Mutações de resoluções crepantes não comutativas: Trocas e mutações de módulos modificadores

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Trocas e mutações de módulos modificadores
• Representação quase simétrica e quociente GIT
• Resultados principais
• Inscrições para cruzamentos completos Calabi-Yau
• Apêndice A. Fatorações de matriz
• Apêndice B. Lista de notação
• Referências

2. Trocas e mutações de módulos modificadores

2.1. Resolução crepante não comutativa. A presente seção relembra a definição de algumas noções básicas que são estudadas neste artigo.

(1) Um módulo R reflexivo M é chamado de módulo modificador se EndR(M) for um módulo R de Cohen-Macaulay (máximo).

(2) Dizemos que um módulo reflexivo M fornece uma resolução crepante não comutativa (=NCCR) Λ = EndR(M) se M estiver modificando e a álgebra Λ tiver dimensão global finita.

Observação 2.4. Observe que nossa definição de NCCR é diferente daquela em [Van3] ou [IW1]. Contudo, se R for d-sCY, a nossa definição é equivalente a outras definições. Veja [Van3, Lema 4.2] ou [IW1, Lema 2.23].

de K ∈ addL tal que o morfismo induzido α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) é sobrejetivo. Se L = N, chamamos α apenas de aproximação à direita (adicionar L) de M. Uma aproximação à direita (adicionar L)N α: K → M de M é considerada mínima se algum endomorfismo φ ∈ Fim (K) satisfatório α◦φ = α é um automorfismo, e dizemos que α é reduzido se qualquer soma direta K′ de K não estiver contida em Ker(α). Observe que se uma aproximação correta é mínima, ela é reduzida, e no caso em que R é local completo, o inverso também é válido.

Definição 2.6. Seja R um d-sCY normal e seja M, N, L ∈ ref R.

Lema 2.7. A notação é a mesma acima

(1) Se L ′ ∈ addL, há uma inclusão

o que continua a ser verdade quando se restringe a trocas reduzidas.

(2) Se N′ ∈ adicionar N, há uma inclusão

o que continua a ser verdade quando se restringe a trocas reduzidas.

(3) Para outra subcategoria completa S ′ ⊆ ref R, há uma inclusão

Se R for local completo, a inclusão semelhante também vale para trocas reduzidas.

Prova . (1), (2) e a primeira afirmação em (3) são óbvias. A segunda afirmação em (3) segue do fato de que, se R é local completo, duas aproximações α: K → M e α ′ : K′ → M′ são reduzidas se e somente se α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ é reduzido.

Prova . Suponha que Hom(N, M ⊕ N) seja Cohen-Macaulay e considere uma sequência exata

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

Agora, aplicando o functor Hom(−, FR) a esta sequência juntamente com a equivalência reflexiva prova que a sequência dual

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

é exato.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

resta ser exato. Como todos os módulos da sequência original são reflexivos, a equivalência reflexiva e a dualidade produzem um isomorfismo

e isomorfismos semelhantes para K e Ker α, que implicam a exatidão da sequência

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

Assim, o morfismo duplo

K∗ → (Ker α) ∗

é uma aproximação correta (adicione L ∗ )N∗ com o kernel M∗ , o que prova a primeira afirmação. A segunda afirmação decorre de um argumento semelhante.

O seguinte diz que a troca de uma soma direta de um módulo modificador fornece um novo módulo modificador em ótimas situações.

Lema 2.10. Seja M ∈ ref R. A seguinte equivalência é válida.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Prova. Podemos assumir que R é local. Como M é reflexivo, basta mostrar a direção (⇒). Como R é Gorenstein, sua dimensão injetiva é finita. Assim, o resultado segue de [BH, Proposição 3.3.3 (b)].

Lema 2.11. Seja R um anel normal de Gorenstein, e seja M, N ∈ ref R. Então

Prova . Basta provar a direção (⇒). Suponha que Hom(M, N) ∈ CM R. Então o Lema 2.10 implica que Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Mas pelo Lema [IW1, Lema 2.9], existe um isomorfismo Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), o que mostra que Hom(N, M) ∈ CM R.

A prova para o caso em que m < 0 é semelhante.

Observação 2.13. Como uma aproximação à direita não é única em geral, a mutação direita/esquerda também não o é. No entanto, a mutação direita/esquerda é única até o fechamento aditivo [IW1, Lema 6.2], e se R for local completo, as mutações mínimas são únicas até o isomorfismo.

Teorema 2.14 ([IW1, Proposição 6.5, Teorema 6.8, Teorema 6.10]). Seja M ∈ ref R um módulo R modificador.

2.3. Pacotes de inclinação e mutações. Esta seção discute a inclinação de pacotes sobre pilhas algébricas. Começamos relembrando alguns fatos básicos sobre as categorias derivadas de pilhas algébricas.