非可換クレパント解決の突然変異: 修正モジュールの交換と突然変異

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• 概要と序文
• 修正モジュールの交換と変異
• 準対称表現とGIT商
• 主な結果
• カラビ・ヤウ交差点完成への応用
• 付録A. 行列分解
• 付録B. 表記法一覧
• 参考文献

2. 修正モジュールの交換と突然変異

2.1.非可換クレパント分解。このセクションでは、この記事で学習するいくつかの基本的な概念の定義を振り返ります。

(1) 反射R加群Mは、EndR(M)が（最大）コーエン・マコーレーR加群であるとき、修正加群と呼ばれる。

(2) Mが変形加群であり、代数Λが有限大域次元を持つ場合、反射加群Mは非可換クレパント分解(=NCCR)Λ = EndR(M)を与えると言う。

注意2.4. NCCRの定義は[Van3]や[IW1]の定義とは異なることに注意する。しかし、Rがd-sCYの場合、私たちの定義は他の定義と同等である。[Van3、Lemma 4.2]または[IW1、Lemma 2.23]を参照。

K ∈ addL から、誘導射 α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) が全射となるような写像。L = N ならば、単に α を M の右 (addL) 近似と呼ぶ。M の右 (add L)N - 近似 α: K → M は、α◦φ = α を満たす任意の自己準同型 φ ∈ End(K) が自己同型であるとき極小であるといい、K の任意の直和項 K′ が Ker(α) に含まれないとき α が簡約であるといい。右近似が極小であれば簡約であり、R が完全局所である場合はその逆も成り立つことに注意する。

定義2.6. Rを正規d-sCYとし、M、N、L∈ref Rとする。

補題2.7.表記は上記と同じ

（１） L′∈addLの場合、包含関係が存在する。

これは、交換の削減に限定した場合でも当てはまります。

（２） N′∈Nを加えると包含関係が存在する

これは、交換の削減に限定した場合でも当てはまります。

（３）別の完全なサブカテゴリS′⊆refRについては、包含関係が存在する。

R が完全局所的である場合、同様の包含は縮小交換にも当てはまります。

証明(1)、(2)、および(3)の最初の主張は明らかである。(3)の2番目の主張は、Rが完全局所的であれば、2つの近似α: K → Mとα′: K′ → M′が簡約されるのは、α⊕α′: K⊕K′→M⊕M′が簡約される場合のみであるという事実から導かれる。

証明Hom(N, M ⊕ N) が Cohen-Macaulay であると仮定し、正確な数列を考える。

0 → F Ker α → FK → FM → 0。

ここで、この列に関数Hom(−, FR)を適用し、反射的同値性も加えると、双対列

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

正確です。

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

正確さはまだ不明である。元のシーケンスのすべてのモジュールは反射的であるため、反射的同値性と双対性により同型性が得られる。

KとKer αについても同様の同型性があり、これは数列の正確さを意味している。

0 → Hom(N ∗ , M ∗ ) → Hom(N ∗ , K ∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

したがって、双対射

K∗ → (Ker α) ∗

は核M∗を持つ右(L∗を加える)N∗近似であり、最初の主張を証明している。2番目の主張も同様の議論から導かれる。

以下は、適切な状況で、修飾モジュールの直和項を交換すると新しい修飾モジュールが得られることを示しています。

補題2.10. M∈refRとする。次の同値性が成り立つ。

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

証明。R は局所的であると仮定できる。M は反射的であるため、方向を示すだけで十分である (⇒)。R はゴレンスタインであるため、その入射次元は有限である。したがって、結果は [BH、命題 3.3.3 (b)] から導かれる。

補題2.11. Rをゴレンシュタイン正規環とし、M, N ∈ ref Rとする。すると

証明方向 (⇒) を証明すれば十分である。Hom(M, N) ∈ CM R と仮定する。すると補題 2.10 は Hom(M, N) ∗ ∈ CM R を意味する。しかし補題 [IW1, 補題 2.9] により同型 Hom(M, N) ∗ ∼= Hom(N, M) が存在し、これは Hom(N, M) ∈ CM R であることを示す。

m < 0 の場合の証明も同様です。

注2.13. 右近似は一般に一意ではないので、右/左突然変異も一意ではない。しかし、右/左突然変異は加法閉包まで一意であり[IW1、補題6.2]、Rが完全局所的であれば、最小突然変異は同型性まで一意である。

定理2.14（[IW1、命題6.5、定理6.8、定理6.10]）。M∈refRをR修正加群とする。

2.3. ティルティングバンドルと突然変異。このセクションでは、代数スタック上のティルティングバンドルについて説明します。まず、代数スタックの導出カテゴリに関するいくつかの基本的な事実を思い出すことから始めます。