```html 저자: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder 초록 물리적 오류의 축적 , , 은 현재 양자 컴퓨터에서 대규모 알고리즘을 실행하는 것을 방해합니다. 양자 오류 수정 은 개의 논리 큐비트를 더 큰 수 개의 물리 큐비트에 인코딩하여 물리적 오류를 충분히 억제하여 원하는 계산을 허용 가능한 충실도로 실행할 수 있도록 함으로써 솔루션을 약속합니다. 양자 오류 수정은 물리적 오류율이 양자 코드, 증후군 측정 회로 및 디코딩 알고리즘의 선택에 따라 달라지는 임계값보다 낮아지면 실질적으로 실현 가능해집니다 . 우리는 저밀도 패리티 검사(low-density parity-check) 코드 족을 기반으로 내결함성 메모리를 구현하는 종단 간 양자 오류 수정 프로토콜을 제시합니다. 우리의 접근 방식은 표준 회로 기반 노이즈 모델에 대해 0.7%의 오류 임계값을 달성하며, 이는 20년 동안 오류 임계값 측면에서 선도적인 코드였던 표면 코드 , , , 와 비슷합니다. 우리족의 길이- 코드에 대한 증후군 측정 주기는 개의 보조 큐비트와 CNOT 게이트, 큐비트 초기화 및 측정으로 구성된 깊이-8 회로를 필요로 합니다. 필요한 큐비트 연결성은 두 개의 엣지 분리 평면 부분 그래프로 구성된 차수-6 그래프입니다. 특히, 우리는 288개의 물리 큐비트를 사용하여 0.1%의 물리적 오류율을 가정할 때 12개의 논리 큐비트를 거의 1백만 번의 증후군 주기 동안 보존할 수 있음을 보여줍니다. 반면, 표면 코드는 해당 성능을 달성하기 위해 거의 3,000개의 물리 큐비트가 필요합니다. 우리의 연구 결과는 가까운 미래의 양자 프로세서로도 실현 가능한 저비용 내결함성 양자 메모리 시연을 가능하게 합니다. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n 본문 양자 컴퓨팅은 알려진 최고의 고전 알고리즘에 비해 특정 계산 문제에 대해 점근적으로 더 빠른 솔루션을 제공할 수 있는 능력으로 인해 주목을 받았습니다 . 작동하는 확장 가능한 양자 컴퓨터는 과학적 발견, 재료 연구, 화학 및 약물 설계와 같은 분야에서 계산 문제를 해결하는 데 도움이 될 것으로 믿어집니다 , , , . 5 11 12 13 14 양자 컴퓨터 구축의 주요 장애물은 다양한 노이즈 소스가 영향을 미치기 때문에 양자 정보의 취약성입니다. 외부 효과로부터 양자 컴퓨터를 격리하고 원하는 계산을 유도하기 위해 제어하는 것이 서로 충돌하기 때문에 노이즈는 불가피한 것으로 보입니다. 노이즈 소스에는 큐비트, 사용된 재료, 제어 장치의 결함, 상태 준비 및 측정 오류, 그리고 국소 인공적인 전자기장부터 우주의 고유한 요인(예: 우주선)까지 다양한 외부 요인이 포함됩니다. 요약은 참조 를 참조하십시오. 일부 노이즈 소스는 더 나은 제어 , 재료 및 차폐 , , 로 제거할 수 있지만, 다른 여러 소스는 제거하기 어렵거나 불가능한 것으로 보입니다. 마지막 종류에는 이온 트랩에서의 자발 방출 및 유도 방출 , , 그리고 초전도 회로에서의 욕조(Purcell 효과)와의 상호작용 이 포함될 수 있으며, 이는 두 주요 양자 기술을 모두 다룹니다. 따라서 오류 수정은 확장 가능한 양자 컴퓨터를 구축하는 데 핵심적인 요구 사항이 됩니다. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 양자 내결함성의 가능성은 잘 확립되어 있습니다 . 하나의 논리 큐비트를 많은 물리 큐비트에 중복적으로 인코딩하면 패리티 검사 연산자의 증후군을 반복적으로 측정하여 오류를 진단하고 수정할 수 있습니다. 그러나 오류 수정은 하드웨어 오류율이 특정 오류 수정 프로토콜에 따라 달라지는 특정 임계값보다 낮을 때만 유익합니다. 연결 코드 , , 와 같은 양자 오류 수정에 대한 초기 제안은 오류 억제의 이론적 가능성을 입증하는 데 중점을 두었습니다. 