Mutationen nichtkommutativer krepanter Auflösungen: Austausch und Mutationen modifizierender Module

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen
• Quasisymmetrische Darstellung und GIT-Quotient
• Wichtigste Ergebnisse
• Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau
• Anhang A. Matrixfaktorisierungen
• Anhang B. Liste der Notation
• Verweise

2. Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen

2.1. Nichtkommutative krepante Auflösung. Der vorliegende Abschnitt erinnert an die Definition einiger grundlegender Begriffe, die in diesem Artikel untersucht werden.

(1) Ein reflexives R-Modul M heißt modifizierendes Modul, wenn EndR(M) ein (maximales) Cohen-Macaulay R-Modul ist.

(2) Wir sagen, dass ein reflexiver Modul M eine nichtkommutative krepante Auflösung (=NCCR) Λ = EndR(M) ergibt, wenn M modifizierend ist und die Algebra Λ eine endliche globale Dimension hat.

Bemerkung 2.4. Beachten Sie, dass unsere Definition von NCCR sich von der in [Van3] oder [IW1] unterscheidet. Wenn R jedoch d-sCY ist, ist unsere Definition äquivalent zu anderen Definitionen. Siehe [Van3, Lemma 4.2] oder [IW1, Lemma 2.23].

von K ∈ addL, so dass der induzierte Morphismus α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) surjektiv ist. Wenn L = N, nennen wir α einfach eine rechte (addL)-Approximation von M. Eine rechte (add L)N-Approximation α: K → M von M heißt minimal, wenn jeder Endomorphismus φ ∈ End(K), der α◦φ = α erfüllt, ein Automorphismus ist, und wir sagen, dass α reduziert ist, wenn jeder direkte Summand K′ von K nicht in Ker(α) enthalten ist. Beachten Sie, dass eine rechte Approximation reduziert ist, wenn sie minimal ist, und im Fall, dass R vollständig lokal ist, gilt auch das Gegenteil.

Definition 2.6. Sei R ein normales d-sCY und seien M, N, L ∈ ref R.

Lemma 2.7. Die Notation ist dieselbe wie oben

(1) Wenn L ′ ∈ addL, gibt es eine Inklusion

Dies gilt auch bei einer Beschränkung auf reduzierte Umtauschquoten.

(2) Wenn N′ ∈ add N, gibt es eine Inklusion

Dies gilt auch bei einer Beschränkung auf reduzierte Umtauschquoten.

(3) Für eine andere vollständige Unterkategorie S ′ ⊆ ref R gibt es eine Inklusion

Wenn R vollständig lokal ist, gilt die entsprechende Inklusion auch für reduzierte Austausche.

Beweis . (1), (2) und die erste Behauptung in (3) sind offensichtlich. Die zweite Behauptung in (3) folgt aus der Tatsache, dass, wenn R vollständig lokal ist, zwei Approximationen α : K → M und α ′ : K′ → M′ genau dann reduziert sind, wenn α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ reduziert ist.

Beweis . Nehmen wir an, dass Hom(N, M ⊕ N) Cohen-Macaulay ist, und betrachten wir eine exakte Folge

0 → F Kerα → FK → FM → 0.

Wendet man nun den Funktor Hom(−, FR) auf diese Folge an und verwendet die reflexive Äquivalenz, so beweist man, dass die duale Folge

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

ist genau.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

bleibt genau zu sein. Da alle Module in der ursprünglichen Folge reflexiv sind, ergibt die reflexive Äquivalenz und die Dualität einen Isomorphismus

und ähnliche Isomorphismen für K und Ker α, die die Exaktheit der Folge implizieren

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

Somit ist der duale Morphismus

K∗ → (Ker α) ∗

ist eine rechte (add L ∗ )N∗ -Approximation mit dem Kernel M∗ , die die erste Behauptung beweist. Die zweite Behauptung folgt aus einer ähnlichen Argumentation.

Im Folgenden heißt es, dass der Austausch eines direkten Summanden eines modifizierenden Moduls in guten Situationen ein neues modifizierendes Modul ergibt.

Lemma 2.10. Sei M ∈ ref R. Die folgende Äquivalenz gilt.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Beweis. Wir können annehmen, dass R lokal ist. Da M reflexiv ist, genügt es, die Richtung (⇒) anzugeben. Da R Gorenstein ist, ist seine injektive Dimension endlich. Das Resultat folgt also aus [BH, Proposition 3.3.3 (b)].

Lemma 2.11. Sei R ein Gorenstein-normaler Ring und seien M, N ∈ ref R. Dann

Beweis . Es genügt, die Richtung (⇒) zu beweisen. Angenommen, Hom(M, N) ∈ CM R. Dann folgt aus Lemma 2.10, dass Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Aber nach Lemma [IW1, Lemma 2.9] gibt es einen Isomorphismus Hom(M, N) ∗ ∼= Hom(N, M), der zeigt, dass Hom(N, M) ∈ CM R.

Der Beweis für den Fall m < 0 ist ähnlich.

Bemerkung 2.13. Da eine Rechtsapproximation im Allgemeinen nicht eindeutig ist, ist dies auch bei Rechts-/Linksmutationen nicht der Fall. Rechts-/Linksmutationen sind jedoch bis auf additiven Abschluss eindeutig [IW1, Lemma 6.2], und wenn R vollständig lokal ist, sind minimale Mutationen bis auf Isomorphie eindeutig.

Theorem 2.14 ([IW1, Proposition 6.5, Theorem 6.8, Theorem 6.10]). Sei M ∈ ref R ein modifizierender R-Modul.

2.3. Kippbündel und Mutationen. Dieser Abschnitt behandelt Kippbündel über algebraischen Stapeln. Wir beginnen mit der Erinnerung an einige grundlegende Fakten zu den abgeleiteten Kategorien algebraischer Stapel.