কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনওয়ার্ল্ডে মাল্টিভার্স: তথ্য প্যারাডক্সের আবেদন

লিঙ্কের টেবিল

বিমূর্ত এবং ভূমিকা

ওয়েজ হোলোগ্রাফির সংক্ষিপ্ত পর্যালোচনা

ওয়েজ হোলোগ্রাফি থেকে উদীয়মান মাল্টিভার্স

তথ্য প্যারাডক্সের জন্য আবেদন

দাদু প্যারাডক্সের কাছে আবেদন

উপসংহার

স্বীকৃতি এবং রেফারেন্স

4 তথ্য প্যারাডক্সের জন্য আবেদন

• সীমানা বর্ণনা: BCFT (d−1)-মাত্রিক সীমানা সহ AdSd+1 সীমানায় বসবাস করছে।

মধ্যবর্তী বর্ণনা: 2n মাধ্যাকর্ষণ সিস্টেমগুলি (d − 1)-মাত্রিক ত্রুটিতে স্বচ্ছ সীমানা অবস্থার মাধ্যমে একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে।

• বাল্ক বর্ণনা: BCFT এর দ্বৈত মাধ্যাকর্ষণ হল আইনস্টাইন মাধ্যাকর্ষণ বাল্ক। সামঞ্জস্য পরীক্ষা: আসুন n = 2 এর জন্য (22) এ দেওয়া সূত্রটি পরীক্ষা করি।

4.1 n = 2 মাল্টিভার্সে চিরন্তন বিজ্ঞাপন ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা

প্রথমত, আমরা ব্ল্যাক হোলের তাপীয় এনট্রপি গণনা করব। AdS ব্যাকগ্রাউন্ডে ব্ল্যাক হোলের মেট্রিক হল:

এটি হকিং বিকিরণের অসীম পরিমাণের সাথে মিলে যায় যখন t1 → ∞, অর্থাৎ, দেরীতে, এবং তাই তথ্যের প্যারাডক্সের দিকে নিয়ে যায়।

দ্বীপ পৃষ্ঠ থেকে এনট্রপি অবদান: এখন দ্বীপ পৃষ্ঠতলের প্যারামেট্রিজকে t = ধ্রুবক এবং z ≡ z(r) হিসাবে বিবেচনা করুন। দ্বীপের পৃষ্ঠের জন্য দুটি চিরন্তন অ্যাডএস ব্ল্যাক হোলের এন্টাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি (22) ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। যেহেতু r = ±ρ (I1) এবং r = ±2ρ (I2) তে অবস্থিত কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনগুলির মধ্যে দুটি দ্বীপ পৃষ্ঠ (I1 এবং I2) প্রসারিত রয়েছে, এবং তাই আমরা নীচের মতো একই জন্য (22) লিখতে পারি

4.2 শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা

এই বিভাগে, আমরা শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের তথ্য প্যারাডক্স অধ্যয়ন করি। অধ্যায় 3.3 এ যেমন আলোচনা করা হয়েছে, আমরা একই ত্রুটিতে সংযুক্ত ব্রেনগুলি অমিল থাকতে পারি না। অতএব, আমরা প্রথমে শোয়ার্জচাইল্ড প্যাচের পৃষ্ঠা বক্ররেখা এবং তারপর নন-হলোগ্রাফিক মডেলের মতো ডি-সিটার প্যাচের পৃষ্ঠা বক্ররেখা গণনা করে এই সমস্যাটি দুটি অংশে অধ্যয়ন করি [58]। ইহা এভাবে করা যাবে. আমরা সাবসেকশন 4.2.1-এ শোয়ার্জশিল্ড প্যাচ অধ্যয়ন করি যেখানে আমরা দুটি ফ্ল্যাট স্পেস ব্রেন বাল্ক এম্বেড করা এবং ডি-সিটার প্যাচ 4.2.2-এ দুটি ডি-সিটার ব্রেন সহ বিবেচনা করি। আমরা চিত্র 8-এ সেটআপ দেখিয়েছি। সেটআপটি যথাক্রমে শোয়ার্জচাইল্ড এবং ডি-সিটার প্যাচে সমতল স্থান এবং ডি-সিটার ব্রেন সহ ওয়েজ হলোগ্রাফির দুটি কপি।

4.2.1 শোয়ার্জশিল্ড প্যাচ

যেহেতু শোয়ার্জচাইল্ড ব্ল্যাক হোলের জন্য, Λ = 0, তাই কার্চরান্ডাল ব্রেনে শোয়ার্জচাইল্ড ব্ল্যাক হোল উপলব্ধি করতে, আমাদের সমতল স্থানের ব্ল্যাক হোল বিবেচনা করতে হবে। এটি [42] এ দেখানো হয়েছিল যে কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনগুলিতে ফ্ল্যাট স্পেস ব্ল্যাক হোল পেতে পারে তবে বাল্ক মেট্রিকের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকা উচিত:

