कार्च-रान्डेल ब्रैनवर्ल्ड में मल्टीवर्स: सूचना विरोधाभास का अनुप्रयोग

लिंक की तालिका

सार एवं परिचय

वेज होलोग्राफी की संक्षिप्त समीक्षा

वेज होलोग्राफी से उभरता मल्टीवर्स

सूचना विरोधाभास के लिए आवेदन

दादाजी विरोधाभास के लिए आवेदन

निष्कर्ष

आभार और संदर्भ

4 सूचना विरोधाभास के लिए आवेदन

• सीमा विवरण: BCFT (d−1)-आयामी सीमा के साथ AdSd+1 सीमा पर रह रहा है।

• मध्यवर्ती विवरण: 2एन गुरुत्वाकर्षण प्रणालियाँ (डी - 1)-आयामी दोष पर पारदर्शी सीमा स्थितियों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करती हैं।

• थोक विवरण: बीसीएफटी का गुरुत्वाकर्षण दोहरा थोक में आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण है। संगति जांच: आइए n = 2 के लिए (22) में दिए गए सूत्र की जांच करें।

4.1 एन = 2 मल्टीवर्स में शाश्वत विज्ञापन ब्लैक होल का पृष्ठ वक्र

सबसे पहले, हम ब्लैक होल की थर्मल एन्ट्रॉपी की गणना करेंगे। AdS पृष्ठभूमि में ब्लैक होल की मीट्रिक है:

यह हॉकिंग विकिरण की अनंत मात्रा से मेल खाता है जब t1 → ∞, अर्थात, देर के समय में, और इसलिए सूचना विरोधाभास की ओर ले जाता है।

द्वीप सतहों से उलझाव एन्ट्रापी योगदान: अब द्वीप सतहों को t = स्थिरांक और z ≡ z(r) के रूप में पैरामीट्रिज मानें। द्वीप सतहों के लिए दो शाश्वत एडीएस ब्लैक होल की उलझाव एन्ट्रापी (22) का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है। चूँकि r = ±ρ (I1) और r = ±2ρ (I2) पर स्थित Karch-Randall शाखाओं के बीच दो द्वीप सतहें (I1 और I2) फैली हुई हैं, और इसलिए हम नीचे दिए गए अनुसार (22) लिख सकते हैं।

4.2 श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल का पृष्ठ वक्र

इस खंड में, हम श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल के सूचना विरोधाभास का अध्ययन करते हैं। जैसा कि खंड 3.3 में चर्चा की गई है, हम एक ही दोष पर बेमेल ब्रैन को नहीं जोड़ सकते हैं। इसलिए, हम इस समस्या का अध्ययन दो भागों में करते हैं, पहले श्वार्ज़स्चिल्ड पैच के पृष्ठ वक्र की गणना करते हैं और फिर गैर-होलोग्राफ़िक मॉडल [58] के समान डी-सिटर पैच के पृष्ठ वक्र की गणना करते हैं। इसे इस प्रकार किया जा सकता है। हम उपधारा 4.2.1 में श्वार्ज़स्चिल्ड पैच का अध्ययन करते हैं जहां हम बल्क में एम्बेडेड दो फ्लैट स्पेस ब्रैन पर विचार करते हैं और उपधारा 4.2.2 में दो डी-सिटर ब्रैन के साथ डी-सिटर पैच पर विचार करते हैं। हमने सेटअप को चित्र 8 में दिखाया है। सेटअप क्रमशः श्वार्जस्चिल्ड और डी-सिटर पैच में फ्लैट स्पेस और डी-सिटर ब्रैन्स के साथ वेज होलोग्राफी की दो प्रतियां है।

4.2.1 श्वार्ज़स्चिल्ड पैच

चूँकि श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए, Λ = 0, इसलिए KarchRandall ब्रैन पर श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल का एहसास करने के लिए, हमें समतल स्थान वाले ब्लैक होल पर विचार करने की आवश्यकता है। [42] में यह दिखाया गया था कि कार्च-रान्डेल ब्रैन्स पर फ्लैट स्पेस ब्लैक होल प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कि बल्क मीट्रिक का निम्नलिखित रूप होना चाहिए:

4.2.2 डी-सिटर पैच

डी-सिटर ब्लैक होल और उसका स्नान r = ±ρ पर स्थित होगा। उस थोक के लिए मीट्रिक जिसमें डी-सिटर ब्रैन शामिल हैं