양자 오류 수정에 대한 이해와 양자 기술의 기능이 성숙해짐에 따라 초점은 실용적인 양자 오류 수정 프로토콜을 찾는 것으로 옮겨졌습니다. 이는 1%에 가까운 높은 오류 임계값, 빠른 디코딩 알고리즘 및 2차원(2D) 정사각형 격자 큐비트 연결성에 의존하는 기존 양자 프로세서와의 호환성을 제공하는 표면 코드 , , , 의 개발로 이어졌습니다. 단일 논리 큐비트에 대한 표면 코드의 작은 예는 이미 여러 그룹에서 실험적으로 시연되었습니다 , , , , . 그러나 100개 이상의 논리 큐비트로 표면 코드를 확장하는 것은 낮은 인코딩 효율성으로 인해 비용이 많이 듭니다. 이는 저밀도 패리티 검사(LDPC) 코드 라고 하는 더 일반적인 양자 코드에 대한 관심을 불러일으켰습니다. LDPC 코드 연구의 최근 발전은 훨씬 더 높은 인코딩 효율성으로 양자 내결함성을 달성할 수 있음을 시사합니다 . 여기서는 LDPC 코드 연구에 중점을 둡니다. 우리의 목표는 양자 컴퓨팅 기술의 한계를 고려할 때 효율적이고 실질적으로 시연 가능한 양자 오류 수정 코드 및 프로토콜을 찾는 것입니다. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 양자 오류 수정 코드는 각 검사 연산자가 소수의 큐비트에만 작용하고 각 큐비트가 소수의 검사에만 참여하는 경우 LDPC 유형입니다. 최근에는 쌍곡선 표면 코드 , , , 쌍곡선 곱 , 균형 곱 코드 , 유한 그룹 기반의 두 블록 코드 , , , , 양자 테너 코드 , 를 포함한 여러 LDPC 코드 변형이 제안되었습니다. 후자는 점근적으로 '우수'한 것으로 입증되어 인코딩 속도가 일정하고 선형 거리를 제공합니다. 거리는 수정 가능한 오류 수를 정량화하는 매개변수입니다. 대조적으로, 표면 코드는 점근적으로 0인 인코딩 속도와 제곱근 거리만 가집니다. 표면 코드를 고속, 고거리 LDPC 코드로 대체하면 실질적인 의미가 크게 달라질 수 있습니다. 첫째, 내결함성 오버헤드(물리 큐비트 수와 논리 큐비트 수의 비율)를 상당히 줄일 수 있습니다. 둘째, 고거리 코드는 논리 오류율이 매우 날카롭게 감소합니다. 물리적 오류 확률이 임계값을 넘어서면 코드에 의해 달성되는 오류 억제량이 물리적 오류율이 약간만 감소해도 수십 배 증가할 수 있습니다. 이 기능은 고거리 LDPC 코드를 임계값 근처에서 작동할 가능성이 높은 가까운 미래 시연에 매력적으로 만듭니다. 그러나 기존의 노이즈 모델(메모리, 게이트, 상태 준비 및 측정 오류 포함)에서 표면 코드를 능가하려면 10,000개 이상의 물리 큐비트가 필요한 매우 큰 LDPC 코드가 필요할 수 있다는 것이 이전에는 믿어졌습니다 . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 여기서는 저심도 증후군 측정 회로, 효율적인 디코딩 알고리즘 및 개별 논리 큐비트를 처리하기 위한 내결함성 프로토콜을 갖춘 수백 개의 물리 큐비트를 가진 고속 LDPC 코드의 몇 가지 구체적인 예를 제시합니다. 이 코드들은 0.7%에 가까운 오류 임계값을 보이고, 임계값 근처에서 뛰어난 성능을 달성하며, 표면 코드에 비해 인코딩 오버헤드를 10배 줄입니다. 우리의 오류 수정 프로토콜을 구현하기 위한 하드웨어 요구 사항은 비교적 온화합니다. 각 물리 큐비트는 2-큐비트 게이트를 통해 단 6개의 다른 큐비트와만 연결되기 때문입니다. 큐비트 연결성 그래프가 2D 격자에 국소적으로 포함될 수는 없지만, 두 개의 엣지 분리 평면 부분 그래프로 분해될 수 있습니다. 아래에서 논의하듯이 이러한 큐비트 연결성은 초전도 큐비트를 기반으로 하는 아키텍처에 적합합니다. 우리의 코드는 MacKay 등의 연구에서 제안된 자전거 코드 의 일반화이며, 참조 , , 에서 더 깊이 연구되었습니다. 우리는 코드가 이변수 다항식에 기반하기 때문에 이 코드를 이변수 자전거(BB)라고 명명했으며, 이는 섹션에서 자세히 설명합니다. 