```html Auteurs: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Samenvatting Kwantumfoutcorrectie biedt een veelbelovend pad voor het uitvoeren van kwantumcomputaties met hoge betrouwbaarheid. Hoewel volledig fouttolerante uitvoeringen van algoritmen nog niet zijn gerealiseerd, maken recente verbeteringen in besturingselektronica en kwantumhardware steeds geavanceerdere demonstraties mogelijk van de noodzakelijke bewerkingen voor foutcorrectie. Hier voeren we kwantumfoutcorrectie uit op supergeleidende qubits die in een zwaar-hexagonrooster zijn verbonden. We coderen een logische qubit met afstand drie en voeren verschillende rondes van fouttolerante syndroommetingen uit die correctie van elke enkele fout in de schakeling mogelijk maken. Met realtime feedback resetten we syndroom- en vlagqubits voorwaardelijk na elke cyclus van syndroomextractie. We rapporteren decoder-afhankelijke logische fouten, met een gemiddelde logische fout per syndroommeting in de Z(X)-basis van ~0,040 (~0,088) en ~0,037 (~0,087) voor respectievelijk de matching- en maximum likelihood-decoders, op basis van lekkage-nagefilterde gegevens. Introductie De uitkomsten van kwantumcomputaties kunnen in de praktijk foutief zijn vanwege ruis in de hardware. Om de resulterende fouten te elimineren, kunnen kwantumfoutcorrectie (QEC) codes worden gebruikt om de kwantum-informatie te coderen in beschermde, logische vrijheidsgraden, en vervolgens door de fouten sneller te corrigeren dan ze zich ophopen, fouttolerante (FT) berekeningen mogelijk te maken. Een volledige uitvoering van QEC zal waarschijnlijk vereisen: de voorbereiding van logische toestanden; de realisatie van een universele set logische poorten, wat de voorbereiding van magische toestanden kan vereisen; herhaalde metingen van syndromen; en de decodering van de syndromen voor het corrigeren van fouten. Indien succesvol, zouden de resulterende logische foutenpercentages lager moeten zijn dan de onderliggende fysieke foutenpercentages, en afnemen met toenemende codeafstanden tot verwaarloosbare waarden. Het kiezen van een QEC-code vereist overweging van de onderliggende hardware en de ruiseigenschappen ervan. Voor een zwaar-hexagonrooster [^1],[^2] van qubits zijn subsysteem QEC-codes [^3] aantrekkelijk omdat ze goed geschikt zijn voor qubits met verminderde connectiviteit. Andere codes hebben veelbelovend laten zien vanwege hun relatief hoge drempel voor FT [^4] of grote aantal transversale logische poorten [^5]. Hoewel hun ruimte- en tijd-overhead een aanzienlijke hindernis voor schaalbaarheid kunnen vormen, bestaan er bemoedigende benaderingen om de meest kostbare middelen te verminderen door een vorm van foutmitigatie te benutten [^6]. Bij het decodeerproces is succesvolle correctie niet alleen afhankelijk van de prestaties van de kwantumhardware, maar ook van de implementatie van de besturingselektronica die wordt gebruikt voor het verwerven en verwerken van de klassieke informatie verkregen uit syndroommetingen. In ons geval kan het initialiseren van zowel syndroom- als vlagqubits via realtime feedback tussen meetcycli helpen om fouten te mitigeren. Op decoderniveau, hoewel er protocollen bestaan om QEC asynchroon uit te voeren binnen een FT-formalisme [^7],[^8], moet de snelheid waarmee de foutsyndromen worden ontvangen, in verhouding staan tot hun klassieke verwerkingstijd om een toenemende achterstand van syndroomgegevens te voorkomen. Bovendien vereisen sommige protocollen, zoals het gebruik van een magische toestand voor een logische T-poort [^9], de toepassing van realtime feed-forward. Daarom neigt de langetermijnvisie van QEC niet naar één enkel ultiem doel, maar moet deze worden gezien als een continuüm van diep onderling verbonden taken. Het experimentele pad in de ontwikkeling van deze technologie zal bestaan uit de demonstratie van deze taken eerst in isolatie en later hun progressieve combinatie, altijd terwijl hun bijbehorende statistieken continu worden verbeterd. Een deel van deze vooruitgang wordt weerspiegeld in talrijke recente ontwikkelingen op het gebied van kwantumsystemen op verschillende fysieke platforms, die verschillende aspecten van de desiderata voor FT kwantumcomputing hebben aangetoond of benaderd. Met name is FT logische toestandvoorbereiding gedemonstreerd op ionen [^10], nucleaire spins in diamant [^11] en supergeleidende qubits [^12]. Herhaalde cycli van syndroomextractie zijn aangetoond in supergeleidende qubits in kleine foutdetectiecodes [^13],[^14], inclusief gedeeltelijke foutcorrectie [^15] evenals een universele (zij het niet FT) set van single-qubit gates [^16]. Een FT demonstratie van een universele poortset op twee logische qubits is onlangs gerapporteerd in ionen [^17]. Op het gebied van foutcorrectie zijn er recente realisaties geweest van de afstand-3 oppervlakcode op supergeleidende qubits met decodering [^18] en postselectie [^19], evenals een FT implementatie van een dynamisch beschermd kwantumgeheugen met behulp van de kleurensode [^20] en de FT toestandvoorbereiding, operatie en meting, inclusief de stabilisatoren daarvan, van een logische toestand in de Bacon-Shor code in ionen [^20],[^21]. Hier combineren we de mogelijkheid van realtime feedback op een supergeleidend qubitsysteem met een maximum likelihood decoderingsprotocol dat tot nu toe experimenteel niet is onderzocht, om de overlevingskans van logische toestanden te verbeteren. We demonstreren deze tools als onderdeel van de FT-werking van een subsysteemcode [^22], de zwaar-hexagoncode [^1], op een supergeleidende kwantumprocessor. Essentieel voor het fouttolerant maken van onze implementatie van deze code zijn vlagqubits die, wanneer ze niet nul zijn, de decoder waarschuwen voor schakelingsfouten. Door vlag- en syndroomqubits conditioneel te resetten na elke syndroommetingscyclus, beschermen we ons systeem tegen fouten die voortkomen uit de ruisasymmetrie die inherent is aan energie-relaxatie. We maken verder gebruik van recent beschreven decoderingsstrategieën [^15] en breiden de decoderingsideeën uit met maximum likelihood concepten [^4],[^23],[^24]. Resultaten De zwaar-hexagoncode en multi-ronde circuits De zwaar-hexagoncode die we overwegen, is een n=9 qubit-code die k=1 logische qubit codeert met afstand d=3 [^1]. De Z en X gauge (zie Fig. 1a) en stabilisatorgroepen worden gegenereerd door De stabilisatorgroepen zijn de centra van de respectievelijke gaugegroepen. Dit betekent dat de stabilisatoren, als producten van gauge-operatoren, kunnen worden afgeleid uit metingen van alleen de gauge-operatoren. Logische operatoren kunnen worden gekozen als XL = X1X2X3 en ZL = Z1Z3Z7. Z (blauw) en X (rood) gauge-operatoren (eqs. (1) en (2)) afgebeeld op de 23 benodigde qubits met de afstand-3 zwaar-hexagoncode. Codequbits (Q1−Q9) worden geel weergegeven, syndroomqubits (Q17, Q19, Q20, Q22) gebruikt voor Z-stabilisatoren in blauw, en vlagqubits en syndromen gebruikt in X-stabilisatoren in wit. De volgorde en richting waarin CX-poorten worden toegepast binnen elke subsectie (0 tot 4) worden aangegeven door de genummerde pijlen. Schakelingdiagram van één syndroommetingsronde, inclusief zowel X- als Z-stabilisatoren. Het schakelingdiagram illustreert toegestane parallelle poortoperaties: die binnen de grenzen ingesteld door planningsbarrières (verticale gestippelde grijze lijnen). Aangezien de duur van elke twee-qubit poort verschilt, wordt de uiteindelijke poortplanning bepaald met een standaard as-late-as-possible schakelingtranspilatiepas; waarna dynamische ontkoppeling wordt toegevoegd aan dataqubits waar tijd het toelaat. Meet- en resetoperaties worden geïsoleerd van andere poortoperaties door barrières om uniforme dynamische ontkoppeling toe te staan aan inactieve dataqubits. Decoderinggrafieken voor drie rondes van ( ) Z en ( ) X stabilisatormetingen met ruis op schakelingsniveau maken correctie van respectievelijk X- en Z-fouten mogelijk. De blauwe en rode knooppunten in de grafieken komen overeen met verschil-syndromen, terwijl de zwarte knooppunten de grens zijn. Randen coderen verschillende manieren waarop fouten in het schakeling kunnen optreden zoals beschreven in de tekst. Knooppunten zijn gelabeld met het type stabilisatormeting (Z of X), samen met een subscript dat de stabilisator indexeert, en superscripts die de ronde aangeven. Zwarte randen, voortkomend uit Pauli Y-fouten op codequbits (en dus slechts grootte 2), verbinden de twee grafieken in ( ) en ( ), maar worden niet gebruikt in de matching decoder. De size-4 hyperedges, die niet door matching worden gebruikt, maar wel door de maximum likelihood decoder. Kleuren zijn alleen ter verduidelijking. Tijdelijke verschuiving van elk in de tijd met één ronde geeft ook een geldige hyperedge (met enige variatie aan de tijdgrenzen). Ook niet getoond zijn eventuele size-3 hyperedges. a b c d e c d f Hier richten we ons op een specifiek FT-circuit; veel van onze technieken kunnen algemener worden gebruikt met verschillende codes en circuits. Twee subcircuits, getoond in Fig. 1b, worden geconstrueerd om de X- en Z-gaugeoperatoren te meten. De Z-gauge metingschakeling verkrijgt ook nuttige informatie door vlagqubits te meten. We bereiden codetoestanden voor in de logische $| \psi_L \rangle$ (of $| \phi_L \rangle$) toestand door eerst negen qubits voor te bereiden in de $| + \rangle$ (of $| - \rangle$) toestand en de X-gauge (Z-gauge) te meten. We voeren vervolgens r rondes van syndroommeting uit, waarbij een ronde bestaat uit een Z-gauge meting gevolgd door een X-gauge meting (respectievelijk X-gauge gevolgd door Z-gauge). Ten slotte lezen we alle negen codequbits uit in de Z (X) basis. We voeren dezelfde experimenten uit voor initiële logische toestanden $| \psi_L \rangle$ en $| \phi_L \rangle$, door simpelweg de negen qubits te initialiseren in $| + \rangle$ en $| - \rangle$ in plaats daarvan. Decoderingsalgoritmen In de setting van FT kwantumcomputing is een decoder een algoritme dat als input syndroommetingen van een foutcorrectiecode neemt en een correctie op de qubits of meetgegevens uitvoert. In dit gedeelte beschrijven we twee decoderingsalgoritmen: perfect matching decoding en maximum likelihood decoding. De decoderingshypergraaf [^15] is een beknopte beschrijving van de informatie verzameld door een FT-circuit en beschikbaar gesteld aan een decoderingsalgoritme. Het bestaat uit een set van knooppunten, of foutgevoelige gebeurtenissen, V, en een set van hyperedges E, die de correlaties tussen gebeurtenissen coderen veroorzaakt door fouten in het circuit. Figuur 1c-f toont delen van de decoderingshypergraaf voor ons experiment. Het construeren van een decoderingshypergraaf voor stabilisatorschakelingen met Pauli-ruis kan worden gedaan met behulp van standaard Gottesman-Knill simulaties [^25] of vergelijkbare Pauli-tracing technieken [^26]. Eerst wordt een foutgevoelige gebeurtenis gemaakt voor elke meting die deterministisch is in het foutvrije circuit. Een deterministische meting M is elke meting waarvan de uitkomst m ∈ {0, 1} kan worden voorspeld door modulo twee de meetuitkomsten van een set van eerdere metingen te sommeren. Dat wil zeggen, voor een foutvrij circuit, $m_M = \sum_{i \in S_M} m_i \pmod 2$, waarbij de set $S_M$ kan worden gevonden door simulatie van het circuit. Stel de waarde van de foutgevoelige gebeurtenis in op $m - F_M \pmod 2$, wat nul is (ook wel triviaal genoemd) in afwezigheid van fouten. Het observeren van een niet-nul (ook wel niet-triviaal genoemd) foutgevoelige gebeurtenis impliceert