Mutations de résolutions crépantes non commutatives : Echanges & Mutations de modules modificateurs

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Echanges et Mutations de modules modificateurs
• Représentation quasi-symétrique et quotient GIT
• Principaux résultats
• Applications aux intersections complètes Calabi-Yau
• Annexe A. Factorisations matricielles
• Annexe B. Liste des notations
• Les références

2. Echanges et Mutations de modules modificateurs

2.1. Résolution crépante non commutative. La présente section rappelle la définition de quelques notions de base qui sont étudiées dans cet article.

(1) Un R-module réflexif M est appelé module modificateur si EndR(M) est un R-module de Cohen-Macaulay (maximal).

(2) On dit qu'un module réflexif M donne une résolution crépante non commutative (=NCCR) Λ = EndR(M) si M est modifiant et que l'algèbre Λ est de dimension globale finie.

Remarque 2.4. Notez que notre définition du NCCR est différente de celle de [Van3] ou [IW1]. Cependant, si R est d-sCY, notre définition est équivalente aux autres définitions. Voir [Van3, Lemme 4.2] ou [IW1, Lemme 2.23].

de K ∈ addL tel que le morphisme induit α ◦ (−) : Hom(N, K) → Hom(N, M) est surjectif. Si L = N, nous appelons simplement α une approximation à droite (addL) de M. Une approximation à droite (add L)N α : K → M de M est dit minimal si un endomorphisme φ ∈ End(K) satisfait α◦φ = α est un automorphisme, et on dit que α est réduit si aucune somme directe K′ de K n'est contenue dans Ker(α). Notez que si une bonne approximation est minimale, elle est réduite, et dans le cas où R est local complet, l'inverse est également vrai.

Définition 2.6. Soit R un d-sCY normal, et soit M, N, L ∈ ref R.

Lemme 2.7. La notation est la même que ci-dessus

(1) Si L ′ ∈ addL, il y a une inclusion

ce qui reste vrai lorsqu’on se limite à des échanges réduits.

(2) Si N′ ∈ ajoutez N, il y a une inclusion

ce qui reste vrai lorsqu’on se limite à des échanges réduits.

(3) Pour une autre sous-catégorie complète S ′ ⊆ ref R, il y a une inclusion

Si R est local complet, l’inclusion similaire est également valable pour des échanges réduits.

Preuve . (1), (2) et la première assertion de (3) sont évidentes. La deuxième assertion de (3) découle du fait que, si R est local complet, deux approximations α : K → M et α ′ : K′ → M′ sont réduites si et seulement si α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ est réduit.

Preuve . Supposons que Hom(N, M ⊕ N) soit Cohen-Macaulay, et considérons une séquence exacte

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

Appliquer maintenant le foncteur Hom(−, FR) à cette séquence avec l'équivalence réflexive prouve que la séquence double

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

est exact.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

reste à être précis. Puisque tous les modules de la séquence originale sont réflexifs, l'équivalence réflexive et la dualité donnent un isomorphisme

et des isomorphismes similaires pour K et Ker α, qui impliquent l'exactitude de la séquence

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

D'où le double morphisme

K∗ → (Kerα)∗

est une bonne (ajouter L ∗ )N∗ -approximation avec le noyau M∗ , qui prouve la première assertion. La deuxième affirmation découle d’un argument similaire.

Ce qui suit indique que l'échange d'une somme directe d'un module de modification donne un nouveau module de modification dans des situations intéressantes.

Lemme 2.10. Soit M ∈ ref R. L’équivalence suivante est vraie.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Preuve. On peut supposer que R est local. Puisque M est réflexif, il suffit de montrer la direction (⇒). Puisque R est Gorenstein, sa dimension injective est finie. Ainsi le résultat découle de [BH, Proposition 3.3.3 (b)].

Lemme 2.11. Soit R un anneau normal de Gorenstein, et soit M, N ∈ ref R. Alors

Preuve . Il suffit de prouver la direction (⇒). Supposons que Hom(M, N) ∈ CM R. Alors le Lemme 2.10 implique que Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Mais d’après le Lemme [IW1, Lemme 2.9], il existe un isomorphisme Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), ce qui montre que Hom(N, M) ∈ CM R.

La preuve pour le cas où m < 0 est similaire.

Remarque 2.13. Puisqu’une approximation droite n’est pas unique en général, la mutation droite/gauche ne l’est pas non plus. Cependant, la mutation droite/gauche est unique jusqu’à la fermeture additive [IW1, Lemme 6.2], et si R est local complet, les mutations minimales sont uniques jusqu’à l’isomorphisme.

Théorème 2.14 ([IW1, Proposition 6.5, Théorème 6.8, Théorème 6.10]). Soit M ∈ ref R un R-module modificateur.

2.3. Faisceaux basculants et mutations. Cette section traite de l'inclinaison des faisceaux sur des piles algébriques. Nous commençons par rappeler quelques faits de base sur les catégories dérivées des piles algébriques.