлин, 1990. x + 247 стр. ISBN: 3-540-50613-6  [FM] Фрауэнфельдер, Урс; Морено, Агустин. О факторах GIT симплектической группы, устойчивости и бифуркациях периодических орбит, Журнал симплектической геометрии. Появиться.  [FMb] Фрауэнфельдер, Урс; Морено, Агустин. О двоякосимметричных периодических орбитах. Небесная механика и динамическая астрономия, 135 (2023), вып. 2, Статья № 20.  [HD98] Ховард, Джеймс Э.; Дуллин, Хольгер Р. Линейная устойчивость естественных симплектических отображений. Физ. Летт. А 246 (1998), вып. 3–4, 273–283.  [HM87] Ховард, JE; Маккей Р.С. Расчет границ линейной устойчивости состояний равновесия гамильтоновых систем. Физ. Летт. А 122 (1987), вып. 6–7, 331–334.  Кре1] Крейн, М.: Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпунова по линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Доклады Акад. Наук СССР 73 (1950) 445-448.  Кре2] Крейн М.: О применении одного алгебраического предложения в теории матриц монодромии. Успехи математики. Наук 6 (1951) 171-177.  [Кре3] Крейн М.: К теории целых матриц-функций экспоненциального типа. Украинская математика. Журнал 3 (1951) 164–173.  [Kre4] Крейн, М.: О некоторых задачах максимума и минимума для характеристических чисел и зон устойчивости Ляпунова. Прикл. Математика. Мех. 15 (1951) 323-348.  [M78] Мозер, Юрген. Теорема о неподвижной точке в симплектической геометрии. Акта Математика. 141 (1978), вып. 1–2, 17–34.  (А. Морено) Университет Гейдельберга, Математический институт, Гейдельберг, Германия Адрес электронной почты: agustin.moreno2191@gmail.com  (Ф. Русчелли) Университет Гейдельберга, Математический институт, Гейдельберг, Германия Адрес электронной почты: fruscelli@mathi.uni-heidelberg.de  Этот документ   под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 DEED. доступен на arxiv

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

Read My Stories

Unearthing the internet's best research and examples of graph theory in real world applications.

Graph Theory's blog

Этот звук создан на языке оригинала истории!

Слишком долго; Читать

Boost your HackerNoon story @ $159.99! 🚀

Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

About Author

КОММЕНТАРИИ

БИРКИ

ЭТА СТАТЬЯ БЫЛА ПРЕДСТАВЛЕНА В

Related Stories

Повысьте свою производительность с помощью этих 18 инструментов разработчика 🚀🔥

От форумов до лент новостей: как алгоритмы социальных сетей формируют цифровое взаимодействие

Цифровые кочевники слушают: что нужно знать о новой визе DTV в Таиланде

Повысьте свою производительность с помощью этих 18 инструментов разработчика 🚀🔥

От форумов до лент новостей: как алгоритмы социальных сетей формируют цифровое взаимодействие

Цифровые кочевники слушают: что нужно знать о новой визе DTV в Таиланде

Light-Mode

Classic

Newspaper

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps