```html Autorzy: Siergiej Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrakt Nagromadzenie błędów fizycznych , , uniemożliwia wykonywanie dużych algorytmów w obecnych komputerach kwantowych. Kwantowa korekcja błędów obiecuje rozwiązanie poprzez kodowanie kwantów logicznych na większej liczbie kwantów fizycznych, tak aby błędy fizyczne były wystarczająco stłumione, aby umożliwić wykonanie pożądanego obliczenia z dopuszczalną wiernością. Kwantowa korekcja błędów staje się praktycznie wykonalna, gdy fizyczny wskaźnik błędów spadnie poniżej progu, który zależy od wyboru kodu kwantowego, obwodu pomiaru syndromu i algorytmu dekodowania . Prezentujemy kompletny protokół kwantowej korekcji błędów, który implementuje odporną na błędy pamięć opartą na rodzinie kodów o niskiej gęstości parzystości . Nasze podejście osiąga próg błędu 0,7% dla standardowego obwodowego modelu szumu, na równi z kodem powierzchniowym , , , który przez 20 lat był wiodącym kodem pod względem progu błędu. Cykl pomiaru syndromu dla kodu o długości z naszej rodziny wymaga kwantów pomocniczych i obwodu o głębokości 8 z bramkami CNOT, inicjalizacją kwantów i pomiarami. Wymagana łączność kwantów to graf o stopniu 6, złożony z dwóch rozłącznych planarnych podgrafów. W szczególności pokazujemy, że 12 kwantów logicznych może być zachowanych przez prawie 1 milion cykli pomiaru syndromu przy użyciu łącznie 288 kwantów fizycznych, przy założeniu fizycznego wskaźnika błędów 0,1%, podczas gdy kod powierzchniowy wymagałby prawie 3000 kwantów fizycznych do osiągnięcia tej wydajności. Nasze wyniki przybliżają demonstracje odpornej na błędy kwantowej pamięci o niskim narzucie do zasięgu obecnych procesorów kwantowych. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Główne Obliczenia kwantowe przyciągnęły uwagę dzięki swojej zdolności do oferowania asymptotycznie szybszych rozwiązań dla zestawu problemów obliczeniowych w porównaniu z najlepszymi znanymi algorytmami klasycznymi . Uważa się, że działający, skalowalny komputer kwantowy może pomóc w rozwiązywaniu problemów obliczeniowych w takich obszarach, jak odkrycia naukowe, badania materiałowe, chemia i projektowanie leków, aby wymienić tylko kilka , , , . 5 11 12 13 14 Główną przeszkodą w budowie komputera kwantowego jest kruchość informacji kwantowej, wynikająca z różnych źródeł szumu, które na nią wpływają. Ponieważ izolacja komputera kwantowego od efektów zewnętrznych i kontrolowanie go w celu wywołania pożądanego obliczenia są ze sobą sprzeczne, szum wydaje się nieunikniony. Źródła szumu obejmują niedoskonałości kwantów, użytych materiałów, aparatury sterującej, błędy przygotowania stanu i pomiaru oraz różnorodne czynniki zewnętrzne, od lokalnych sztucznych, takich jak pola elektromagnetyczne, po te inherentne dla Wszechświata, takie jak promieniowanie kosmiczne. Zob. ref. dla podsumowania. Chociaż niektóre źródła szumu można wyeliminować dzięki lepszemu sterowaniu , materiałom i ekranowaniu , , , kilka innych źródeł wydaje się trudnych do usunięcia, jeśli w ogóle możliwe. Ostatnia kategoria może obejmować spontaniczną i stymulowaną emisję w uwięzionych jonach , , oraz oddziaływanie z otoczeniem (efekt Purcella) w obwodach nadprzewodzących — obejmujących obie wiodące technologie kwantowe. W związku z tym korekcja błędów staje się kluczowym wymogiem do budowy działającego, skalowalnego komputera kwantowego. