Mutações de resoluções crepantes não comutativas: Resumo e introdução

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Trocas e mutações de módulos modificadores
• Representação quase simétrica e quociente GIT
• Resultados principais
• Inscrições para cruzamentos completos Calabi-Yau
• Apêndice A. Fatorações de matriz
• Apêndice B. Lista de notação
• Referências

1. Introdução

1.1. Fundos. Uma resolução crepante é uma das melhores modificações das singularidades. Isto pode ser considerado como um análogo de dimensão superior de resoluções mínimas de singularidades de superfície e, na terminologia da teoria do modelo mínimo, uma resolução crepante pode ser parafraseada como um modelo mínimo suave da singularidade.

Como um análogo não comutativo da noção de resoluções crepantes, Van den Bergh introduziu resoluções crepantes não comutativas (= NCCRs) [Van2, Van3]. Tanto nos casos comutativos como nos não comutativos, a existência de tal resolução nem sempre é verdadeira. Existem duas grandes classes de singularidades para as quais o estudo dos NCCRs (e das resoluções crepantes) está bem estabelecido. Uma é a classe de singularidades de quociente decorrentes de representações quase simétricas de grupos redutivos, que foi estudada pela primeira vez em [SV1], e a outra é a classe de singularidades compostas de du Val (3 vezes), estudadas em [Van1, Wem] . Para investigar esta última classe, Iyama e Wemyss [IW1] introduziram uma operação chamada mutação, que produz um novo NCCR a partir do original. Por Kawamata [Kaw], sabe-se que todos os modelos mínimos (e, portanto, todas as resoluções crepantes) são conectados por flops iterados, e as mutações podem ser consideradas como uma contrapartida não comutativa dos flops. Com efeito, está provado em [Wem] que as equivalências derivadas associadas a flops triplos, estabelecidas em [Bri, Che], correspondem a equivalências derivadas associadas a mutações de NCCRs. Esta interpretação e a técnica de mutações de NCCRs fornecem os principais ingredientes para o estudo das condições de estabilidade de Bridgeland para flops triplos [HW1, HW2].

O principal objetivo deste artigo é importar tal tecnologia estabelecida por [IW1] para aprofundar o estudo de NCCRs para singularidades de quocientes decorrentes de representações quase simétricas, estudando a combinatória associada à representação e acessando as ideias de [ HSa, SV1].

1.2. Trocas e mutações de módulos modificadores. A presente seção, Seção 1.3 e Seção 1.4 explicam o cenário deste artigo e relembram algumas terminologias, notações e resultados conhecidos que são necessários para apresentar nossos resultados. As declarações precisas dos principais resultados são fornecidas na Seção 1.5.

Seja R um anel de Gorenstein equidimensional normal. Diz-se que um Rmódulo M reflexivo gerado finitamente está modificando se o anel de endomorfismo EndR(M) for Cohen-Macaulay como um módulo R. Uma resolução crepante não comutativa (=NCCR) de R é o anel de endomorfismo Λ = EndR(M) de algum módulo R modificador M tal que a dimensão global de Λ é finita. Se EndR(M) for um NCCR, dizemos que M dá um NCCR. A seguir está um dos problemas centrais sobre os NCCRs.

Conjectura 1.1 ([Van2]). Seja R um anel de Gorenstein normal equidimensional. Então todas as resoluções crepantes e todos os NCCRs de R são derivados equivalentes. Em relação a este problema de equivalência derivada, Iyama e Wemys

É natural perguntar se dois NCCRs estão conectados por mutações (iteradas) ou não. Sabe-se que, para muitos tipos de singularidades, seus NCCRs naturais estão, na verdade, conectados por mutações [Har1, Har2, HN, Nak, SV5, Wem]. Um dos principais objetivos deste artigo é apresentar um resultado semelhante para NCCRs associados ao quociente de representações quase simétricas, que serão relembrados na próxima seção.

será construído, e usando isso produz

A seguir está nosso resultado principal.

Reconhecimentos . WH gostaria de agradecer ao Prof. Michael Wemyss pelas discussões e comentários. WH foi apoiado pela subvenção EPSRC EP/R034826/1 e pela ERC Consolidator Grant 101001227 (MMiMMa). YH foi apoiado por JSPS KAKENHI 19K14502.