dus dat het circuit ten minste één fout heeft ondergaan. In onze circuits zijn foutgevoelige gebeurtenissen ofwel vlagqubitmetingen ofwel het verschil van opeenvolgende metingen van dezelfde stabilisator (ook wel verschil-syndromen genoemd). Vervolgens worden hyperedges toegevoegd door rekening te houden met schakelingsfouten. Ons model bevat een foutwaarschijnlijkheid pC voor elk van verschillende schakelingscomponenten Hier onderscheiden we de identiteitsoperatie id op qubits tijdens een tijd waarin andere qubits unitaire poorten ondergaan, van de identiteitsoperatie idm op qubits wanneer anderen meting en reset ondergaan. We resetten qubits nadat ze zijn gemeten, terwijl we qubits initialiseren die nog niet in het experiment zijn gebruikt. Verder is cx de controlled-not poort, h is de Hadamard poort, en x, y, z zijn Pauli poorten. (zie Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details” voor meer details). Numerieke waarden voor pC staan in Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details”. Ons foutmodel is circuit-depolariserende ruis. Voor initialisatie- en resetfouten wordt een Pauli X toegepast met de respectievelijke waarschijnlijkheden $p_{init}$ en $p_{reset}$ na de ideale toestandvoorbereiding. Voor meetfouten wordt Pauli X toegepast met waarschijnlijkheid $p_m$ vóór de ideale meting. Een één-qubit unitaire poort (twee-qubit poort) C lijdt met waarschijnlijkheid $p_C$ een van de drie (vijftien) niet-identiteits één-qubit (twee-qubit) Pauli-fouten na de ideale poort. Er is een gelijke kans dat een van de drie (vijftien) Pauli-fouten optreedt. Wanneer een enkele fout optreedt in het circuit, veroorzaakt dit dat een deelverzameling van foutgevoelige gebeurtenissen niet-triviaal wordt. Deze set van foutgevoelige gebeurtenissen wordt een hyperedge. De set van alle hyperedges is E. Twee verschillende fouten kunnen tot dezelfde hyperedge leiden, dus elke hyperedge kan worden gezien als een representatie van een set fouten, die elk afzonderlijk ervoor zorgen dat de gebeurtenissen in de hyperedge niet-triviaal worden. Geassocieerd met elke hyperedge is een waarschijnlijkheid, die, op de eerste orde, de som is van de waarschijnlijkheden van fouten in de set. Een fout kan ook leiden tot een fout die, voortgeplant tot het einde van het circuit, anticommuteert met een of meer van de logische operatoren van de code, wat een logische correctie noodzakelijk maakt. We nemen aan voor algemeenheid dat de code k logische qubits heeft en een basis van 2k logische operatoren, maar merken op dat k=1 voor de zwaar-hexagoncode die in het experiment wordt gebruikt. We kunnen bijhouden welke logische operatoren anticommuteert met de fout met behulp van een vector uit $\{0,1\}^{2^k}$. Dus, elke hyperedge h is ook gelabeld met een van deze vectoren, $\gamma_h \in \{0,1\}^{2^k}$, een zogenaamd logisch label. Merk op dat als de code afstand minstens drie heeft, elke hyperedge een uniek logisch label heeft. Ten slotte merken we op dat een decoderingsalgoritme ervoor kan kiezen om de decoderingshypergraaf op verschillende manieren te vereenvoudigen. Een manier die we hier altijd toepassen is het proces van deflagging. Vlagmetingen van qubits 16, 18, 21, 23 worden simpelweg genegeerd zonder correcties toe te passen. Als vlag 11 niet-triviaal is en 12 triviaal, pas Z toe op 2. Als 12 niet-triviaal is en 11 triviaal, pas Z toe op qubit 6. Als vlag 13 niet-triviaal is en 14 triviaal, pas Z toe op qubit 4. Als 14 niet-triviaal is en 13 triviaal, pas Z toe op qubit 8. Zie ref. [^15] voor details over waarom dit voldoende is voor fouttolerantie. Dit betekent dat in plaats van foutgevoelige gebeurtenissen van de vlagqubitmetingen direct op te nemen, we de gegevens voorverwerken door de vlaginformatie te gebruiken om virtuele Pauli Z-correcties toe te passen en daaropvolgende