Auteurs: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Abstract Kwantumfoutcorrectie biedt een veelbelovende weg voor het uitvoeren van kwantumcomputaties met hoge betrouwbaarheid. Hoewel volledig fouttolerante uitvoeringen van algoritmen nog niet zijn gerealiseerd, maken recente verbeteringen in stuurelektronica en kwantumhardware steeds geavanceerdere demonstraties mogelijk van de noodzakelijke bewerkingen voor foutcorrectie. Hier voeren we kwantumfoutcorrectie uit op supergeleidende qubits die in een zwaar-hexagonrooster zijn verbonden. We coderen een logische qubit met afstand drie en voeren verschillende ronden van fouttolerante syndroommetingen uit die correctie van elke enkele fout in de schakeling mogelijk maken. Met realtime feedback resetten we syndroom- en vlagqubits conditioneel na elke syndroomextractiecyclus. We rapporteren decoder-afhankelijke logische fouten, met een gemiddelde logische fout per syndroommeting in Z(X)-basis van ~0,040 (~0,088) en ~0,037 (~0,087) voor respectievelijk matching- en maximum likelihood-decoders, op basis van leakage-postgeselecteerde gegevens. Introductie De uitkomsten van kwantumcomputaties kunnen in de praktijk foutief zijn, vanwege ruis in de hardware. Om de resulterende fouten te elimineren, kunnen kwantumfoutcorrectie (QEC)-codes worden gebruikt om de kwantuminformatie te coderen in beschermde, logische vrijheidsgraden, en vervolgens door de fouten sneller te corrigeren dan ze zich ophopen, fouttolerante (FT) berekeningen mogelijk te maken. Een volledige uitvoering van QEC zal waarschijnlijk omvatten: voorbereiding van logische toestanden; realisatie van een universele set van logische poorten, die de voorbereiding van magische toestanden vereist; herhaalde metingen van syndromen; en de decoding van de syndromen voor het corrigeren van fouten. Indien succesvol, zouden de resulterende logische foutpercentages lager moeten zijn dan de onderliggende fysieke foutpercentages, en afnemen met toenemende codafstanden tot verwaarloosbare waarden. Het kiezen van een QEC-code vereist overweging van de onderliggende hardware en de ruiseigenschappen daarvan. Voor een zwaar-hexagonrooster , van qubits zijn subsystem QEC-codes aantrekkelijk omdat ze goed geschikt zijn voor qubits met verminderde connectiviteit. Andere codes hebben veelbelovend laten zien vanwege hun relatief hoge drempel voor FT of een groot aantal transversale logische poorten . Hoewel hun ruimte- en tijdoverhead een aanzienlijke hindernis kunnen vormen voor schaalbaarheid, bestaan er bemoedigende benaderingen om de meest kostbare middelen te verminderen door gebruik te maken van een vorm van foutmitigatie . 1 2 3 4 5 6 Bij het decoderingsproces hangt succesvolle correctie niet alleen af van de prestaties van de kwantumhardware, maar ook van de implementatie van de stuurelektronica die wordt gebruikt voor het verkrijgen en verwerken van de klassieke informatie verkregen uit syndroommetingen. In ons geval kan het initialiseren van zowel syndroom- als vlagqubits via realtime feedback tussen meetcycli helpen bij het mitigeren van fouten. Op decoderingsniveau, hoewel er protocollen bestaan om QEC asynchroon binnen een FT-formalisme uit te voeren , , moet de snelheid waarmee de foutsyndromen worden ontvangen in verhouding staan tot hun klassieke verwerkingstijd om een toenemende achterstand van syndroomgegevens te voorkomen. Bovendien vereisen sommige protocollen, zoals het gebruik van een magische toestand voor een logische -poort , de toepassing van realtime feed-forward. 