Auteurs: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstract De accumulatie van fysieke fouten , , verhindert de uitvoering van grootschalige algoritmen in huidige kwantumcomputers. Kwantumfoutcorrectie belooft een oplossing door logische qubits te coderen op een groter aantal fysieke qubits, zodanig dat de fysieke fouten voldoende worden onderdrukt om een gewenste berekening met acceptabele getrouwheid te kunnen uitvoeren. Kwantumfoutcorrectie wordt praktisch realiseerbaar zodra het fysieke foutenpercentage onder een drempelwaarde ligt die afhangt van de keuze van de kwantumcode, het syndroommeetcircuit en het decoderingsalgoritme . We presenteren een end-to-end kwantumfoutcorrectieprotocol dat fouttolerante geheugens implementeert op basis van een familie van low-density parity-check (LDPC) codes . Onze aanpak bereikt een foutdrempel van 0,7% voor het standaard circuitgebaseerde ruismodellen, vergelijkbaar met de surface code , , , die gedurende 20 jaar de toonaangevende code was qua foutdrempel. De syndroommeetcyclus voor een code met lengte in onze familie vereist ancilla-qubits en een circuit met diepte 8 met CNOT-poorten, qubit-initialisaties en metingen. De vereiste qubitconnectiviteit is een graaf van graad 6, samengesteld uit twee rand-disjuncte planaire subgrafen. In het bijzonder tonen we aan dat 12 logische qubits behouden kunnen blijven voor bijna 1 miljoen syndroomcycli met in totaal 288 fysieke qubits, uitgaande van een fysiek foutenpercentage van 0,1%, terwijl de surface code bijna 3.000 fysieke qubits zou vereisen om deze prestatie te behalen. Onze bevindingen maken demonstraties van een fouttolerante kwantumgeheugen met lage overhead binnen bereik van kwantumprocessoren voor de nabije toekomst. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Main Kwantumcomputing trok de aandacht vanwege zijn vermogen om asymptotisch snellere oplossingen te bieden voor een reeks computationele problemen in vergelijking met de beste bekende klassieke algoritmen . Er wordt geloofd dat een functionerende schaalbare kwantumcomputer kan helpen bij het oplossen van computationele problemen op gebieden zoals wetenschappelijke ontdekkingen, materiaalonderzoek, chemie en medicijnontwerp, om er maar een paar te noemen , , , . 5 11 12 13 14 Het belangrijkste obstakel voor het bouwen van een kwantumcomputer is de fragiliteit van kwantum informatie, vanwege verschillende bronnen van ruis die erop inwerken. Aangezien het isoleren van een kwantumcomputer van externe effecten en het beheersen ervan om een gewenste berekening te induceren, met elkaar in conflict zijn, lijkt ruis onvermijdelijk. De bronnen van ruis omvatten imperfecties in qubits, gebruikte materialen, besturingsapparatuur, fouten bij de voorbereiding van de staat en meting, en een verscheidenheid aan externe factoren, variërend van lokaal door de mens gemaakte, zoals strooiende elektromagnetische velden, tot die die inherent zijn aan het universum, zoals kosmische straling. Zie ref. voor een samenvatting. Hoewel sommige bronnen van ruis geëlimineerd kunnen worden met betere controle , materialen en afscherming , , , lijken verschillende andere bronnen moeilijk, zo niet onmogelijk, te verwijderen. De laatste soort kan spontane en gestimuleerde emissie in gevangen ionen omvatten , , en de interactie met het bad (Purcell-effect) in supergeleidende circuits—die beide toonaangevende kwantumtechnologieën bestrijken. Foutcorrectie wordt dus een sleutelvereiste voor het bouwen van een functionerende schaalbare kwantumcomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 De mogelijkheid van kwantumfouttolerantie is goed ingeburgerd . Het coderen van een logische qubit redundant in vele fysieke qubits maakt het mogelijk om fouten te diagnosticeren en te corrigeren door herhaaldelijk syndromen van pariteitscontroleoperatoren te meten. Foutcorrectie is echter alleen gunstig als het