foutgevoelige gebeurtenissen dienovereenkomstig aan te passen. Hyperedges voor de deflagde hypergraaf kunnen worden gevonden via stabilisatorsimulatie met de Z-correcties. Laat r het aantal rondes aangeven. Na deflagging zijn de grootte van de set V voor Z (resp. X-basis) experimenten |V| = 6r + 2 (resp. 6r + 4), vanwege het meten van zes stabilisatoren per ronde en het hebben van twee (resp. vier) initiële foutgevoelige stabilisatoren na toestandvoorbereiding. De grootte van E is vergelijkbaar |E| = 60r - 13 (resp. 60r - 1) voor r > 0. Overweeg X- en Z-fouten afzonderlijk; het probleem van het vinden van een minimale gewichts foutcorrectie voor de oppervlakcode kan worden gereduceerd tot het vinden van een minimale gewichts perfecte matching in een graaf [^4]. Matchingdecoders blijven bestudeerd worden vanwege hun praktische toepasbaarheid [^27] en brede toepasbaarheid [^28],[^29]. In dit gedeelte beschrijven we de matching decoder voor onze afstand-3 zwaar-hexagoncode. De decoderingsgrafieken, één voor de X-fouten (Fig. 1c) en één voor de Z-fouten (Fig. 1d), voor minimale gewichts perfecte matching zijn in feite subgrafieken van de decoderingshypergraaf in het vorige gedeelte. Laten we ons hier concentreren op de grafiek voor het corrigeren van X-fouten, aangezien de Z-foutgrafiek analoog is. In dit geval, uit de decoderingshypergraaf, behouden we knooppunten VZ die overeenkomen met (het verschil van opeenvolgende) Z-stabilisatormetingen en randen (d.w.z. hyperedges van grootte twee) daartussen. Bovendien wordt een grensknooppunt b gecreëerd, en hyperedges van grootte één van de vorm {v} met v ∈ VZ, worden weergegeven door randen {v, b} op te nemen. Alle randen in de X-foutgrafiek erven waarschijnlijkheden en logische labels van hun corresponderende hyperedges (zie Tabel 1 voor X- en Z-foutrandgegevens voor een 2-ronde experiment). Een perfecte matching-algoritme neemt een graaf met gewogen randen en een even aantal gemarkeerde knooppunten, en retourneert een set randen in de graaf die alle gemarkeerde knooppunten paarsgewijs verbindt en een minimaal totaal gewicht heeft van alle dergelijke randensets. In ons geval zijn gemarkeerde knooppunten de niet-triviale foutgevoelige gebeurtenissen (als er een oneven aantal is, wordt ook het grensknooppunt gemarkeerd), en de randgewichten zijn ofwel allemaal ingesteld op één (uniforme methode) of ingesteld als $w_e = -\log(p_e)$, waarbij $p_e$ de randwaarschijnlijkheid is (analytische methode). De laatste keuze betekent dat het totale gewicht van een randenset gelijk is aan de log-likelihood van die set, en minimale gewichts perfecte matching probeert deze likelihood over de randen in de graaf te maximaliseren. Gegeven een minimale gewichts perfecte matching, kan men de logische labels van de randen in de matching gebruiken om een correctie op de logische toestand te bepalen. Alternatief is de X-fout (Z-fout) grafiek voor de matching decoder zodanig dat elke rand kan worden geassocieerd met een codequbit (of een meetfout), zodat het opnemen van een rand in de matching impliceert dat een X (Z) correctie op de corresponderende qubit moet worden toegepast. Maximum likelihood decoding (MLD) is een optimale, hoewel niet-schaalbare, methode voor het decoderen van kwantumfoutcorrectiecodes. In de oorspronkelijke opzet werd MLD toegepast op fenomenologische ruismodellen waarbij fouten optreden vlak voordat syndromen worden gemeten [^24],[^30]. Dit negeert natuurlijk het realistischere geval waarbij fouten zich kunnen voortplanten door de syndroommetingsschakeling. Meer recent is MLD uitgebreid met schakelingsruis [^23],[^31]. Hier beschrijven we hoe MLD schakelingsruis corrigeert met behulp van de decoderingshypergraaf. MLD leidt de meest waarschijnlijke logische correctie af op basis van een observatie van de foutgevoelige gebeurtenissen. Dit