カーチ・ランドール・ブレーンワールドの多元宇宙: 情報パラドックスへの応用

リンク表

要約と紹介

ウェッジホログラフィーの簡単なレビュー

ウェッジホログラフィーから出現する多元宇宙

情報パラドックスへの応用

おじいさんのパラドックスへの応用

結論

謝辞と参考文献

4 情報パラドックスへの応用

•境界の説明: BCFT は、(d−1) 次元境界を持つ AdSd+1 境界に存在します。

•中間の説明: 2n 重力系は、(d − 1) 次元の欠陥における透明な境界条件を介して相互作用します。

•バルクの説明: BCFT の重力双対は、バルク内のアインシュタイン重力です。一貫性チェック: n = 2 の場合、(22) で与えられた式をチェックしてみましょう。

4.1 n = 2 多元宇宙における永遠の AdS ブラック ホールのページ曲線

まず、ブラックホールの熱エントロピーを計算します。 AdS バックグラウンドのブラック ホールの指標は次のとおりです。

これは、t1 → ∞、つまり遅い時間のときの無限量のホーキング放射に相当し、したがって情報パラドックスにつながります。

島表面からのもつれエントロピーの寄与:次に、島表面が t = 定数および z ≡ z(r) としてパラメータ化されると考えます。島の表面に対する 2 つの永遠の AdS ブラック ホールのもつれエントロピーは、(22) を使用して取得できます。 r = ±ρ (I1) と r = ±2ρ (I2) に位置するカーチ・ランダル ブレーンの間に伸びる 2 つの島表面 (I1 と I2) があるため、以下に示すように (22) と書くことができます。

4.2 シュワルツシルト・デシッター・ブラックホールのページ曲線

このセクションでは、シュワルツシルト デシッター ブラック ホールの情報パラドックスを研究します。セクション 3.3 で説明したように、一致しないブレーンを同じ欠陥に接続することはできません。したがって、最初にシュワルツシルト パッチのページ曲線を計算し、次に非ホログラフィック モデルと同様のデシッター パッチのページ曲線を計算することにより、この問題を 2 つの部分に分けて研究します [58]。これは次のようにして実行できます。サブセクション 4.2.1 ではバルクに埋め込まれた 2 つのフラット スペース ブレーンを検討し、サブセクション 4.2.2 では 2 つのデシッター ブレーンを使用したデシッター パッチを検討します。図 8 にセットアップを示しました。このセットアップは、それぞれシュヴァルツシルト パッチとデシッター パッチのフラット スペースとデシッター ブレーンを備えたウェッジ ホログラフィーの 2 つのコピーです。

4.2.1 シュヴァルツシルトパッチ

シュヴァルツシルト ブラック ホールの場合、Λ = 0 であるため、KarchRandall ブレーン上でシュヴァルツシルト ブラック ホールを実現するには、平面空間ブラック ホールを考慮する必要があります。 [42] では、バルク メトリックが次の形式を持つ必要がある場合、カーチ ランダル ブレーン上でフラット スペース ブラック ホールを取得できることが示されています。

4.2.2 デシッターパッチ

デシッターブラックホールとその深層は r = ±ρ に位置します。デシッターブレーンを含むバルクのメトリクスは次のとおりです。

(65) (64) の v 0 (z) を (65) に代入し、 f(z) = 1 − z 2 を使用して、単純化のために zs = 1 に設定します。EOM (65) は次のように単純化されます。

一般に、上記の方程式を解くのは簡単ではありません。興味深いことに、上記の微分方程式には az(r) = 1 の解があり、これは以前に仮定したデシッターの地平線 (zs = 1) [19] に他なりません。これはブレーン上のノイマン境界条件を満たしているため、宇宙論的な島の表面は

(70) の明確に定義された変分原理を要求し、セクション 4.1 での議論と同様にブレーンにノイマン境界条件を課すことによって、同じ結論に達することができます。

追加の数値因子「2」は、熱場のダブルパートナー側の 2 番目の宇宙論的島表面により発生します (図 8 を参照)。ウェッジ ホログラフィーから (69) と (75) をプロットすることにより、デシッター パッチのページ曲線を取得します。この場合、[33] と同様の平坦なページ曲線が得られます。