이들은 Calderbank–Shor–Steane (CSS) 유형 , 의 안정자 코드이며, 파울리 및 로 구성된 6개의 큐비트 검사(안정자) 연산자 모음으로 설명할 수 있습니다. 높은 수준에서 BB 코드는 2차원 토릭 코드 와 유사합니다. 특히, BB 코드의 물리 큐비트는 주기적 경계 조건을 가진 2차원 격자에 배치될 수 있으며, 모든 검사 연산자는 단일 쌍의 및 검사에 격자의 수평 및 수직 이동을 적용하여 얻어집니다. 그러나 토릭 코드를 설명하는 플래킷 및 정점 안정자와 달리 BB 코드의 검사 연산자는 기하학적으로 국소적이지 않습니다. 또한 각 검사는 4개의 큐비트 대신 6개의 큐비트에 작용합니다. 우리는 코드를 테너 그래프 로 설명할 것이며, 여기서 의 각 정점은 데이터 큐비트 또는 검사 연산자를 나타냅니다. 검사 정점 와 데이터 정점 는 번째 검사 연산자가 번째 데이터 큐비트(파울리 또는 를 적용하여)에 비자명하게 작용하는 경우 엣지로 연결됩니다. 표면 코드 및 BB 코드의 예시 테너 그래프는 각각 그림 를 참조하십시오. 모든 BB 코드의 테너 그래프는 차수 6이고 그래프 두께 가 2이므로 두 개의 엣지 분리 평면 부분 그래프로 분해될 수 있습니다( ). 두께-2 큐비트 연결성은 마이크로파 공진기로 연결된 초전도 큐비트에 매우 적합합니다. 예를 들어, 커플러와 그 제어선의 두 평면 레이어를 큐비트를 호스팅하는 칩의 위쪽과 아래쪽에 부착하고 두 측면을 맞출 수 있습니다. 41 35 36 42 방법 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 방법 , 비교를 위한 표면 코드의 테너 그래프. , [[144, 12, 12]] 매개변수를 가진 BB 코드의 테너 그래프가 토러스에 내장되어 있습니다. 테너 그래프의 모든 엣지는 데이터 정점과 검사 정점을 연결합니다. 레지스터 ( ) 및 ( )와 관련된 데이터 큐비트는 파란색 및 주황색 원으로 표시됩니다. 각 정점은 네 개의 단거리 엣지(북쪽, 남쪽, 동쪽 및 서쪽을 가리킴)와 두 개의 장거리 엣지를 포함하여 6개의 엣지를 가집니다. 혼잡을 피하기 위해 몇 개의 장거리 엣지만 표시합니다. 점선과 실선 엣지는 테너 그래프를 덮는 두 개의 평면 부분 그래프를 나타냅니다. 을 참조하십시오. , 참조 에 따라 및 측정을 위한 테너 그래프 확장 스케치. 측정에 해당하는 보조는 표면 코드에 부착될 수 있으며, 양자 텔레포테이션 및 일부 논리 유니터리를 통해 모든 논리 큐비트에 대한 로드-스토어 작업을 가능하게 합니다. 이 확장된 테너 그래프는 및 엣지를 통해( ) 두께-2 아키텍처에서도 구현됩니다. a b q L q R 방법 c 50 A B 방법 [[ , , ]] 매개변수를 가진 BB 코드 는 개의 논리 큐비트를 개의 데이터 큐비트에 인코딩하며 코드 거리 를 제공합니다. 이는 모든 논리 오류가 최소 개의 데이터 큐비트에 영향을 미친다는 것을 의미합니다. 우리는 개의 데이터 큐비트를 각각 /2 크기의 레지스터 ( ) 및 ( )로 나눕니다. 모든 검사는 ( )의 세 큐비트와 ( )의 세 큐비트에 작용합니다. 코드는 오류 증후군을 측정하기 위해 개의 보조 검사 큐비트에 의존합니다. 우리는 개의 검사 큐비트를 각각 /2 크기의 레지스터 ( ) 및 ( )로 나누어 및 유형의 증후군을 수집합니다. 총 인코딩은 2 개의 물리 큐비트를 사용합니다. 따라서 순 인코딩 비율은 = /(2 )입니다. 예를 들어, 표준 표면 코드 아키텍처는 거리- 코드의 경우 = 1 논리 큐비트를 = 2 데이터 큐비트에 인코딩하고 증후군 측정을 위해 − 1개의 검사 큐비트를 사용합니다. 순 인코딩 비율은 ≈ 1/(2 2)이며, 이는 특히 물리적 오류가 임계값 근처에 있기 때문에 큰 코드 거리를 선택해야 하는 경우 빠르게 비실용적이 됩니다. 대조적으로, BB 코드는 인코딩 비율 ≫ 1/ 2를 가지며, 표 에서 코드 예시를 참조하십시오. 