저자:  (1) 어거스틴 모레노;  (2) 프란체스코 루셀리.  링크 표   추상적인   소개   예선   B 시그니처   GIT 시퀀스: 낮은 차원   GIT 시퀀스: 임의의 차원   부록 A. 안정성, Krein-Moser 정리, 개선 사항 및 참고 자료  부록 A. 안정성, Krein-Moser 정리 및 개선 사항  이제 GIT 시퀀스가 주기 궤도의 (선형) 안정성을 위상적으로 인코딩하는 방법을 설명하고 이를 Kerin 이론 및 Krein-Moser 안정성 정리의 기본 개념과 비교합니다. 정리 A를 구하는 방법도 설명하겠습니다.  우리는 Ekeland의 저서 [Eke90]([Ab01] 참조)의 설명을 따릅니다. 선형 대칭 ODE를 고려해보세요.   R(T)가 (강하게) 안정한 경우에만 ODE x˙ = JA(t)x가 (강하게) 안정하다는 것을 보여줄 수 있습니다 [Eke90]. 더욱이, 안정성은 R(T)가 대각화 가능하고(즉, 모든 고유값이 반단순임) 해당 스펙트럼이 단위원에 있는 것과 동일합니다[Eke90].  이제, 대칭 행렬 R의 고유값의 타원 쌍 {λ, λ}를 고려하십시오. 그러면 R에 가까운 다른 모든 대칭 행렬도 단위원에서 ±1과 다른 단순 고유값을 갖게 됩니다(그렇지 않으면 고유값은 두 개로 분기되어야 합니다). , 모든 고유값은 4배로 오기 때문에 고유공간이 1차원인 경우에는 불가능합니다. 따라서 이 상황에서 R은 매우 안정적입니다. 다중도가 더 높은 고유값의 경우는 Kerin 이론을 통해 처리됩니다. 두 개의 타원 고유값이 합쳐질 때마다 이는 언제 원을 벗어날 수 없고 복소수 4중으로 전환할 수 없는지에 대한 기준을 제공합니다. 이는 다음과 같이 작동합니다.   x, y는 대응하는 고유벡터입니다. 또한, 일반화된 고유공간을 고려하면     λ가 |λ|를 갖는 교향 행렬 R의 고유값인 경우 = 1이면 Gλ의 시그니처(p, q)를 λ의 Krein 유형 또는 Kerin 시그니처라고 합니다. q = 0인 경우, 즉 Gλ가 양의 정부호이면 λ는 Krein 양수라고 합니다. p = 0이면, 즉 Gλ가 음의 정부호이면 λ는 Krein-negative라고 합니다. λ가 Krein-음성 또는 Krein-양성이면 Krein-한정적이라고 말합니다. 그렇지 않으면 Krein-부정이라고 말합니다. 정의 A.2. (크레인 양성/부정성)  λ가 Krein 유형(p, q)이면 λ는 Krein 유형(q, p)입니다[Eke90]. λ가 |λ|를 만족하는 경우 = 1이고 반단순이 아닌 경우 Krein-부정임 [Eke90]임을 쉽게 알 수 있습니다. 더욱이, ±1은 고유값인 경우 항상 Krein-inlimited입니다. 왜냐하면 실수 고유벡터 x를 가지므로 G 등방성, 즉 G(x, x) = 0이기 때문입니다. 다음은 Kerin이 [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4]와 [M78]에서 Moser가 독립적으로 재발견한 이 이론은 Kerin 이론의 측면에서 강력한 안정성의 특성을 제공합니다.     정리 3(Krein-Moser). R은 R이 안정적이고 모든 고유값이 Krein-한정인 경우에만 매우 안정적입니다.  증거는 [   ]을 참조하세요. 이는 위에서 설명한 것처럼 모든 고유값이 ±1과 다르고 단위원에서 단순한 경우를 일반화한다는 점에 유의하세요. 이제 GIT 시퀀스가 Kerin 이론과 연결되는 방식은 다음과 같습니다. Eke90     발의안 A.1([FM]). Wonenburger 행렬의 경우 Kerin 서명은 타원 고유값의 B 서명과 일치합니다.    간단한 예로, 명제 A.1을 설명하기 위해 Wonenburger 행렬을 고려하십시오.  예 A.3.  Krein-Moser 정리와 명제 A.1의 결과로서 우리는 다음을 얻습니다.       정리 4. R을 Wonenburger 행렬이라고 하자. 그러면 R은 R이 안정적이고 모든 고유값이 B-확정인 경우에만 매우 안정적입니다.  