このセクションの結果を要約しましょう。 [33, 35] では、DGP 項のないウェッジ ホログラフィーでは、ブラック ホールの地平線が唯一の極値面であり、HartmanMaldacena 面は存在しないため、平坦なページ曲線が期待されると主張されています。また、AdS、シュヴァルツシルト、デシッター ブラック ホールの島表面のエンタングルメント エントロピーを計算すると、最小表面が AdS、シュヴァルツシルト、またはデシッター ブラック ホールの地平線であることがわかります。好奇心として、文献で使用されているパラメータ化 r(z) と v(z) についてハートマン・マルダセナ曲面のもつれエントロピーを計算したところ、AdS およびシュワルツシルト ブラック ホールの自明ではない線形時間依存性が見つかりました。一方、ハートマン・マルダセナ曲面はデシッターブラックホールのエンタングルメントエントロピーはゼロであることが判明しました。したがって、ハルトマン・マルダセナ曲面の非ゼロもつれエントロピーにより、AdS およびシュワルツシルト ブラック ホールではなく、デシッター ブラック ホールの平らなページ曲線が得られます。この論文のテーマは、平坦なページ曲線が得られるかどうかを議論することではありません。この論文は、セクション 3 で行ったカーチ・ランダル ブレーンワールドで「多元宇宙」を構築し、(22) で与えられた式を確認することを目的としていました。サブセクション 4.1 で、(22) が一貫した結果を与えていることがわかりました。

2 つのカーチ ランダル ブレーンを使用したシュワルツシルト デシッター ブラック ホールのウェッジ ホログラフィック実現についてのコメント:サブセクション 4.2 では、シュワルツシルト パッチとデシッター パッチの計算を別々に実行しました。シュヴァルツシルト デシッター ブラック ホールのページ曲線を取得する方法がもう 1 つあります。アイデアを以下に要約します。

上記の議論は単なる「数学的考え方」です。ミンコフスキー、デシッター、アンチデシッターの 3 つのブレーンが考えられるので [55]。 (76) の白括弧内に定義された誘導メトリックを持つブレーンはありません。さらにAdS/CFT対応やdS/CFT対応、平面空間ホログラフィーなどもございます。 ＣＦＴとシュワルツシルト・デシッター様構造の形態を有するバルクとの間に二重性を示すような二重性は存在しない。前述の理由により欠陥の説明はありません。したがって、ウェッジ ホログラフィーの「中間の説明」もありません。したがって、一方の部分がシュワルツシルトパッチを定義し、もう一方の部分がデシッターパッチを定義するような方法で、ウェッジホログラフィーの2つのコピーを使用してウェッジホログラフィーからシュワルツシルトデシッターブラックホールをモデル化できると結論付けます [22] 。

[13] [33] では、重力ブレーン上のノイマン境界条件がウェッジ ホログラフィーの Ryu-Takayanagi 面がブラック ホールの地平線であることを意味していると議論されました。 [35]でも島表面の面積に関する不等式条件を使用して同じことが得られました。論文全体を通じて、島表面のもつれエントロピーについて議論したところどこでも、同じことが得られました。

[14] (63) ～ (67) で詳細に示したステップに従うことによって、同じことを示すことができます。ただし、ワープ係数 sinh(r(z)) を er(z) に置き換える必要があります。

[15] (57) の開き括弧内の項を参照してください。z(r) の導関数と、消滅する特定の組み合わせ (−8z(r) 2 + 4z(r) + 4z(r) 3 ) を含む項があります。 z(r) = の場合

[16] 計算を簡略化するためにのみ zs = 1 を使用しました。宇宙定数は非常に小さいため、実際には zs >> 1 ですが、定性的な結果には影響しない数値です。

[17] 同じ解 r(z) = 0 は、Hartman-Maldacena 曲面の面積の計算において [35] にも登場しました。同様の解決策については [33] を参照してください。この場合、埋め込みは r(z) ですが、[33] では埋め込みは r(μ) であり、μ は角度です。

[18] デシッター空間の複雑さの議論については、[59] を参照してください。

[20] この場合、シュワルツシルト・デシッター・ブラックホール全体が放射線を放出すると、観測者はシュワルツシルト・パッチから放出されるホーキング放射線とデシッター・パッチから放出されるギボンズ・ホーキング放射線を区別できない可能性があるため、ホーキング輻射は適切な用語ではないでしょう。 [60]。

[21] この設定では、シュヴァルツシルト デ シッター ブラック ホールの内部にある島について話すことになるため、「島」という概念が問題になる可能性があります。 SdS ブラック ホールには 2 つの地平線があるため、「島」がブラック ホールの地平線の内側に位置するのか、それともデシッターの地平線の内側に位置するのかを判断するのに問題が生じる可能性があります。したがって、2 つのブラック ホールと 2 つのバスを使用したセットアップに従うとよいでしょう。非ホログラフィックアプローチについては、[58] を参照してください。

[22] 非ホログラフィック モデルについては、[58、62] を参照してください。