(65) v 0 (z) को (64) से (65) में प्रतिस्थापित करते हुए और f(z) = 1 - z 2 का उपयोग करते हुए, हम सरलीकरण के लिए zs = 1 सेट करते हैं, EOM (65) निम्नलिखित को सरल बनाता है

सामान्यतः उपरोक्त समीकरण को हल करना आसान नहीं है। दिलचस्प बात यह है कि उपरोक्त अंतर समीकरण के लिए az(r) = 1 समाधान है जो कि पहले से ग्रहण किए गए डी-सिटर क्षितिज के अलावा और कुछ नहीं है (zs = 1) [19] और यह ब्रैन्स पर न्यूमैन सीमा की स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए इसका समाधान है ब्रह्माण्ड संबंधी द्वीप सतह है

कोई भी व्यक्ति (70) के अच्छी तरह से परिभाषित परिवर्तनशील सिद्धांत की आवश्यकता के द्वारा और खंड 4.1 में चर्चा के समान ब्रैन्स पर न्यूमैन सीमा की स्थिति लागू करके उसी निष्कर्ष पर पहुंच सकता है, जिसके लिए आवश्यक है

अतिरिक्त संख्यात्मक कारक "2" थर्मोफिल्ड डबल पार्टनर साइड पर दूसरे ब्रह्माण्ड संबंधी द्वीप सतह के कारण आ रहा है (चित्र 8 में दिखाया गया है)। हम वेज होलोग्राफी से (69) और (75) प्लॉट करके डी-सिटर पैच का पेज कर्व प्राप्त करते हैं। इस मामले में हमें [33] के समान एक सपाट पृष्ठ वक्र मिलेगा।

आइए इस अनुभाग के परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। [33, 35] में यह तर्क दिया गया था कि डीजीपी शब्द के बिना वेज होलोग्राफी में, ब्लैक होल क्षितिज एकमात्र चरम सतह है और हार्टमैनमाल्डेसेना सतह मौजूद नहीं है और इसलिए फ्लैट पेज वक्र की अपेक्षा की जाती है। हम यह भी देखते हैं कि जब हम AdS, श्वार्ज़स्चिल्ड और डी-सिट्टर ब्लैक होल की द्वीप सतहों की उलझाव एन्ट्रॉपियों की गणना करते हैं तो न्यूनतम सतहें AdS या श्वार्ज़स्चिल्ड या डी-सिटरब्लैक होल के क्षितिज बन जाती हैं। एक जिज्ञासा के रूप में, हमने साहित्य में उपयोग किए गए पैरामीट्रिज़ेशन आर (जेड) और वी (जेड) के लिए हार्टमैन-माल्डेसेना सतहों की उलझाव एन्ट्रॉपियों की गणना की और हमने एडीएस और श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए गैर-तुच्छ रैखिक समय निर्भरता पाई जबकि हार्टमैन-माल्डेसेना सतह डी-सिटर ब्लैक होल के लिए उलझाव एन्ट्रापी शून्य हो जाती है। इसलिए हम डी-सिटर ब्लैक होल के लिए फ्लैट पेज वक्र प्राप्त करते हैं, न कि हार्टमैन-माल्डेसेना सतहों की गैर-शून्य उलझाव एन्ट्रॉपी के कारण एडीएस और श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए। पेपर का विषय इस बात पर चर्चा करना नहीं है कि हमें एक सपाट पृष्ठ वक्र मिलता है या नहीं। पेपर का उद्देश्य कार्च-रान्डेल ब्रैनवर्ल्ड में एक "मल्टीवर्स" का निर्माण करना था जो हमने अनुभाग 3 में किया था और (22) में दिए गए सूत्र की जाँच की थी। हमने उपधारा 4.1 में देखा कि (22) लगातार परिणाम दे रहा है।

दो कार्च-रान्डेल ब्रैन्स के साथ श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल के वेज होलोग्राफिक अहसास पर टिप्पणी: उपधारा 4.2 में, हमने श्वार्ज़स्चिल्ड और डी-सिटर पैच की हमारी गणना अलग से की। एक और तरीका है जिससे हम श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल का पेज वक्र प्राप्त कर सकते हैं। हम नीचे विचार को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