7 8 T 9 Aldus graviteert de langetermijnvisie van QEC niet rond een enkel ultiem doel, maar moet deze worden gezien als een continuüm van diep onderling verbonden taken. Het experimentele pad in de ontwikkeling van deze technologie zal bestaan uit de demonstratie van deze taken eerst in isolatie en later hun progressieve combinatie, altijd terwijl hun geassocieerde metrieken continu worden verbeterd. Een deel van deze vooruitgang wordt weerspiegeld in talrijke recente ontwikkelingen op kwantumsystemen over verschillende fysieke platforms, die verschillende aspecten van de desiderata voor FT kwantumcomputing hebben gedemonstreerd of benaderd. Met name de FT logische toestandvoorbereiding is gedemonstreerd op ionen , kernspins in diamant en supergeleidende qubits . Herhaalde cycli van syndroomextractie zijn getoond in supergeleidende qubits in kleine foutdetecterende codes , , inclusief gedeeltelijke foutcorrectie evenals een universele (zij het niet FT) set van single-qubit poorten . Een FT demonstratie van een universele poortset op twee logische qubits is onlangs gerapporteerd in ionen . Op het gebied van foutcorrectie zijn er recente realisaties van de afstand-3 oppervlakcode op supergeleidende qubits met decoding en post-selectie , evenals een FT implementatie van een dynamisch beschermd kwantumgeheugen met behulp van de kleurencodes en de FT toestandvoorbereiding, -bewerking en -meting, inclusief de stabilisatoren daarvan, van een logische toestand in de Bacon-Shor code in ionen , . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 Hier combineren we de mogelijkheid van realtime feedback op een supergeleidend qubitsysteem met een maximum likelihood decoding protocol dat tot nu toe experimenteel onontgonnen is, om de overlevingskans van logische toestanden te verbeteren. We demonstreren deze tools als onderdeel van de FT-werking van een subsystemcode , de zwaar-hexagoncode , op een supergeleidend kwantumprocessor. Essentieel voor het fouttolerant maken van onze implementatie van deze code zijn vlagqubits die, wanneer ze niet nul worden bevonden, de decoder waarschuwen voor circuitfouten. Door vlag- en syndroomqubits conditioneel te resetten na elke syndroommeetcyclus, beschermen we ons systeem tegen fouten die voortkomen uit de ruisasymmetrie die inherent is aan energie-relaxatie. We benutten verder recent beschreven decoderingsstrategieën en breiden de decoderingsideeën uit om maximum likelihood-concepten op te nemen , , . 22 1 15 4 23 24 Resultaten De zwaar-hexagoncode en meer-round circuits De zwaar-hexagoncode die we overwegen is een = 9 qubit code die = 1 logische qubit met afstand = 3 codeert . De en gauge (zie Fig. a) en stabilisator groepen worden gegenereerd door n k d 1 Z X 1 De stabilisator groepen zijn de centra van de respectievelijke gauge groepen . Dit betekent dat de stabilisatoren, als producten van gauge operatoren, kunnen worden afgeleid uit metingen van alleen de gauge operatoren. Logische operatoren kunnen worden gekozen als = 1 2 3 en = 1 3 7. XL X X X ZL Z Z Z (blauw) en (rood) gauge operatoren (eqs. ( ) en ( )) in kaart gebracht op de vereiste 23 qubits met de afstand-3 zwaar-hexagoncode. Codequbits ( 1 − 9) zijn getoond in geel, syndroomqubits ( 17, 19, 20, 22) gebruikt voor stabilisatoren in blauw, en vlagqubits en syndromen gebruikt in stabilisatoren in wit. De volgorde en richting waarin CX-poorten worden toegepast binnen elke subsectie (0 tot 4) worden aangegeven door de genummerde pijlen. Circuitdiagram van één syndroommetingsronde, inclusief zowel als stabilisatoren. Het circuitdiagram illustreert toegestane parallellisatie van poortbewerkingen: die binnen de grenzen ingesteld door planningsbarrières (verticale gestippelde grijze lijnen). Aangezien elke twee-qubit poortduur verschilt, wordt de uiteindelijke poortplanning bepaald met een standaard zo-laat-mogelijk circuittranspilatiepass; daarna wordt dynamische ontkoppeling toegevoegd aan datanqubits waar de tijd het toelaat. Meet- en resetbewerkingen zijn geïsoleerd van andere