우리가 아는 한, 표 에 있는 모든 코드는 새로운 것입니다. 거리-12 코드 [[144, 12, 12]]는 큰 거리와 높은 순 인코딩 비율 = 1/24을 결합하므로 가까운 미래 시연에 가장 유망할 수 있습니다. 비교를 위해 거리-11 표면 코드는 순 인코딩 비율 = 1/241을 가집니다. 아래에서는 거리-12 BB 코드가 실험적으로 관련 있는 오류율 범위에서 거리-11 표면 코드보다 우수함을 보여줍니다. n k d 6 k n d d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d k n d n r d r d 1 1 r r 오류 축적을 방지하려면 오류 증후군을 충분히 자주 측정할 수 있어야 합니다. 이는 각 검사 연산자의 지원 내에 있는 데이터 큐비트를 해당 보조 큐비트에 일련의 CNOT 게이트로 연결하는 증후군 측정 회로를 통해 달성됩니다. 그런 다음 검사 큐비트를 측정하여 오류 증후군의 값을 나타냅니다. 증후군 측정 회로를 구현하는 데 걸리는 시간은 회로 깊이에 비례합니다. 즉, 겹치지 않는 CNOT 들의 게이트 레이어 수입니다. 증후군 측정 회로가 실행되는 동안 새로운 오류가 계속 발생하기 때문에 깊이를 최소화해야 합니다. BB 코드에 대한 전체 증후군 측정 주기는 그림 에 설명되어 있습니다. 증후군 주기는 코드 길이에 관계없이 단 7개의 CNOT 레이어만 필요합니다. 검사 큐비트는 증후군 주기 시작 및 끝에서 초기화 및 측정됩니다(세부 정보는 섹션 참조). 이 회로는 기본 코드의 순환 이동 대칭성을 존중합니다. 2 방법 7개의 CNOT 레이어를 사용하는 전체 증후군 측정 주기. 회로는 각 레지스터 ( ) 및 ( )에서 하나의 데이터 큐비트만 포함하는 로컬 보기를 제공합니다. 회로는 테너 그래프의 수평 및 수직 이동에 대해 대칭입니다. 각 데이터 큐비트는 3개의 *X-*검사 큐비트 및 3개의 *Z-*검사 큐비트와 CNOT로 연결됩니다. 자세한 내용은 을 참조하십시오. q L q R 방법 전체 오류 수정 프로토콜은 c ≫ 1 증후군 측정 주기를 수행한 다음 디코더를 호출합니다. 디코더는 입력으로 측정된 증후군을 받고 데이터 큐비트의 최종 오류 추측을 출력하는 고전 알고리즘입니다. 오류 수정은 추측된 오류와 실제 오류가 검사 연산자의 곱을 제외하고 일치하는 경우 성공합니다. 이 경우 두 오류는 모든 인코딩된(논리적) 상태에 대해 동일한 작용을 합니다. 따라서 추측된 오류의 역을 적용하면 데이터 큐비트가 초기 논리 상태로 돌아갑니다. 그렇지 않으면, 추측된 오류와 실제 오류가 비자명한 논리 연산자에 의해 다른 경우, 오류 수정은 실패하여 논리 오류가 발생합니다. 우리의 수치 실험은 Panteleev와 Kalachev가 제안한 순서 통계량 디코더(BP-OSD)를 사용한 신뢰 전달 을 기반으로 합니다. 원래 연구 는 메모리 오류만 있는 장난감 노이즈 모델의 맥락에서 BP-OSD를 설명했습니다. 여기서는 BP-OSD를 회로 기반 노이즈 모델에 확장하는 방법을 보여줍니다. 자세한 내용은 를 참조하십시오. 우리의 접근 방식은 참조 , , , 를 면밀히 따릅니다. N 36 36 보충 정보 45 46 47 48 증후군 측정 회로의 노이즈 버전에는 유휴 데이터 또는 검사 큐비트의 메모리 오류, 결함 있는 CNOT 게이트, 큐비트 초기화 및 측정과 같은 몇 가지 유형의 결함 있는 작업이 포함될 수 있습니다. 우리는 각 연산이 확률 로 독립적으로 실패하는 회로 기반 노이즈 모델 을 고려합니다. 논리 오류 확률 L 은 오류율 , 증후군 측정 회로의 세부 사항 및 디코딩 알고리즘에 따라 달라집니다. c 증후군 주기를 수행한 후의 논리 오류 확률을 L( c)이라고 합니다. 논리 오류율을 로 정의합니다. 비공식적으로 L 은 증후군 주기당 논리 오류 확률로 볼 수 있습니다. 일반적인 관행에 따라 거리- 코드의 경우 c = 를 선택합니다. 그림 p 10 p p N P N p d N d
