부록 A. 안정성, Krein-Moser 정리, 개선 사항 및 참고 자료

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부록 A. 안정성, Krein-Moser 정리 및 개선 사항

이제 GIT 시퀀스가 주기 궤도의 (선형) 안정성을 위상적으로 인코딩하는 방법을 설명하고 이를 Kerin 이론 및 Krein-Moser 안정성 정리의 기본 개념과 비교합니다. 정리 A를 구하는 방법도 설명하겠습니다.

우리는 Ekeland의 저서 [Eke90]([Ab01] 참조)의 설명을 따릅니다. 선형 대칭 ODE를 고려해보세요.

R(T)가 (강하게) 안정한 경우에만 ODE x˙ = JA(t)x가 (강하게) 안정하다는 것을 보여줄 수 있습니다 [Eke90]. 더욱이, 안정성은 R(T)가 대각화 가능하고(즉, 모든 고유값이 반단순임) 해당 스펙트럼이 단위원에 있는 것과 동일합니다[Eke90].

이제, 대칭 행렬 R의 고유값의 타원 쌍 {λ, λ}를 고려하십시오. 그러면 R에 가까운 다른 모든 대칭 행렬도 단위원에서 ±1과 다른 단순 고유값을 갖게 됩니다(그렇지 않으면 고유값은 두 개로 분기되어야 합니다). , 모든 고유값은 4배로 오기 때문에 고유공간이 1차원인 경우에는 불가능합니다. 따라서 이 상황에서 R은 매우 안정적입니다. 다중도가 더 높은 고유값의 경우는 Kerin 이론을 통해 처리됩니다. 두 개의 타원 고유값이 합쳐질 때마다 이는 언제 원을 벗어날 수 없고 복소수 4중으로 전환할 수 없는지에 대한 기준을 제공합니다. 이는 다음과 같이 작동합니다.

x, y는 대응하는 고유벡터입니다. 또한, 일반화된 고유공간을 고려하면

정의 A.2. (크레인 양성/부정성) λ가 |λ|를 갖는 교향 행렬 R의 고유값인 경우 = 1이면 Gλ의 시그니처(p, q)를 λ의 Krein 유형 또는 Kerin 시그니처라고 합니다. q = 0인 경우, 즉 Gλ가 양의 정부호이면 λ는 Krein 양수라고 합니다. p = 0이면, 즉 Gλ가 음의 정부호이면 λ는 Krein-negative라고 합니다. λ가 Krein-음성 또는 Krein-양성이면 Krein-한정적이라고 말합니다. 그렇지 않으면 Krein-부정이라고 말합니다.

λ가 Krein 유형(p, q)이면 λ는 Krein 유형(q, p)입니다[Eke90]. λ가 |λ|를 만족하는 경우 = 1이고 반단순이 아닌 경우 Krein-부정임 [Eke90]임을 쉽게 알 수 있습니다. 더욱이, ±1은 고유값인 경우 항상 Krein-inlimited입니다. 왜냐하면 실수 고유벡터 x를 가지므로 G 등방성, 즉 G(x, x) = 0이기 때문입니다. 다음은 Kerin이 [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4]와 [M78]에서 Moser가 독립적으로 재발견한 이 이론은 Kerin 이론의 측면에서 강력한 안정성의 특성을 제공합니다.

정리 3(Krein-Moser). R은 R이 안정적이고 모든 고유값이 Krein-한정인 경우에만 매우 안정적입니다.

증거는 [ Eke90 ]을 참조하세요. 이는 위에서 설명한 것처럼 모든 고유값이 ±1과 다르고 단위원에서 단순한 경우를 일반화한다는 점에 유의하세요. 이제 GIT 시퀀스가 Kerin 이론과 연결되는 방식은 다음과 같습니다.

발의안 A.1([FM]). Wonenburger 행렬의 경우 Kerin 서명은 타원 고유값의 B 서명과 일치합니다.

예 A.3. 간단한 예로, 명제 A.1을 설명하기 위해 Wonenburger 행렬을 고려하십시오.

Krein-Moser 정리와 명제 A.1의 결과로서 우리는 다음을 얻습니다.

정리 4. R을 Wonenburger 행렬이라고 하자. 그러면 R은 R이 안정적이고 모든 고유값이 B-확정인 경우에만 매우 안정적입니다.

더 높은 차원에서, 워넨버거 행렬의 주어진 고다중 타원 또는 쌍곡선 고유값이 복소수 4배로 교란될 수 있는지 여부는 해당 B 서명이 명확한지 여부에 따라 결정됩니다. 예를 들어 그림 9와 설명 5.2를 참조하세요. 이는 모든 차원에서 Krein-Moser 정리의 위상학적 증명을 제공하며 실제로는 이를 쌍곡선 사례(Wonenburger 행렬의 경우)에 대해 일반화하여 소개에서 정리 A를 증명합니다.

참고자료

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