poortbewerkingen door barrières om uniforme dynamische ontkoppeling toe te voegen aan inactieve datanqubits. Decoderingsgrafieken voor drie ronden van ( ) en ( ) stabilisatormetingen met circuit-niveau ruis maken correctie van en fouten mogelijk, respectievelijk. De blauwe en rode knooppunten in de grafieken komen overeen met verschil-syndromen, terwijl de zwarte knooppunten de grens zijn. Randen coderen verschillende manieren waarop fouten in het circuit kunnen optreden zoals beschreven in de tekst. Knooppunten zijn gelabeld met het type stabilisatormeting ( of ), samen met een subscript dat de stabilisator indexeert, en superscripten die de ronde aangeven. Zwarte randen, voortkomend uit Pauli fouten op codequbits (en dus slechts van grootte 2), verbinden de twee grafieken in en , maar worden niet gebruikt in de matching decoder. De grootte-4 hyperranden, die niet door matching worden gebruikt, maar wel door de maximum likelihood decoder. Kleuren zijn alleen ter verduidelijking. Vertaling van elk in de tijd met één ronde geeft ook een geldige hyperrand (met enige variatie aan de tijdgrenzen). Ook niet getoond zijn eventuele grootte-3 hyperranden. a Z X 1 2 Q Q Q Q Q Q Z X b X Z c Z d X X Z Z X e Y c d f Hier richten we ons op een specifiek FT circuit, veel van onze technieken kunnen algemener worden gebruikt met verschillende codes en circuits. Twee subcircuits, getoond in Fig. b, zijn geconstrueerd om de - en -gauge operatoren te meten. De -gemiddelde meting verkrijgt ook nuttige informatie door vlagqubits te meten. 1 X Z Z We bereiden codetoestanden voor in de logische () toestand door eerst negen qubits voor te bereiden in de () toestand en de -gauge ( -gauge) te meten. We voeren vervolgens rondes van syndroommetingen uit, waarbij een ronde bestaat uit een -gauge meting gevolgd door een -gauge meting (respectievelijk -gauge gevolgd door -gauge). Ten slotte lezen we alle negen codequbits uit in de ( ) basis. We voeren dezelfde experimenten uit voor initiële logische toestanden en , door simpelweg de negen qubits in en te initialiseren in plaats daarvan. X Z r Z X X Z Z X Decoderingsalgoritmen In de context van FT kwantumcomputing is een decoder een algoritme dat als invoer syndroommetingen van een foutcorrigerende code ontvangt en een correctie op de qubits of meetgegevens uitvoert. In deze sectie beschrijven we twee decoderingsalgoritmen: perfect matching decoding en maximum likelihood decoding. De decoderingshypergraaf is een beknopte beschrijving van de informatie verzameld door een FT circuit en beschikbaar gemaakt voor een decoderingsalgoritme. Deze bestaat uit een set van knooppunten, of foutgevoelige gebeurtenissen, , en een set van hyperranden , die de correlaties tussen gebeurtenissen coderen veroorzaakt door fouten in het circuit. Figuur c–f toont delen van de decoderingshypergraaf voor ons experiment. 15 V E 1 Het construeren van een decoderingshypergraaf voor stabilisatorcircuits met Pauli-ruis kan worden gedaan met behulp van standaard Gottesman-Knill simulaties of vergelijkbare Pauli-traceertechnieken . Eerst wordt een foutgevoelige gebeurtenis gemaakt voor elke meting die deterministisch is in het foutvrije circuit. Een deterministische meting is elke meting waarvan de uitkomst ∈ {0, 1} kan worden voorspeld door de uitkomsten van een set van eerdere metingen modulo twee op te tellen. Dat wil zeggen, voor een foutvrij circuit, , waarbij de set kan worden gevonden door simulatie van het circuit. Stel de waarde van de foutgevoelige gebeurtenis in op − (mod2), die nul (ook wel triviaal genoemd) is bij afwezigheid van fouten. Het observeren van een niet-nul (ook wel niet-triviaal genoemd) foutgevoelige gebeurtenis impliceert dus dat het circuit ten minste één fout heeft ondergaan. In onze circuits zijn foutgevoelige gebeurtenissen ofwel vlagqubitmetingen ofwel het verschil van opeenvolgende metingen van dezelfde stabilisator (ook wel verschil-syndromen genoemd). 