4.2.2 ডি-সিটার প্যাচ

ডি-সিটার ব্ল্যাক হোল এবং এর স্নান r = ±ρ এ অবস্থিত হবে। ডি-সিটার ব্রেন রয়েছে এমন বাল্কের জন্য মেট্রিক হল

(65) v 0 (z) কে (64) থেকে (65) তে প্রতিস্থাপন করে এবং f(z) = 1 − z 2 ব্যবহার করে, আমরা সরলীকরণের জন্য zs = 1 সেট করি, EOM (65) অনুসরণকে সরল করে

সাধারণভাবে, উপরের সমীকরণটি সমাধান করা সহজ নয়। মজার ব্যাপার হল, উপরোক্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের az(r) = 1 সমাধান রয়েছে যা আগে অনুমান করা ডি-সিটার দিগন্ত ছাড়া আর কিছুই নয় মহাজাগতিক দ্বীপ পৃষ্ঠ হয়

(70) এর সু-সংজ্ঞায়িত পরিবর্তনশীল নীতির প্রয়োজন এবং বিভাগ 4.1-এর আলোচনার মতো ব্রেনগুলিতে নিউম্যানের সীমানা শর্ত আরোপ করে একই সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যেতে পারে যার জন্য প্রয়োজন

থার্মোফিল্ড ডবল পার্টনার সাইডে দ্বিতীয় মহাজাগতিক দ্বীপ পৃষ্ঠের কারণে অতিরিক্ত সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর "2" আসছে (চিত্র 8 এ দেখানো হয়েছে)। আমরা ওয়েজ হলোগ্রাফি থেকে (69) এবং (75) প্লট করে ডি-সিটার প্যাচের পেজ কার্ভ পাই। এই ক্ষেত্রে আমরা [33] এর মতো একটি সমতল পৃষ্ঠা বক্ররেখা পাব।

আসুন এই বিভাগের ফলাফল সংক্ষিপ্ত করা যাক। [৩৩, ৩৫] এ যুক্তি দেওয়া হয়েছিল যে ডিজিপি পদ ছাড়া ওয়েজ হোলোগ্রাফিতে, ব্ল্যাক হোল দিগন্তই একমাত্র চরম পৃষ্ঠ এবং হার্টম্যানমালডাসেনা পৃষ্ঠের অস্তিত্ব নেই এবং তাই কেউ সমতল পৃষ্ঠা বক্ররেখা আশা করে। আমরা আরও দেখি যে যখন আমরা AdS, Schwarzschild এবং deSitter ব্ল্যাক হোলের দ্বীপ পৃষ্ঠের এনট্রপিগুলি গণনা করি তখন ন্যূনতম পৃষ্ঠগুলি AdS বা শোয়ার্জচাইল্ড বা ডি-সিটারব্ল্যাক হোলের দিগন্তে পরিণত হয়। একটি কৌতূহল হিসাবে, আমরা সাহিত্যে ব্যবহৃত প্যারামেট্রিাইজেশন r(z) এবং v(z) এর জন্য হার্টম্যান-মালডাসেনা পৃষ্ঠের এনট্রপিগুলি গণনা করেছি এবং আমরা অ্যাডএস এবং শোয়ার্জচাইল্ড ব্ল্যাক হোলের জন্য অ-তুচ্ছ রৈখিক সময় নির্ভরতা খুঁজে পেয়েছি যেখানে হার্টম্যান-মালডাসেনা পৃষ্ঠতল ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের জন্য এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি শূন্যে পরিণত হয়। তাই আমরা ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের জন্য সমতল পৃষ্ঠা বক্ররেখা পাই এডএস এবং শোয়ার্জচাইল্ড ব্ল্যাক হোলের জন্য নয় হার্টম্যান-মালডাসেনা পৃষ্ঠের শূন্য এনট্রপির কারণে। কাগজের থিমটি আমরা একটি সমতল পৃষ্ঠা বক্ররেখা পেতে পারি কিনা তা নিয়ে আলোচনা করা নয়। কাগজটির লক্ষ্য ছিল কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনওয়ার্ল্ডে একটি "মাল্টিভার্স" তৈরি করা যা আমরা 3 বিভাগে করেছি এবং (22) এ দেওয়া সূত্রটি পরীক্ষা করে দেখেছি। আমরা উপধারা 4.1 এ দেখেছি যে (22) ধারাবাহিক ফলাফল দিচ্ছে।

দুটি কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেন সহ শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের ওয়েজ হলোগ্রাফিক রিয়ালাইজেশনের উপর মন্তব্য: উপধারা 4.2-এ, আমরা শোয়ার্জচাইল্ড এবং ডি-সিটার প্যাচগুলির আমাদের গণনা আলাদাভাবে করেছি। আরও একটি উপায় আছে যার মাধ্যমে আমরা শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা পেতে পারি। আমরা নীচের ধারণাটি সংক্ষিপ্ত করি:

