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여기 GitHub에서 전체 코드를 찾을 수 있습니다.
중심 극한 정리는 다음 현상을 포착합니다.
배포판을 받아보세요! (예를 들어 축구 경기에서 패스 횟수의 분포)
해당 분포(예: n = 5)에서 여러 번(예: m = 1000) n 샘플을 추출하기 시작합니다.
각 샘플 세트의 평균을 취합니다(따라서 m = 1000 평균이 됩니다).
수단의 분포는 (다소) 정규 분포를 따릅니다. (x축에 평균을, y축에 빈도를 표시하면 유명한 종형 곡선을 얻을 수 있습니다.)
더 작은 표준 편차를 얻으려면 n을 늘리고 정규 분포에 대한 더 나은 근사치를 얻으려면 m을 늘리십시오.
처리를 위해 전체 데이터를 로드할 수 없습니까? 문제 없습니다. 데이터에서 여러 샘플을 추출하고 중심 극한 정리를 사용하여 평균, 표준 편차, 합계 등과 같은 데이터 매개변수를 추정합니다.
시간과 비용 측면에서 리소스를 절약할 수 있습니다. 이제 모집단보다 훨씬 작은 표본을 사용하여 전체 모집단에 대한 추론을 도출할 수 있기 때문입니다!
특정 표본이 특정 모집단(또는 데이터 세트)에 속합니까? 표본평균, 모집단평균, 표본표준편차, 모집단표준편차를 이용하여 확인해 보겠습니다.
알 수 없는 분포(균일, 이항 또는 완전히 무작위일 수 있음)가 있는 데이터세트가 주어지면 표본 평균은 정규 분포에 가까워집니다.
데이터세트나 모집단을 선택하고 모집단에서 표본을 추출하기 시작한다고 가정해 보겠습니다. 10개의 표본을 채취하여 그 표본의 평균을 구하고 이 작업을 몇 번, 예를 들어 1000번 정도 계속한다고 가정해 보겠습니다. 1000개의 평균을 얻고 이를 플롯하면 표본 평균의 샘플링 분포라는 분포를 얻습니다.
이 샘플링 분포는 (다소간) 정규 분포를 따릅니다! 이것이 중심극한정리이다. 정규 분포에는 분석에 유용한 여러 가지 속성이 있습니다.
그림 1 표본 평균의 표본 분포(정규 분포를 따름)
정규 분포의 속성:
평균, 최빈값, 중앙값이 모두 동일합니다.
데이터의 68%가 평균의 1표준편차 내에 속합니다.
데이터의 95%가 평균의 2표준편차 내에 속합니다.
곡선은 중앙에서 대칭입니다(즉, 평균 μ를 중심으로).
또한, 표본평균의 표본분포 평균은 모집단 평균과 같습니다. μ가 모집단 평균이고 μX̅가 표본의 평균인 경우 다음을 의미합니다.
그림 2 모집단 평균 = 표본 평균
그리고 모집단의 표준편차(σ)는 표준편차 표본분포(σX̅)와 다음과 같은 관계를 갖습니다.
σ가 모집단의 표준편차이고 σX̅가 표본평균의 표준편차이고 n이 표본 크기라면 다음과 같습니다.
그림 3 모집단 표준편차와 표본분포 표준편차의 관계
모집단에서 여러 개의 표본을 추출하기 때문에 평균은 실제 모집단 평균과 같거나 가까운 경우가 많습니다. 따라서 표본 평균의 표본 분포에서 실제 모집단 평균과 동일한 피크(모드)를 기대할 수 있습니다.
여러 무작위 표본과 그 평균은 실제 모집단 평균 주위에 있습니다. 따라서 평균의 50%는 모집단 평균보다 크고 50%는 모집단 평균보다 작을 것이라고 가정할 수 있습니다(중앙값).
표본 크기를 10에서 20에서 30으로 늘리면 점점 더 많은 표본 평균이 모집단 평균에 가까워집니다. 따라서 해당 평균의 평균(평균)은 모집단 평균과 어느 정도 유사해야 합니다.
표본 크기가 모집단 크기와 동일한 극단적인 경우를 생각해 보십시오. 따라서 각 표본의 평균은 모집단 평균과 같습니다. 이는 가장 좁은 분포입니다(표본 평균의 표준 편차, 여기서는 0임).