25 26 M m m FM Vervolgens worden hyperranden toegevoegd door circuitfouten te beschouwen. Ons model bevat een foutkans voor elk van verschillende circuitcomponenten pC Hier onderscheiden we de identiteitsoperatie id op qubits tijdens een tijd waarin andere qubits unitaire poorten ondergaan, van de identiteitsoperatie idm op qubits wanneer anderen metingen en resets ondergaan. We resetten qubits nadat ze zijn gemeten, terwijl we qubits initialiseren die nog niet in het experiment zijn gebruikt. Tenslotte is cx de controlled-not poort, h de Hadamard poort, en x, y, z zijn Pauli poorten. (zie Methods “IBM_Peekskill and experimental details” voor meer details). Numerieke waarden voor zijn vermeld in Methods “IBM_Peekskill and experimental details”. pC Ons foutmodel is circuit depolariserende ruis. Voor initialisatie- en resetfouten wordt een Pauli toegepast met de respectievelijke kansen init en reset na de ideale toestandvoorbereiding. Voor meetfouten wordt Pauli toegepast met kans vóór de ideale meting. Een één-qubit unitaire poort (twee-qubit poort) ondergaat met kans een van de drie (vijftien) niet-identiteit één-qubit (twee-qubit) Pauli fouten na de ideale poort. Er is een gelijke kans dat een van de drie (vijftien) Pauli fouten optreedt. X p p X C pC Wanneer een enkele fout optreedt in het circuit, veroorzaakt dit dat een deel van de foutgevoelige gebeurtenissen niet-triviaal wordt. Deze set van foutgevoelige gebeurtenissen wordt een hyperrand. De set van alle hyperranden is . Twee verschillende fouten kunnen tot dezelfde hyperrand leiden, dus elke hyperrand kan worden gezien als een representatie van een set van fouten, waarvan elk individueel de gebeurtenissen in de hyperrand niet-triviaal maakt. Geassocieerd met elke hyperrand is een kans, die, op de eerste orde, de som is van de kansen van fouten in de set. E Een fout kan ook leiden tot een fout die, voortgeplant tot het einde van het circuit, anti-commuteert met een of meer van de logische operatoren van de code, wat een logische correctie noodzakelijk maakt. We nemen aan voor algemeenheid dat de code logische qubits en een basis van 2 logische operatoren heeft, maar merken op dat = 1 voor de zwaar-hexagoncode die in het experiment wordt gebruikt. We kunnen bijhouden welke logische operatoren anti-commuteren met de fout met behulp van een vector uit . Dus elke hyperrand is ook gelabeld met een van deze vectoren , een logisch label genoemd. Merk op dat als de code afstand minimaal drie heeft, elke hyperrand een uniek logisch label heeft. k k k h Ten slotte merken we op dat een decoderingsalgoritme ervoor kan kiezen om de decoderingshypergraaf op verschillende manieren te vereenvoudigen. Een manier die we hier altijd toepassen is het proces van deflagging. Vlagmetingen van qubits 16, 18, 21, 23 worden simpelweg genegeerd zonder correcties toe te passen. Als vlag 11 niet-triviaal is en 12 triviaal, pas dan toe op 2. Als 12 niet-triviaal is en 11 triviaal, pas dan toe op qubit 6. Als vlag 13 niet-triviaal is en 14 triviaal, pas dan toe op qubit 4. Als 14 niet-triviaal is en 13 triviaal, pas dan toe op qubit 8. Zie ref. voor details over waarom dit voldoende is voor fouttolerantie. Dit betekent dat in plaats van foutgevoelige gebeurtenissen van de vlagqubitmetingen direct op te nemen, we de gegevens vooraf verwerken door de vlaginformatie te gebruiken om virtuele Pauli correcties toe te passen en daaropvolgende foutgevoelige gebeurtenissen dienovereenkomstig aan te passen. Hyperranden voor de deflagged hypergraaf kunnen worden gevonden via stabilisatorsimulatie met de correcties. Laat het aantal ronden aangeven. Na deflagging is