hardwarefoutenpercentage onder een bepaalde drempelwaarde ligt die afhangt van een bepaald foutcorrectieprotocol. De eerste voorstellen voor kwantumfoutcorrectie, zoals geconcateerde codes , , , waren gericht op het aantonen van de theoretische mogelijkheid van foutonderdrukking. Naarmate het begrip van kwantumfoutcorrectie en de mogelijkheden van kwantumtechnologieën volwassener werden, verschoof de focus naar het vinden van praktische kwantumfoutcorrectieprotocollen. Dit resulteerde in de ontwikkeling van de surface code , , , die een hoge foutdrempel dicht bij 1% biedt, snelle decoderingsalgoritmen en compatibiliteit met bestaande kwantumprocessoren die afhankelijk zijn van tweedimensionale (2D) vierkante rooster qubitconnectiviteit. Kleine voorbeelden van de surface code met een enkele logische qubit zijn al experimenteel gedemonstreerd door verschillende groepen , , , , . Het opschalen van de surface code naar 100 of meer logische qubits zou echter prohibitief duur zijn vanwege de slechte coderingsefficiëntie. Dit stimuleerde interesse in meer algemene kwantumcodes die bekend staan als low-density parity-check (LDPC) codes . Recente vooruitgang in de studie van LDPC-codes suggereert dat ze kwantumfouttolerantie kunnen bereiken met een veel hogere coderingsefficiëntie . Hier richten we ons op de studie van LDPC-codes, aangezien ons doel is om kwantumfoutcorrectiecodes en -protocollen te vinden die zowel efficiënt als praktisch realiseerbaar zijn, gezien de beperkingen van kwantumcomputingtechnologieën. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Een kwantumfoutcorrigerende code is van het LDPC-type als elke controleoperator van de code slechts op een paar qubits werkt en elke qubit deelneemt aan slechts een paar controles. Verschillende varianten van LDPC-codes zijn onlangs voorgesteld, waaronder hyperbolische surface codes , , , hypergraaf product , gebalanceerde productcodes , tweeblokcodes gebaseerd op eindige groepen , , , en kwantum Tanner codes , . De laatste zijn aangetoond , asymptotisch 'goed' te zijn in de zin van het bieden van een constante coderingsefficiëntie en lineaire afstand: een parameter die het aantal te corrigeren fouten kwantificeert. Daarentegen heeft de surface code een asymptotisch nul coderingsefficiëntie en alleen vierkantswortelafstand. Het vervangen van de surface code door een LDPC-code met hoge efficiëntie en grote afstand kan grote praktische implicaties hebben. Ten eerste kan de fouttolerantie-overhead (de verhouding tussen het aantal fysieke en logische qubits) aanzienlijk worden verminderd. Ten tweede vertonen codes met grote afstand een zeer scherpe afname van de logische foutenrate: naarmate de fysieke foutkans de drempelwaarde overschrijdt, kan de door de code bereikte mate van foutonderdrukking met ordes van grootte toenemen, zelfs met een kleine reductie van de fysieke foutkans. Dit kenmerk maakt LDPC-codes met grote afstand aantrekkelijk voor demonstraties in de nabije toekomst die waarschijnlijk zullen opereren in het regime nabij de drempel. Het werd echter eerder geloofd dat het overtreffen van de surface code voor realistische ruismodellen, waaronder geheugen-, gate- en staatvoorbereidings- en meetfouten, zeer grote LDPC-codes met meer dan 10.000 fysieke qubits kan vereisen . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Hier presenteren we verschillende concrete voorbeelden van LDPC-codes met hoge efficiëntie en enkele honderden fysieke qubits, uitgerust met een syndroommeetcircuit met lage diepte, een efficiënt decoderingsalgoritme en een fouttolerant protocol voor het aanpakken van individuele logische qubits. Deze codes vertonen een foutdrempel dicht bij 0,7%, tonen uitstekende prestaties in het regime nabij de drempel en bieden een 10-voudige reductie van de codering-overhead in vergelijking met de surface code. Hardwarevereisten voor het realiseren van onze foutcorrectieprotocollen