उपरोक्त चर्चा मात्र एक "गणितीय विचार" है। चूँकि हमारे पास तीन संभावित शाखाएँ हैं: मिन्कोव्स्की, डी-सिटर और एंटी डी-सिटर [55]। (76) के खुले ब्रैकेट में परिभाषित प्रेरित मीट्रिक के साथ कोई ब्रैन नहीं है। इसके अलावा, हमारे पास AdS/CFT पत्राचार या dS/CFT पत्राचार, या फ्लैट स्पेस होलोग्राफी है। ऐसा कोई द्वंद्व नहीं है जो सीएफटी और बल्क के बीच द्वंद्व को बताता हो जिसमें श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर जैसी संरचना का रूप हो। उपर्युक्त कारण से कोई दोष विवरण नहीं होगा और इसलिए वेज होलोग्राफी का कोई "मध्यवर्ती विवरण" नहीं होगा। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई वेज होलोग्राफी से श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल को वेज होलोग्राफी की दो प्रतियों के साथ इस तरह से मॉडल कर सकता है कि एक भाग श्वार्ज़स्चिल्ड पैच को परिभाषित करता है और दूसरा भाग डी-सिटर पैच को परिभाषित करता है [22]।

[13] इस बात पर चर्चा की गई थी कि [33] गुरुत्वीय शाखाओं पर न्यूमैन सीमा स्थिति का तात्पर्य है कि वेज होलोग्राफी में रयू-ताकायानागी सतह ब्लैक होल क्षितिज है। इसे [35] में द्वीप की सतह के क्षेत्र पर असमानता की स्थिति का उपयोग करके भी प्राप्त किया गया था। जहां भी हमने द्वीप सतहों की उलझाव एन्ट्रॉपी पर चर्चा की है, हमने पूरे पेपर में यही प्राप्त किया है।

[14] हम (63)-(67) में विस्तार से दिए गए चरणों का पालन करके इसे दिखा सकते हैं। लेकिन हमें वार्प फ़ैक्टर sain(r(z)) को er(z) से बदलना होगा।

[15] (57) के खुले ब्रैकेट के अंदर के शब्दों को देखें, वहां z(r) के व्युत्पन्न वाले पद हैं और एक विशेष संयोजन (−8z(r) 2 + 4z(r) + 4z(r) 3 ) है जो गायब हो जाता है z(r) = के लिए

[16] हमने केवल गणना के सरलीकरण के लिए zs = 1 का उपयोग किया। चूँकि ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक बहुत छोटा है और इसलिए वास्तव में zs >> 1 लेकिन कुछ संख्या है जो हमारे गुणात्मक परिणामों को प्रभावित नहीं करेगी।

[17] वही समाधान r(z) = 0 हार्टमैन-माल्डेसेना सतह के क्षेत्र की गणना में [35] में भी दिखाई दिया। समान समाधान के लिए [33] देखें, हमारे मामले में एम्बेडिंग r(z) है जबकि [33] में, एम्बेडिंग r(µ) है, µ कोण है।

[18] डी-सिटर रिक्त स्थान की जटिलता की चर्चा के लिए [59] देखें।

[20] इस मामले में, हॉकिंग विकिरण एक उपयुक्त शब्द नहीं होगा क्योंकि जब श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल संपूर्ण रूप से विकिरण उत्सर्जित करता है तो पर्यवेक्षक श्वार्ज़स्चिल्ड पैच द्वारा उत्सर्जित हॉकिंग विकिरण और डी-सिटर पैच द्वारा उत्सर्जित गिबन्स-हॉकिंग विकिरण के बीच अंतर नहीं कर सकता है। [60].

[21] इस सेटअप में, "द्वीप" की धारणा समस्याग्रस्त हो सकती है क्योंकि हम श्वार्ज़स्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल के आंतरिक भाग में द्वीप के बारे में बात करेंगे। चूंकि एसडीएस ब्लैक होल के दो क्षितिज हैं, इसलिए यह कहने में परेशानी हो सकती है कि "द्वीप" ब्लैक होल क्षितिज या डी-सिटर क्षितिज के अंदर स्थित है या नहीं। इसलिए दो ब्लैक होल और दो स्नानघरों के साथ सेटअप का पालन करना अच्छा रहेगा। गैर-होलोग्राफ़िक दृष्टिकोण के लिए [58] देखें।

[22] गैर-होलोग्राफिक मॉडल के लिए [58,62] देखें।