wordt gedaan door de kansverdeling Pr[β, γ] te berekenen, waar $\beta$ de foutgevoelige gebeurtenissen voorstelt en $\gamma$ een logische correctie vertegenwoordigt. We kunnen Pr[β, γ] berekenen door elke hyperedge uit de decoderingshypergraaf, Fig. 1c-f, op te nemen, beginnend bij de nul-foutverdeling, d.w.z. Pr[0|V|, 0$^{2^k}$] = 1. Als hyperedge h een waarschijnlijkheid ph heeft om voor te komen, onafhankelijk van enige andere hyperedge, nemen we h op door de update uit te voeren waarbij $\beta_h$ slechts een binaire vectorrepresentatie van de hyperedge is. Deze update moet eenmaal worden toegepast voor elke hyperedge in E. Zodra Pr[β, γ] is berekend, kunnen we deze gebruiken om de beste logische correctie af te leiden. Als $\beta^*$ wordt waargenomen in een uitvoer van het experiment, geeft aan hoe metingen van de logische operatoren moeten worden gecorrigeerd. Voor meer details over specifieke implementaties van MLD, zie Methodes “Maximum likelihood implementations”. Experimentele realisatie Voor deze demonstratie gebruiken we ibm_peekskill v2.0.0, een 27-qubit IBM Quantum Falcon processor [^32] waarvan de koppelingskaart een afstand-3 zwaar-hexagoncode mogelijk maakt, zie Fig. 1. De totale tijd voor qubitmeting en daaropvolgende realtime conditionele reset, voor elke ronde, duurt 768ns en is hetzelfde voor alle qubits. Alle syndroommetingen en resets vinden gelijktijdig plaats voor verbeterde prestaties. Een eenvoudige Xπ-Xπ dynamische ontkoppelingssequentie wordt toegevoegd aan alle codequbits tijdens hun respectievelijke inactieve periodes. Qubitlekkage is een belangrijke reden waarom het door de decoderingsontwerp aangenomen Pauli depolariserende foutmodel onnauwkeurig kan zijn. In sommige gevallen kunnen we detecteren of een qubit uit de berekeningssubruimte is gelekt op het moment dat deze wordt gemeten (zie Methodes “Post-selection method” voor meer informatie over de postselectiemethode en beperkingen). Hierdoor kunnen we postselecteren op uitvoeren van het experiment wanneer lekkage niet is gedetecteerd, vergelijkbaar met ref. [^18]. In Fig. 2a initialiseren we de logische toestand $| \psi_L \rangle$ (of $| \phi_L \rangle$), en passen we r syndroommetingsrondes toe, waarbij één ronde zowel X- als Z-stabilisatoren omvat (totale tijd van ongeveer 5,3 μs per ronde, Fig. 1b). Met behulp van analytische perfect matching decoding op de volledige dataset (500.000 shots per ronde), extraheren we de logische fouten in Fig. 2a, rode (blauwe) driehoeken. Details van geoptimaliseerde parameters gebruikt in analytische perfect matching decoding zijn te vinden in Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details”. Door de volledige vervalfuncties (eq. (14)) tot 10 rondes aan te passen, extraheren we logische fouten per ronde zonder postselectie in Fig. 2b van 0,059(2) (0,058(3)) voor $| \psi_L \rangle$ (of $| \phi_L \rangle$) en 0,113(5) (0,107(4)) voor $| \chi_L \rangle$ (of $| \omega_L \rangle$). Logische fout versus aantal syndroommetingsrondes r, waarbij één ronde zowel een Z- als een X-stabilisatormeting omvat. Blauwe naar rechts wijzende driehoeken (rode driehoeken) markeren logische fouten verkregen door het gebruik van analytische matching decoding op ruwe experimentele gegevens voor $| \psi_L \rangle$ ($| \phi_L \rangle$) toestanden. Lichtblauwe vierkanten (lichtrode cirkels) markeren die voor $| \chi_L \rangle$ ($| \omega_L \rangle$) met dezelfde decoderingsmethode, maar met behulp van lekkage-nagefilterde experimentele gegevens. Foutbalken geven steekproeffout van elke ronde aan (500.000 shots voor ruwe gegevens, variabel aantal shots voor nagefilterde). Gestippelde lijnen passen de foutopbrengsten per ronde aan zoals weergegeven in ( ). Toepassen van dezelfde decoderingsmethode op lekkage-nagefilterde gegevens, toont een aanzienlijke vermindering van de