zijn relatief mild, aangezien elke fysieke qubit via twee-qubit poorten is gekoppeld aan slechts zes andere qubits. Hoewel de qubitconnectiviteitsgraaf niet lokaal in een 2D-rooster ingebed kan worden, kan deze worden ontleed in twee planaire subgrafen van graad 3. Zoals we hieronder betogen, is dergelijke qubitconnectiviteit zeer geschikt voor architecturen op basis van supergeleidende qubits. Onze codes zijn een generalisatie van fietsbandcodes voorgesteld door MacKay et al. en dieper bestudeerd in refs. , , . We noemen onze codes bivariate bicycle (BB) omdat ze gebaseerd zijn op bivariate polynomen, zoals gedetailleerd in de . Dit zijn stabilisatorcodes van het Calderbank–Shor–Steane (CSS) type , die kunnen worden beschreven door een verzameling van zes-qubit controle (stabilisator) operatoren bestaande uit Pauli en . Op hoog niveau is een BB-code vergelijkbaar met de tweedimensionale toric code . In het bijzonder kunnen fysieke qubits van een BB-code worden geplaatst op een tweedimensionaal rooster met periodieke randvoorwaarden, zodat alle controleoperatoren worden verkregen uit een enkel paar en controles door horizontale en verticale verschuivingen van het rooster toe te passen. Echter, in tegenstelling tot de plaquette- en vertexstabilisatoren die de toric code beschrijven, zijn de controleoperatoren van BB-codes niet geometrisch lokaal. Bovendien werkt elke controle op zes qubits in plaats van vier qubits. We zullen de code beschrijven met een Tanner-graaf zodat elke vertex van een databitul of een controleoperator vertegenwoordigt. Een controlevertex en een dataview zijn verbonden door een rand als de -de controleoperator niet-triviaal werkt op de -de databitul (door Pauli of toe te passen). Zie Fig. voor voorbeeld Tanner-grafen van surface en BB codes, respectievelijk. De Tanner-graaf van elke BB-code heeft een graad van 6 en een graaf dikte gelijk aan twee, wat betekent dat deze kan worden ontleed in twee rand-disjuncte planaire subgrafen ( ). Dikte-2 qubitconnectiviteit is zeer geschikt voor supergeleidende qubits die worden gekoppeld door microgolfresonatoren. Twee planaire lagen van koppelaars en hun besturingslijnen kunnen bijvoorbeeld aan de boven- en onderkant van de chip die de qubits host, worden bevestigd, en de twee zijden worden gematcht. 41 35 36 42 Methods 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Methods , Tanner-graaf van een surface code, ter vergelijking. , Tanner-graaf van een BB-code met parameters [[144, 12, 12]] ingebed in een torus. Elke rand van de Tanner-graaf verbindt een data- en een controlevertex. Dataqubits geassocieerd met de registers ( ) en ( ) worden weergegeven door blauwe en oranje cirkels. Elke vertex heeft zes inval-randen, waaronder vier kort-bereik randen (wijzend naar noord, zuid, oost en west) en twee lang-bereik randen. We tonen slechts enkele lang-bereik randen om rommel te voorkomen. Gestippelde en effen randen geven twee planaire subgrafen aan die de Tanner-graaf overspannen, zie de . , Schets van een Tanner-graafuitbreiding voor het meten van en volgens ref. , die aansluit op een surface code. De ancilla die overeenkomt met de meting kan worden verbonden met een surface code, waardoor load-store operaties voor alle logische qubits mogelijk worden gemaakt door middel van kwantumteleportatie en enkele logische unitaire operaties. Deze uitgebreide Tanner-graaf heeft ook een implementatie in een dikte-2 architectuur via de en randen ( ). a b q L q R Methods c 50 A B Methods Een BB-code met parameters [[ , , ]] codeert logische qubits in dataqubits met een codewijdte , wat betekent dat elke logische fout ten minste dataqubits overspant. We verdelen dataqubits in registers ( ) en ( ) van elk /2 grootte. Elke controle werkt op drie qubits uit ( ) en drie qubits uit ( ). De code is afhankelijk van ancilla-controlequbits om het foutsyndroom te meten. We verdelen controlequbits