উপরের আলোচনাটি একটি "গাণিতিক ধারণা" মাত্র। যেহেতু আমাদের তিনটি সম্ভাব্য ব্রেন রয়েছে: মিনকোস্কি, ডি-সিটার এবং অ্যান্টি ডি-সিটার [55]। (76) এর খোলা বন্ধনীতে সংজ্ঞায়িত প্ররোচিত মেট্রিক সহ কোন ব্রেন নেই। আরও, আমাদের কাছে AdS/CFT চিঠিপত্র বা dS/CFT চিঠিপত্র বা ফ্ল্যাট স্পেস হলোগ্রাফি রয়েছে। এমন কোন দ্বৈততা নেই যা CFT এবং বাল্কের মধ্যে দ্বৈততাকে বলে যা একটি শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার-এর মতো কাঠামোর আকার ধারণ করে। উপরে উল্লিখিত কারণের কারণে কোনও ত্রুটির বিবরণ থাকবে না এবং তাই ওয়েজ হলোগ্রাফির কোনও "মধ্যবর্তী বিবরণ" নেই। তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে কেউ ওয়েজ হলোগ্রাফি থেকে শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলকে ওয়েজ হলোগ্রাফির দুটি কপি দিয়ে এমনভাবে মডেল করতে পারে যাতে একটি অংশ শোয়ার্জচাইল্ড প্যাচকে সংজ্ঞায়িত করে এবং অন্য অংশটি ডি-সিটার প্যাচকে সংজ্ঞায়িত করে [২২]।

[১৩] এটি [৩৩] এ আলোচনা করা হয়েছিল যে মহাকর্ষীয় ব্রেনগুলির উপর নিউম্যানের সীমানা শর্তটি বোঝায় যে ওয়েজ হোলোগ্রাফিতে রিউ-টাকায়ানাগি পৃষ্ঠ হল ব্ল্যাক হোল দিগন্ত। একই দ্বীপ পৃষ্ঠের এলাকায় অসমতা শর্ত ব্যবহার করে [35] প্রাপ্ত করা হয়েছিল. আমরা দ্বীপের পৃষ্ঠের এনট্রপি নিয়ে আলোচনা করেছি যেখানেই আমরা পুরো কাগজ জুড়ে একই পেয়েছি।

[১৪] আমরা (63)-(67) থেকে বিস্তারিতভাবে প্রদত্ত ধাপগুলি অনুসরণ করে এটি দেখাতে পারি। কিন্তু আমাদের warp ফ্যাক্টর sinh(r(z)) কে er(z) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে।

[15] (57) এর খোলা বন্ধনীর ভিতরের পদগুলি দেখুন, সেখানে z(r) এর ডেরিভেটিভ এবং একটি নির্দিষ্ট সংমিশ্রণ (−8z(r) 2 + 4z(r) + 4z(r) 3) সহ পদ রয়েছে যা অদৃশ্য হয়ে যায় z(r) = এর জন্য

[১৬] আমরা zs = 1 ব্যবহার করেছি শুধুমাত্র গণনার সরলীকরণের জন্য। যেহেতু মহাজাগতিক ধ্রুবক খুবই ছোট এবং তাই বাস্তবে zs >> 1 কিন্তু কিছু সংখ্যা যা আমাদের গুণগত ফলাফলকে প্রভাবিত করবে না।

[17] একই সমাধান r(z) = 0 হার্টম্যান-মালদাসেনা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের গণনায় [35] এও উপস্থিত হয়েছিল। অনুরূপ সমাধানের জন্য [৩৩] দেখুন, আমাদের ক্ষেত্রে এম্বেডিং হল r(z) যেখানে [33] এ এমবেডিং হল r(µ), µ হচ্ছে কোণ।

[18] ডি-সিটার স্পেস জটিলতা আলোচনার জন্য [59] দেখুন।

[২০] এই ক্ষেত্রে, হকিং বিকিরণ একটি উপযুক্ত শব্দ হবে না কারণ যখন শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোল সম্পূর্ণ বিকিরণ নির্গত করে তখন পর্যবেক্ষক শোয়ার্জচাইল্ড প্যাচ দ্বারা নির্গত হকিং বিকিরণ এবং ডি-সিটার প্যাচ দ্বারা নির্গত গিবনস-হকিং বিকিরণের মধ্যে পার্থক্য করতে পারেন না। [৬০]।

[২১] এই সেটআপে, "দ্বীপ" ধারণাটি সমস্যাযুক্ত হতে পারে কারণ আমরা শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের অভ্যন্তরে অবস্থিত দ্বীপ সম্পর্কে কথা বলব। যেহেতু এসডিএস ব্ল্যাক হোলের দুটি দিগন্ত রয়েছে, তাই এটি "দ্বীপ" ব্ল্যাক হোল দিগন্তের বা ডি-সিটার দিগন্তের ভিতরে অবস্থিত কিনা তা বলতে সমস্যা হতে পারে। তাই দুটি ব্ল্যাক হোল এবং দুটি স্নানের সাথে সেটআপটি অনুসরণ করা ভাল হবে। অ-হলোগ্রাফিক পদ্ধতির জন্য [58] দেখুন।

[২২] নন-হলোগ্রাফিক মডেলের জন্য [৫৮, ৬২] দেখুন।