非可換クレパント解像度の突然変異: 概要と序論

に Eigenvector Initialization Publication3m2024/06/09

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この論文では、NCCR の観点から、超平面配置における壁交差に対応するマジックウィンドウ間の同値性を検討します。

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著者:

（１）原和平

（２）平野由希

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1. はじめに

1.1. 背景。クレパント分解は特異点の最も優れた修正法の 1 つです。これは表面特異点の極小分解の高次元類似物とみなすことができ、極小モデル理論の用語では、クレパント分解は特異点の滑らかな極小モデルと言い換えることができます。

クレパント分解の概念の非可換類似として、Van den Bergh は非可換クレパント分解 (= NCCR) [Van2, Van3] を導入しました。可換および非可換の両方の場合において、そのような分解の存在は必ずしも真ではありません。NCCR (およびクレパント分解) の研究が十分に確立されている特異点には 2 つの大きなクラスがあります。1 つは [SV1] で初めて研究された、簡約群の準対称表現から生じる商特異点のクラスであり、もう 1 つは [Van1, Wem] で研究された (3 重) 複合デュバル特異点のクラスです。後者のクラスを調べるために、Iyama と Wemyss [IW1] は、元の NCCR から新しい NCCR を生成する突然変異と呼ばれる操作を導入しました。川又 [Kaw] によれば、すべての極小モデル (したがってすべてのクレパント解決) は反復フロップによって接続されており、突然変異はフロップの非可換な対応物と見なすことができる。実際、[Bri、Che] で確立された 3 重フロップに関連する導出同値は、NCCR の突然変異に関連する導出同値に対応することが [Wem] で証明されている。この解釈と NCCR の突然変異の手法は、3 重フロップのブリッジランド安定条件の研究の主要な要素を提供する [HW1、HW2]。

この論文の主な目的は、[IW1]によって確立された技術を導入し、表現に関連する組合せ論を研究し、[HSa、SV1]のアイデアにアクセスすることで、準対称表現から生じる商特異点のNCCRの研究を深めることです。

1.2.修正モジュールの交換と突然変異。本節、第 1.3 節、および第 1.4 節では、この論文の背景を説明し、結果を述べるために必要な用語、表記法、および既知の結果をいくつか紹介します。主要な結果の正確な説明は、第 1.5 節で示します。

R を正規等次元ゴレンシュタイン環とする。有限生成反射 R 加群 M は、自己準同型環 EndR(M) が R 加群として Cohen-Macaulay である場合に、修正的であると言われる。R の非可換クレパント分解 (=NCCR) は、Λ のグローバル次元が有限であるような修正 R 加群 M の自己準同型環 Λ = EndR(M) である。EndR(M) が NCCR である場合、M は NCCR を与えると言われる。以下は、NCCR に関する中心的な問題の 1 つです。

予想1.1 ([Van2]) Rを等次元正規ゴレンシュタイン環とする。このとき、Rのすべてのクレパント分解とすべてのNCCRは導来同値である。この導来同値問題に関連して、IyamaとWemysは

与えられた 2 つの NCCR が (反復) 突然変異によって接続されているかどうかを尋ねるのは自然なことです。多くの種類の特異点では、その自然な NCCR は実際には突然変異によって接続されていることが知られています [Har1、Har2、HN、Nak、SV5、Wem]。この論文の主な目的の 1 つは、次のセクションで説明する準対称表現の商に関連付けられた NCCR について同様の結果を提示することです。

構築され、これを使用して

以下が私たちの主な結果です。

謝辞WH は、議論とコメントをいただいた Michael Wemyss 教授に感謝の意を表します。WH は EPSRC 助成金 EP/R034826/1 および ERC Consolidator Grant 101001227 (MMiMMa) の支援を受けました。YH は JSPS KAKENHI 19K14502 の支援を受けました。