in registers ( ) en ( ) van elk /2 grootte die syndromen van het en type verzamelen. In totaal is de codering afhankelijk van 2 fysieke qubits. De netto coderingsefficiëntie is daarom = /(2 ). De standaard surface code architectuur codeert bijvoorbeeld = 1 logische qubit in = dataqubits voor een code met afstand en gebruikt − 1 controlequbits voor syndroommetingen. De netto coderingsefficiëntie is ≈ 1/(2 ), wat snel onpraktisch wordt omdat men gedwongen wordt een grote codewijdte te kiezen, bijvoorbeeld vanwege de fysieke fouten die dicht bij de drempelwaarde liggen. Daarentegen hebben BB-codes een coderingsefficiëntie ≫ 1/ , zie Tabel voor codervoorbeelden. Voor zover wij weten, zijn alle codes die in Tabel worden getoond, nieuw. De code met afstand 12 [[144, 12, 12]] is mogelijk het meest veelbelovend voor demonstraties in de nabije toekomst, omdat het een grote afstand combineert met een hoge netto coderingsefficiëntie = 1/24. Ter vergelijking, de surface code met afstand 11 heeft een netto coderingsefficiëntie = 1/241. Hieronder tonen we aan dat de BB-code met afstand 12 beter presteert dan de surface code met afstand 11 voor het experimenteel relevante bereik van foutenpercentages. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Om de accumulatie van fouten te voorkomen, moet het mogelijk zijn om het foutsyndroom voldoende vaak te meten. Dit wordt bereikt door een syndroommeetcircuit dat databits in de ondersteuning van elke controleoperator koppelt met de respectieve ancilla-qubit via een reeks CNOT-poorten. Controlequbits worden vervolgens gemeten, waardoor de waarde van het foutsyndroom wordt onthuld. De tijd die nodig is om het syndroommeetcircuit te implementeren, is evenredig met de diepte ervan: het aantal poortlagen bestaande uit niet-overlappende CNOT's. Aangezien er nieuwe fouten blijven optreden terwijl het syndroommeetcircuit wordt uitgevoerd, moet de diepte ervan worden geminimaliseerd. De volledige cyclus van syndroommeting voor een BB-code wordt geïllustreerd in Fig. . De syndroomcyclus vereist slechts zeven lagen CNOT's, ongeacht de codelengte. De controlequbits worden geïnitialiseerd en gemeten aan het begin en einde van de syndroomcyclus respectievelijk (zie de voor details). Het circuit respecteert de cyclische verschuivingssymmetrie van de onderliggende code. 2 Methods Volledige cyclus van syndroommetingen met zeven lagen CNOT's. We bieden een lokaal beeld van het circuit dat slechts één databitul uit elk register ( ) en ( ) bevat. Het circuit is symmetrisch onder horizontale en verticale verschuivingen van de Tanner-graaf. Elke databitul is gekoppeld via CNOT's aan drie *X-* en drie *Z-* controlequbits: zie de voor meer details. q L q R Methods Het volledige foutcorrectieprotocol voert ≫ 1 syndroommeetcycli uit en roept vervolgens een decoder aan: een klassiek algoritme dat als input de gemeten syndromen neemt en een gok van de uiteindelijke fout op de dataqubits uitvoert. Foutcorrectie slaagt als de gegokte en de werkelijke fout overeenkomen modulo een product van controleoperatoren. In dit geval hebben de twee fouten dezelfde actie op elke gecodeerde (logische) toestand. Het toepassen van de inverse van de gegokte fout brengt de dataqubits dus terug naar de oorspronkelijke logische toestand. Anders, als de gegokte en de werkelijke fout verschillen met een niet-triviale logische operator, faalt de foutcorrectie en resulteert dit in een logische fout. Onze numerieke experimenten zijn gebaseerd op belief propagation met een ordered statistics decoder (BP-OSD) voorgesteld door Panteleev en Kalachev . Het oorspronkelijke werk beschreef BP-OSD in de context van een speelgoedruismodellen met alleen geheugenfouten. Hier laten we zien hoe BP-OSD kan worden uitgebreid naar het circuitgebaseerde ruismodellen, zie de voor details. Onze aanpak volgt nauwkeurig refs. , , , . N c 36 36 Supplementary Information 45 46 47 48