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Możliwość kwantowej odporności na błędy jest dobrze ugruntowana . Kodowanie logicznego kwantu z nadmiarem w wielu kwantach fizycznych umożliwia diagnozowanie i korygowanie błędów poprzez powtarzające się mierzenie syndromów operatorów parzystości. Jednakże korekcja błędów jest korzystna tylko wtedy, gdy fizyczny wskaźnik błędów jest poniżej pewnej wartości progowej, która zależy od konkretnego protokołu korekcji błędów. Pierwsze propozycje kwantowej korekcji błędów, takie jak zakodowane kody , , , skupiały się na demonstrowaniu teoretycznej możliwości tłumienia błędów. W miarę dojrzewania zrozumienia kwantowej korekcji błędów i możliwości technologii kwantowych, skupiono się na znajdowaniu praktycznych protokołów kwantowej korekcji błędów. Doprowadziło to do opracowania kodu powierzchniowego , , , który oferuje wysoki próg błędu bliski 1%, szybkie algorytmy dekodowania i kompatybilność z istniejącymi procesorami kwantowymi opartymi na dwuwymiarowej (2D) siatce kwantów. Małe przykłady kodu powierzchniowego z jednym kwantem logicznym zostały już zademonstrowane eksperymentalnie przez kilka grup , , , , . Jednakże skalowanie kodu powierzchniowego do 100 lub więcej kwantów logicznych byłoby niepraktycznie kosztowne ze względu na jego niską wydajność kodowania. To wzbudziło zainteresowanie bardziej ogólnymi kodami kwantowymi, znanymi jako kody o niskiej gęstości parzystości (LDPC) . Ostatnie postępy w badaniu kodów LDPC sugerują, że mogą one osiągnąć kwantową odporność na błędy ze znacznie wyższą wydajnością kodowania . Tutaj skupiamy się na badaniu kodów LDPC, ponieważ naszym celem jest znalezienie kodów i protokołów kwantowej korekcji błędów, które są zarówno wydajne, jak i możliwe do zademonstrowania w praktyce, biorąc pod uwagę ograniczenia technologii obliczeń kwantowych. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kod kwantowej korekcji błędów jest typu LDPC, jeśli każdy operator kontrolny kodu działa tylko na kilka kwantów, a każdy kwant uczestniczy w kilku kontrolach. Ostatnio zaproponowano kilka wariantów kodów LDPC, w tym hiperboliczne kody powierzchniowe , , , produkt hipergrafowy , zbalansowane kody produktowe , dwuwarstwowe kody oparte na grupach skończonych , , , oraz kwantowe kody Tannera , . Te ostatnie okazały się , być asymptotycznie „dobre” w sensie oferowania stałej szybkości kodowania i liniowej odległości: parametru określającego liczbę możliwych do skorygowania błędów. W przeciwieństwie do tego, kod powierzchniowy ma asymptotycznie zerową szybkość kodowania i tylko odległość pierwiastka kwadratowego. Zastąpienie kodu powierzchniowego kodem LDPC o wysokiej szybkości i dużej odległości mogłoby mieć znaczące praktyczne implikacje. Po pierwsze, narzut odporności na błędy (stosunek liczby kwantów fizycznych do logicznych) mógłby zostać znacząco zmniejszony. Po drugie, kody o dużej odległości wykazują bardzo gwałtowny spadek logicznego wskaźnika błędów: gdy prawdopodobieństwo błędu fizycznego przekroczy wartość progową, ilość tłumienia błędów osiągnięta przez kod może wzrosnąć o rzędy wielkości nawet przy niewielkiej redukcji fizycznego wskaźnika błędów. Ta cecha sprawia, że kody LDPC o dużej odległości są atrakcyjne dla obecnych demonstracji, które prawdopodobnie będą działać w reżimie bliskim progu. Jednakże wcześniej sądzono, że przewyższenie kodu powierzchniowego dla realistycznych modeli szumu, w tym szumu pamięci, bramki oraz przygotowania stanu i pomiaru, może wymagać bardzo dużych kodów LDPC z ponad 10 000 kwantów fizycznych . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Prezentujemy kilka konkretnych przykładów kodów LDPC o wysokiej szybkości z kilkuset kwantami fizycznymi, wyposażonych w obwód pomiaru syndromu o niskiej głębokości, wydajny algorytm dekodowania i protokół odporny na błędy do adresowania poszczególnych kwantów logicznych. Kody te wykazują próg błędu bliski 0,7%, wykazują doskonałą wydajność w reżimie bliskim progu i oferują 10-krotne zmniejszenie narzutu kodowania w porównaniu z kodem powierzchniowym. Wymagania sprzętowe do realizacji naszych protokołów korekcji błędów są stosunkowo łagodne, ponieważ każdy kwant fizyczny jest sprzężony bramkami dwukwantowymi z tylko sześcioma innymi kwantami. Chociaż graf łączności kwantów nie jest lokalnie osadzalny w siatce 2D, można go zdekomponować na dwa rozłączne planarne podgrafy. Jak argumentujemy poniżej, taka łączność kwantów jest dobrze dopasowana do architektur opartych na kwantach nadprzewodzących. Nasze kody są uogólnieniem kodów rowerowych zaproponowanych przez MacKay’a i wsp. i szczegółowo zbadanych w ref. , , . Nazwaliśmy nasze kody dwuwymiarowymi rowerowymi (BB), ponieważ są one oparte na wielomianach dwuwymiarowych, jak szczegółowo opisano w . Są to kody stabilizatorowe typu Calderbank–Shor–Steane (CSS) , , które można opisać jako zbiór sześciokwantowych operatorów kontrolnych (stabilizatorów) złożonych z operatorów Pauliego i . Na wysokim poziomie, kod BB jest podobny do dwuwymiarowego kodu torusa . W szczególności kwanty fizyczne kodu BB można ułożyć na siatce dwuwymiarowej z okresowymi warunkami brzegowymi, tak aby wszystkie operatory kontrolne były uzyskiwane z pojedynczej pary kontroli i poprzez zastosowanie przesunięć poziomych i pionowych siatki. Jednakże, w przeciwieństwie do stabilizatorów placów i wierzchołków opisujących kod torusa, operatory kontrolne kodów BB nie są lokalnie geometryczne. Ponadto każda kontrola działa na sześć kwantów zamiast na cztery. Opiszemy kod za pomocą grafu Tannera , tak aby każdy wierzchołek reprezentował albo kwant danych, albo operator kontrolny. Wierzchołek kontrolny i wierzchołek danych są połączone krawędzią, jeśli -ty operator kontrolny działa nietrywialnie na -ty kwant danych (poprzez zastosowanie operatora Pauliego lub ). Zob. Rys. 1a,b dla przykładów grafów Tannera kodów powierzchniowych i BB, odpowiednio. Graf Tannera dowolnego kodu BB ma stopień wierzchołka wynoszący sześć i grubość grafu równą dwa, co oznacza, że można go zdekomponować na dwa rozłączne planarne podgrafy ( ). Grubość-2 łączności kwantów jest dobrze dopasowana do kwantów nadprzewodzących sprzężonych za pomocą rezonatorów mikrofalowych. Na przykład dwie planarne warstwy sprzęgaczy i ich linie sterujące mogą być przymocowane do górnej i dolnej strony układu scalonego zawierającego kwanty, a obie strony złączone. 41 35 36 42 Metodach 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 29 Metody , Graf Tannera kodu powierzchniowego, dla porównania. , Graf Tannera kodu BB o parametrach [[144, 12, 12]] osadzony w torusie. Każda krawędź grafu Tannera łączy dane i wierzchołek kontrolny. Kwanty danych związane z rejestrami ( ) i ( ) są pokazane jako niebieskie i pomarańczowe kółka. Każdy wierzchołek ma sześć incydentnych krawędzi, w tym cztery krawędzie krótkiego zasięgu (wskazujące na północ, południe, wschód i zachód) oraz dwie krawędzie dalekiego zasięgu. Pokazujemy tylko kilka krawędzi dalekiego zasięgu, aby uniknąć bałaganu. Krawędzie przerywane i ciągłe wskazują dwa planarne podgrafy obejmujące graf Tannera, zob. . , Szkic rozszerzenia grafu Tannera do pomiaru i zgodnie z ref. , podłączony do kodu powierzchniowego. Kwant pomocniczy odpowiadający pomiarowi może być połączony z kodem powierzchniowym, umożliwiając operacje ładowania-zapisu dla wszystkich kwantów logicznych za pomocą teletransportacji kwantowej i niektórych unitarnych operacji logicznych. Ten rozszerzony graf Tannera również ma implementację w architekturze o grubości 2 poprzez krawędzie i ( ). a b q L q R Metody c 50 A B Metody Kod BB o parametrach [[ , , ]] koduje kwantów logicznych w kwantach danych, oferując odległość kodu , co oznacza, że każdy błąd logiczny obejmuje co najmniej kwantów danych. Dzielimy kwantów danych na rejestry ( ) i ( ) o wielkości /2 każdy. Każda kontrola działa na trzy kwanty z ( ) i trzy kwanty z ( ). Kod opiera się na kwantach pomocniczych do pomiaru