algehele fout voor alle vier de logische toestanden. Zie Methodes “Post-selection method” voor details over postselectie. Gepaste afwijzingspercentages per ronde voor $| \psi_L \rangle$, $| \phi_L \rangle$, $| \chi_L \rangle$, $| \omega_L \rangle$ zijn respectievelijk 4,91%, 4,64%, 4,37% en 4,89%. Foutbalken geven één standaarddeviatie aan van het gepaste tarief. , Gebruikmakend van nagefilterde gegevens, vergelijken we de logische fout verkregen met de vier decoders: matching uniform (roze cirkels), matching analytisch (groene cirkels), matching analytisch met zachte informatie (grijze cirkels), en maximum likelihood (blauwe cirkels). (Zie Fig. 6 voor $| \chi_L \rangle$ en $| \omega_L \rangle$). Gestippelde gepaste tarieven gepresenteerd in ( ), ( ). Foutbalken geven steekproeffout aan. , Vergelijking van gepaste fouten per ronde voor alle vier de logische toestanden met behulp van matching uniform (roze), matching analytisch (groen), matching analytisch met zachte informatie (grijs), en maximum likelihood (blauw) decoders op lekkage-nagefilterde gegevens. Foutbalken vertegenwoordigen één standaarddeviatie van het gepaste tarief. a b b c d e f e f Het toepassen van dezelfde decoderingsmethode op lekkage-nagefilterde gegevens vermindert logische fouten in Fig. 2a, en leidt tot gepaste foutenpercentages van 0,041(1) (0,044(4)) voor $| \psi_L \rangle$ ($| \phi_L \rangle$) en 0,088(3) (0,085(3)) voor $| \chi_L \rangle$ ($| \omega_L \rangle$) zoals getoond in Fig. 2b. Afwijzingspercentages per ronde van postselectie voor $| \psi_L \rangle$, $| \phi_L \rangle$, $| \chi_L \rangle$, en $| \omega_L \rangle$ zijn respectievelijk 4,91%, 4,64%, 4,37% en 4,89%. Zie Methodes “Post-selection method” voor details. In Fig. 2c-f vergelijken we de logische fout voor elke ronde en de geëxtraheerde logische fout per ronde verkregen uit de nagefilterde datasets met behulp van de drie eerder beschreven decoders in Sectie “Decoding algorithms”. We nemen ook een versie op van de analytische decoder die zachte informatie benut [^33], die wordt beschreven in Methodes “Soft-information decoding”. We observeren (zie Fig. 2e, f) een consistente verbetering in decodering bij het bewegen van matching uniform (roze) naar matching analytisch (groen) naar matching analytisch met zachte informatie, naar maximum likelihood (grijs), hoewel dit veel minder significant is voor de X-basis logische toestanden. Een kwantitatieve vergelijking tussen de drie decoders voor alle vier de logische toestanden bij r = 2 rondes wordt gegeven in Methodes “Logical error at r = 2 rounds”. Er zijn ten minste drie redenen waarom de X-basis toestanden slechter presteren dan de Z-basis. De eerste is de natuurlijke asymmetrie in de circuits. De grotere diepte die nodig is voor het meten van Z-stabilisatoren leidt tot meer tijd waarin Z-fouten op dataqubits zich onopgemerkt kunnen ophopen. Dit wordt ondersteund door simulaties, zoals die in [^1], die een andere decoder gebruikt, en hier in Methodes “Simulation details”, die een slechtere prestatie van de X-basis voor deze d=3 code zien. Ten tweede kunnen keuzes die gemaakt zijn bij het decoderen, met name de deflagging stap, de asymmetrie verergeren door meet- en resetfouten effectief om te zetten in Z-fouten op de dataqubits. Dit leidt tot een hoge effectieve Z-foutrate die zelfs met maximum likelihood decoding niet veel kan worden verbeterd. Daarentegen, als we alleen de eerste ronde van metingen deflaggen, neemt de logische fout van de maximum likelihood decoder op het r=2 ronde, $|\chi_L\rangle$ experiment af met ongeveer 2,8% tot 18,02(7)%. Deflagging zoals dit wordt tijdrovend voor grotere aantal rondes, omdat het toevoegen van vlagknooppunten aan de decoderingshypergraaf de grootte ervan sterk vergroot. Ten slotte zijn decoders slechts zo goed als ons model van de experiment