de grootte van de set voor (resp. basis) experimenten ∣ ∣ = 6 + 2 (resp. 6 + 4), vanwege het meten van zes stabilisatoren per ronde en het hebben van twee (resp. vier) initiële foutgevoelige stabilisatoren na toestandvoorbereiding. De grootte van is vergelijkbaar ∣ ∣ = 60 − 13 (resp. 60 − 1) voor > 0. Z Z Z Z 15 Z Z r V Z X V r r E E r r r Als we en fouten afzonderlijk beschouwen, kan het probleem van het vinden van een minimale gewichts foutcorrectie voor de oppervlakcode worden gereduceerd tot het vinden van een minimale gewichts perfecte matching in een graaf . Matching decoders worden nog steeds bestudeerd vanwege hun praktische toepasbaarheid en brede toepasbaarheid , . In deze sectie beschrijven we de matching decoder voor onze afstand-3 zwaar-hexagoncode. X Z 4 27 28 29 De decoderingsgrafieken, één voor de -fouten (Fig. c) en één voor de -fouten (Fig. d), voor minimale gewichts perfecte matching zijn in feite subgrafieken van de decoderingshypergraaf in de vorige sectie. Laten we ons hier concentreren op de graaf voor het corrigeren van -fouten, aangezien de -foutgraaf analoog is. In dit geval behouden we uit de decoderingshypergraaf knooppunten die overeenkomen met (het verschil van opeenvolgende) -stabilisatormetingen en randen (d.w.z. hyperranden met grootte twee) daartussen. Bovendien wordt een grens knooppunt gemaakt, en grootte-één hyperranden van de vorm { } met ∈ , worden weergegeven door het opnemen van randen { , }. Alle randen in de -foutgraaf erven kansen en logische labels van hun corresponderende hyperranden (zie Tabel voor en -foutrandgegevens voor 2-ronde experiment). X 1 Z 1 X Z VZ Z b v v VZ v b X 1 X Z Een perfect matching algoritme neemt een graaf met gewogen randen en een even grote set van gemarkeerde knooppunten, en retourneert een set van randen in de graaf die alle gemarkeerde knooppunten paarsgewijs verbindt en het minimale totale gewicht heeft van alle dergelijke randensets. In ons geval zijn de gemarkeerde knooppunten de niet-triviale foutgevoelige gebeurtenissen (als er een oneven aantal is, wordt het grens knooppunt ook gemarkeerd), en de randgewichten zijn ofwel allemaal ingesteld op één (uniforme methode) of ingesteld als , waarbij de randkans is (analytische methode). De laatste keuze betekent dat het totale gewicht van een randenset gelijk is aan de log-likelihood van die set, en minimale gewichts perfecte matching probeert deze likelihood over de randen in de graaf te maximaliseren. pe Gegeven een minimale gewichts perfecte matching, kan men de logische labels van de randen in de matching gebruiken om een correctie op de logische toestand te bepalen. Alternatief is de -fout ( -fout) graaf voor de matching decoder zodanig dat elke rand kan worden geassocieerd met een codequbit (of een meetfout), zodat het opnemen van een rand in de matching een ( ) correctie impliceert die moet worden toegepast op de corresponderende qubit. X Z X Z Maximum likelihood decoding (MLD) is een optimale, hoewel niet-schaalbare, methode voor het decoderen van kwantumfoutcorrigerende codes. In zijn oorspronkelijke conceptie werd MLD toegepast op fenomenologische foutmodellen waarbij fouten optreden net voordat syndromen worden gemeten , . Dit negeert natuurlijk het meer realistische geval waarin fouten zich kunnen voortplanten door de syndroommeetcircuits. Meer recentelijk is MLD uitgebreid om circuitruis op te nemen , . Hier beschrijven we hoe MLD circuitruis corrigeert met behulp van de decoderingshypergraaf. 24 30 23 31 MLD leidt de meest waarschijnlijke logische correctie af gegeven een observatie van de foutgevoelige gebeurtenissen. Dit wordt gedaan door de kansverdeling Pr[ , ] te berekenen, waarbij foutgevoelige gebeurtenissen vertegenwoordigt en een logische correctie vertegenwoordigt. β γ We kunnen Pr