syndromu błędu. Dzielimy kwantów kontrolnych na rejestry ( ) i ( ) o wielkości /2, które zbierają syndromy typu i , odpowiednio. Łącznie kodowanie opiera się na 2 kwantach fizycznych. Zatem czysta szybkość kodowania wynosi = /(2 ). Na przykład standardowa architektura kodu powierzchniowego koduje = 1 kwant logiczny w = kwantach danych dla kodu o odległości i wykorzystuje − 1 kwantów kontrolnych do pomiarów syndromów. Czysta szybkość kodowania wynosi ≈ 1/(2 ), co szybko staje się niepraktyczne, gdy zmuszeni jesteśmy wybrać dużą odległość kodu, z powodu na przykład fizycznych błędów bliskich wartości progowej. W przeciwieństwie do tego, kody BB mają szybkość kodowania ≫ 1/ , zob. Tab. 1 dla przykładów kodów. O ile nam wiadomo, wszystkie kody pokazane w Tab. 1 są nowe. Kod [[144, 12, 12]] o odległości 12 może być najbardziej obiecujący dla obecnych demonstracji, ponieważ łączy dużą odległość i wysoką czystą szybkość kodowania = 1/24. Dla porównania, kod powierzchniowy o odległości 11 ma czystą szybkość kodowania = 1/241. Poniżej pokazujemy, że kod BB o odległości 12 przewyższa kod powierzchniowy o odległości 11 w eksperymentalnie istotnym zakresie wskaźników błędów. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 r r Aby zapobiec gromadzeniu się błędów, należy mierzyć syndrom błędu wystarczająco często. Osiąga się to za pomocą obwodu pomiaru syndromu, który sprzęga kwanty danych w zakresie każdego operatora kontrolnego z odpowiednim kwantem pomocniczym za pomocą sekwencji bramek CNOT. Następnie mierzy się kwanty kontrolne, ujawniając wartość syndromu błędu. Czas potrzebny do zaimplementowania obwodu pomiaru syndromu jest proporcjonalny do jego głębokości: liczby warstw bramek składających się z niepokrywających się CNOTów. Ponieważ nowe błędy nadal występują podczas wykonywania obwodu pomiaru syndromu, jego głębokość powinna być zminimalizowana. Pełny cykl pomiaru syndromu dla kodu BB jest przedstawiony na rys. . Cykl syndromu wymaga tylko siedmiu warstw CNOTów niezależnie od długości kodu. Kwanty kontrolne są inicjalizowane i mierzone na początku i na końcu cyklu syndromu, odpowiednio (patrz po szczegóły). Obwód respektuje symetrię cyklicznego przesunięcia bazowego kodu. 2 Metody Pełny cykl pomiarów syndromu wymagający siedmiu warstw CNOTów. Lokalnie prezentujemy obwód, który obejmuje tylko jeden kwant danych z każdego rejestru ( ) i ( ). Obwód jest symetryczny względem przesunięć poziomych i pionowych grafu Tannera. Każdy kwant danych jest sprzężony bramkami CNOT z trzema kwantami kontrolnymi typu *X-*i trzema kwantami kontrolnymi typu *Z-*: zob. po więcej szczegółów. q L q R Metody Pełny protokół korekcji błędów wykonuje c ≫ 1 cykli pomiaru syndromu, a następnie wywołuje dekoder: algorytm klasyczny, który przyjmuje jako dane wejściowe zmierzone syndromy i zwraca przypuszczenie dotyczące ostatecznego błędu w kwantach danych. Korekcja błędów powiedzie się, jeśli przypuszczony i rzeczywisty błąd pokrywają się modulo iloczyn operatorów kontrolnych. W tym przypadku błędy mają to samo działanie na dowolny zakodowany (logiczny) stan. W związku z tym zastosowanie odwrotności przypuszczonego błędu przywraca kwanty danych do początkowego stanu logicznego. W przeciwnym razie, jeśli przypuszczony i rzeczywisty błąd różnią się niezerowym operatorem logicznym, korekcja błędów zawodzi, powodując błąd logiczny. Nasze eksperymenty numeryczne opierają się na dekoderze rozkładu wiarygodności ze statystykami uporządkowanymi (BP-OSD) zaproponowanym przez Panteleeva i Kalacheva . Oryginalna praca opisała BP-OSD w kontekście modelu szumu zabawek, obejmującego tylko błędy pamięci. Tutaj pokazujemy, jak rozszerzyć BP-OSD do obwodowego modelu szumu, zob. po szczegóły. Nasze podejście ściśle podąża za ref. N 36 36 Dodatkowe Informacje 45