더 높은 차원에서, 워넨버거 행렬의 주어진 고다중 타원 또는 쌍곡선 고유값이 복소수 4배로 교란될 수 있는지 여부는 해당 B 서명이 명확한지 여부에 따라 결정됩니다. 예를 들어 그림 9와 설명 5.2를 참조하세요. 이는 모든 차원에서 Krein-Moser 정리의 위상학적 증명을 제공하며 실제로는 이를 쌍곡선 사례(Wonenburger 행렬의 경우)에 대해 일반화하여 소개에서 정리 A를 증명합니다.  참고자료  [Ab01] 아본단돌로, 알베르토. 해밀턴 시스템에 대한 모스 이론. Chapman & Hall/CRC 수학 연구 노트, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 페이지 ISBN: 1-58488-202-6  [Ay22] 아이딘, 센기즈. 바빌로니아 달 관측부터 Floquet 승수 및 Conley-Zehnder 지수까지. 사전 인쇄 arXiv:2206.07803, 2022.  [AFKM] 아이딘, 센기즈; 프라우엔펠더, 우르스; 고다영; 모레노, 어거스틴. 우주 임무 설계의 Symlectic 방법. 2023년 AAS/AIAA 천체역학 전문가 회의 간행물, 2023.  [Br69] Broucke, R. 타원 제한된 삼체 문제에서 주기 궤도의 안정성. AIAA J. 7,1003(1969).  [Eke90] 에켈란드, 이바르. 해밀턴 역학의 볼록성 방법. Egebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [수학과 관련 분야의 결과(3)], 19. Springer-Verlag, Berlin, 1990. x+247 페이지 ISBN: 3-540-50613-6  [FM] 프라우엔펠더, 우르스; 모레노, 어거스틴. Symplectic 그룹의 GIT 지수, 주기 궤도의 안정성 및 분기점, Journal of Symplectic Geometry. 표시하는.  [FMb] 프라우엔펠더, 우르스; 모레노, 어거스틴. 이중 대칭 주기 궤도에서. 천체 역학 및 동적 천문학, 135(2023), no. 2, 논문 20호.  [HD98] 하워드, 제임스 E.; Dullin, Holger R. 자연 교감 지도의 선형 안정성. 물리. 레트 사람. A 246(1998), No. 3-4, 273-283.  [HM87] 하워드, JE; MacKay, RS 해밀턴 시스템의 평형에 대한 선형 안정성 경계 계산. 물리. 레트 사람. A 122(1987), No. 6-7, 331-334.  Kre1] Krein, M.: 주기 계수가 있는 선형 미분 방정식에 대한 AM Liapunov의 특정 조사 일반화. 도클레이디 아카드. Nauk 소련 73(1950) 445-448.  Kre2] Krein, M.: 단극 행렬 이론의 대수적 명제 적용에 대해. 우스페키 수학. Nauk 6(1951) 171-177.  [Kre3] Krein, M.: 지수 유형의 전체 행렬 함수 이론에 대해. 우크라이나 수학. 저널 3(1951) 164-173.  [Kre4] Krein, M.: 특성 숫자와 Liapunov 안정 영역에 대한 최대 및 최소 문제에 대해 설명합니다. Prikl. 수학. 메크. 15 (1951) 323-348.  [M78] 모저, 위르겐. 대칭기하학의 고정점 정리. 액타 수학. 141(1978), No. 1-2, 17~34.  (A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, 하이델베르그, 독일 이메일 주소: agustin.moreno2191@gmail.com  (F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, 하이델베르그, 독일 이메일 주소: fruscelli@mathi.uni-heidelberg.de  이 문서는 CC BY-NC-SA 4.0 DEED 라이센스에 따라   . arxiv에서 볼 수 있습니다

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