Combinatória de estabilidade linear para sistemas hamiltonianos em dimensão arbitrária: sequência GIT: baixa

Tabela de Links

• Abstrato
• Introdução
• Preliminares
• A assinatura B
• Sequência GIT: dimensões baixas
• Sequência GIT: dimensão arbitrária
• Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

4. Sequência GIT: dimensões baixas

Discutimos agora métodos topológicos globais no estudo de órbitas periódicas, seguindo a exposição em [AFKM]. Esses métodos codificam: bifurcações; estabilidade; configurações de autovalores; obstruções à existência de famílias regulares; e sinais B, de forma visual e eficiente em termos de recursos.

A sequência GIT é a sequência de mapas e espaços dados por

Então, pelo exposto, o ponto de estabilidade é o resultado da aplicação da sequência de mapas GIT à matriz dada.

4.1. Sequência GIT: 2D. Começamos com o caso mais simples, ou seja, o caso de um hamiltoniano autônomo de dois graus de liberdade, de modo que a matriz de monodromia reduzida é um elemento em Sp(2) = SL(2, R).

O diagrama de estabilidade de Broucke é simplesmente a linha real, dividida em três componentes; veja a Figura 1. Se duas órbitas estão em componentes diferentes do diagrama, então sempre há bifurcações em qualquer família que as une, pois a topologia do diagrama implica que qualquer caminho entre elas deve cruzar os autovalores ±1 (correspondendo respectivamente à bifurcação ou bifurcação de duplicação de período).

Pode-se pensar que o índice de estabilidade “colapsa” os dois ramos elípticos na camada intermediária da Figura 1 juntos. Estes dois ramos são distinguidos pelos sinais B, coincidindo com os sinais Kerin [Kre2; Cre3]. Há uma camada superior extra para órbitas simétricas, onde agora cada ramo hiperbólico se separa em dois, e há um mapa em colapso da camada superior para a intermediária. Observe que para ir de um ramo para outro (digamos, do ramo hiperbólico positivo I para o ramo hiperbólico positivo II), a topologia da camada superior implica que o autovalor 1 precisa ser cruzado. Isso significa que devemos esperar bifurcações em qualquer família (simétrica) que as una, mesmo que se projetem para o mesmo componente do diagrama de Broucke. Desta forma, as informações fornecidas pelo diagrama são muito mais refinadas para o caso de órbitas simétricas. Se dissermos que duas órbitas são qualitativamente equivalentes se puderem ser unidas por um cilindro de órbita regular, então a topologia dos espaços na sequência GIT fornece critérios para determinar sempre que duas órbitas não são qualitativamente equivalentes. Resumindo:

• Sinais B ramos hiperbólicos “separados”, para órbitas simétricas.

• Se duas órbitas estiverem em componentes diferentes do diagrama de Broucke, sempre haverá bifurcações em qualquer caminho que as una.

• Se duas órbitas simétricas estão na mesma componente do diagrama de Broucke, mas se os sinais B diferem, deve-se também esperar bifurcação em qualquer caminho (simétrico) que as una[1].

4.2. Sequência GIT: 3D . Agora aplicamos a mesma ideia, mas para sistemas hamiltonianos autônomos com três graus de liberdade, para os quais matrizes de monodromia reduzida são elementos em Sp(4).

A sequência GIT [FM] adiciona duas camadas a este diagrama, conforme mostrado na Figura 3. A camada superior possui duas ramificações extras que a do meio, para cada autovalor hiperbólico. Embora a combinatória e a topologia global dos espaços envolvidos sejam mais complicadas do que no caso 2D, a ideia intuitiva ainda é a mesma, ou seja, que a quantidade de informação para órbitas simétricas é mais rica e que podemos distinguir mais órbitas até à equivalência qualitativa. . Observe que como nesta dimensão temos dois pares de autovalores, a assinatura B é um par (±, ±) de sinais e, portanto, a camada superior possui 4 ramificações sobre cada componente do diagrama de Broucke (exceto o componente não real).

[1] Usamos cautelosamente a palavra “esperar” em vez de fornecer uma declaração matemática, já que teoricamente as órbitas poderiam passar tangencialmente pelo ciclo de Maslov sem bifurcar.