따라서 표본 크기를 늘리면(10에서 20에서 30으로) 표준 편차가 감소하는 경향이 있습니다(표본 분포의 산포가 제한되고 더 많은 표본 평균이 모집단 평균에 집중되기 때문입니다).
이 현상은 표본 분포의 표준 편차가 표본 크기의 제곱근에 반비례하는 "그림 3"의 공식으로 표현됩니다.
점점 더 많은 샘플(1,000에서 5,000, 10,000)을 취하면 더 많은 샘플이 중심 극한 정리에 따라 동작하고 패턴이 더 깨끗해지기 때문에 샘플링 분포는 더 부드러운 곡선이 됩니다.
이제 코드를 통해 중심 극한 정리를 시뮬레이션해 보겠습니다.
일부 수입품:
import random from typing import List import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib import statistics import pandas as pd import math
random.randint()
사용하여 모집단을 만듭니다. 다양한 분포를 시도하여 데이터를 생성할 수 있습니다. 다음 코드는 (일종의) 단조 감소 분포를 생성합니다.
def create_population(sample_size: int) -> List[int]: """Generate a population of sample_size Args: sample_size (int): The size of the population Returns: List[int]: a list of randomly generated integers """ population = [] for _ in range(sample_size): random_number = (random.randint(0, random.randint(1, 1000))) population.append(random_number) return population
샘플을 생성하고 평균 sample_count
횟수를 취합니다.
def generate_sample_mean_list(population: List[int], sample_size: int, sample_count: int) -> List[int]: """From the population generate samples of sample_size, sample_count times Args: population (List[int]): List of random numbers sample_size (int): Number of elements in each sample sample_count (int): Number of sample means in sample_mean_list Returns: List[int]: a list of sample means """ sample_mean_list = [] for _ in range(sample_count): sample = random.sample(population, sample_size) sample_mean = statistics.mean(sample) sample_mean_list.append(sample_mean) return sample_mean_list
일부 레이블과 함께 데이터 분포를 그리는 기능입니다.
def plot_hist(data: List[int], ax: matplotlib.axes.Axes, xlabel: str, ylabel: str, title: str, texts: List[str]) -> None: """Plot a histogram with labels and additional texts Args: data (List[int]): the list of data points to be plotted ax (matplotlib.axes.Axes): Axes object for text plotting xlabel (str): label on x axis ylabel (str): label on y axis title (str): title of the plot texts (List[str]): Additional texts to be plotted """ plt.hist(data, 100) plt.xlabel(xlabel) plt.ylabel(ylabel) plt.title(title) i = 0.0 for text in texts: plt.text(0.8, 0.8 - i, text, horizontalalignment="center", verticalalignment="center", transform=ax.transAxes) i += 0.05 plt.grid(True) plt.show()
코드를 실행하는 주요 기능은 다음과 같습니다.
def main(plot=True): """Driver Function Args: plot (bool, optional): Decide whether to plot or not. Defaults to True. """ fig, ax = plt.subplots() population_size = int(1E5) population = create_population(population_size) if plot: plot_hist(population, ax, "Value", "Frequency", "Histogram of Population of Random Numbers", [f"population_size={population_size}"]) population_mean = statistics.mean(population) population_stdev = statistics.stdev(population) sample_size_list = [50, 500] sample_count_list = [500, 5000] records = [] for sample_size in sample_size_list: for sample_count in sample_count_list: sample_mean_list = generate_sample_mean_list( population, sample_size, sample_count) # also called as mean of sample distribution of sample means mean_of_sample_means = round(statistics.mean(sample_mean_list), 2) # also called standard dev of sample distribution of sample means std_error = round(statistics.stdev(sample_mean_list), 2) if plot: plot_hist(sample_mean_list, ax, "Mean Value", "Frequency", "Sampling Distribution of Sample Means", [ f"sample_count={sample_count}", f"sample_size={sample_size}", f"mean_of_sample_means={mean_of_sample_means}", f"std_error={std_error}"]) record = { "sample_size": sample_size, "sample_count": sample_count, "population_mean": population_mean, "sample_mean": mean_of_sample_means, "population_stdev": population_stdev, "population_stdev_using_formula": std_error*math.sqrt(sample_size), "sample_stdev": std_error, } records.append(record) df = pd.DataFrame(records) print(df) if __name__ == "__main__": main(plot=True)
여기 GitHub에서 전체 코드를 찾을 수 있습니다.
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