Erweiterungen für Hilbert-Schemata: Hintergrundinformationen zur tropischen Perspektive

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

2. Hintergrund zur tropischen Perspektive

Wir führen hier kurz in die Sprache der tropischen und logarithmischen Geometrie im Kontext dieses Problems ein. Weitere Einzelheiten zum Inhalt dieses Abschnitts finden Sie im Artikel [Log], in den Vorlesungsunterlagen [Ran22a] sowie im ersten Abschnitt von [MR20].

2.1 Tropisierung und Expansion

Unterteilungen der Tropikalisierung definieren Erweiterungen von X. Im Folgenden wollen wir mögliche birationale Modifikationen des Schemas X um den Divisor D herum untersuchen. In der tropischen Sprache werden diese als Unterteilungen ausgedrückt.

Eine Unterteilung der Tropikalisierung definiert eine birationale Modifikation von X wie folgt. Die Unterteilung

2.2 Maulik-Ranganathan-Konstruktion

Wir wollen kurz einige wichtige Punkte von [MR20] in Erinnerung rufen. Ziel ihrer Arbeit ist es, den Modulraum idealer Garben festen numerischen Typs zu untersuchen, die den Randteiler transversal treffen. Einige wichtige Motivationen für das Studium eines solchen Objekts stammen aus der enumerativen Geometrie. Eine gängige Methode beispielsweise, um Probleme des Kurvenzählens in einer gegebenen glatten Varietät zu lösen, besteht darin, diese Varietät zu einer singulären Vereinigung einfacherer irreduzibler Komponenten zu entarten. Die Eigenschaft der Transversalität ist dann entscheidend, um sicherzustellen, dass alles interessante Verhalten der idealen Garben auf dem entarteten Objekt mit Unterstützung im Inneren der einfacheren irreduziblen Komponenten auftritt, was uns ein einfacheres Studium ermöglicht. Eine der Hauptschwierigkeiten bei diesem Ansatz besteht darin, dass der Raum transversaler idealer Garben bezüglich D oft, wie in diesem Zusammenhang, nicht kompakt ist. Die Konstruktion der entsprechenden Kompaktifizierung ergibt einen Raum, der flach und eigentlich über C ist. In [MR20] formulieren Maulik und Ranganathan die Donaldson-Thomas-Theorie des Paares (X, D), indem sie zunächst Kompaktifizierungen des Raums idealer Garben in X quer zu D konstruieren.

Wir diskutieren [MR20] speziell im Hinblick auf den Fall, der uns hier interessiert, nämlich den einer Entartung X ! C wie oben beschrieben, bei der wir den Modulraum idealer Garben mit festem konstantem Hilbertpolynom m für ein beliebiges m ∈ N bezüglich des Randteilers D = X0 untersuchen wollen. Die Schlüsselidee besteht darin, die Tropisierung von X, bezeichnet mit ΣX , und eine entsprechende Tropisierung zu konstruieren, die verwendet wird, um zu verstehen, wie man die gewünschten Transversalitätseigenschaften in unseren Kompaktifizierungen erhält.

Existenz und Eindeutigkeit transversaler Grenzen. Maulik und Ranganathan führen die Begriffe dimensionale Transversalität und starke Transversalität ein, die im speziellen Fall von Hilbert-Punktschemata zufällig äquivalent zur Li-Wu-Stabilität sind (eine Definition dieser Stabilitätsbedingung finden Sie in Abschnitt 5.3). Im Allgemeinen wird dies jedoch für höherdimensionale Teilschemata nicht der Fall sein.

Diese Operation führt zur Nichteindeutigkeit, da wir eine Auswahl der polyedrischen Unterteilung treffen und es im Allgemeinen keine kanonische Auswahl gibt.

Die Hinzufügung dieser Rohrknoten in der Tropikalisierung bedeutet, dass es in jeder Erweiterung mehr potenzielle Komponenten gibt, was mit den zuvor festgelegten Eindeutigkeitsergebnissen interferiert. Erinnern Sie sich, dass trop(Z ◦ ) uns genau die richtige Anzahl von Knoten im dualen Komplex gab, damit jede Familie von Unterschemata Z ◦ ⊂ X◦ einen eindeutigen Grenzwertrepräsentanten hat. Um dies widerzuspiegeln, verlangt die Donaldson-Thomas-Stabilität, dass Unterschemata genau dann DT-stabil sind, wenn sie Rohrschemata genau entlang der Rohrkomponenten sind. Wir sagen, dass ein 1-dimensionales Unterschema ein Rohr ist, wenn es das schematische Urbild eines nulldimensionalen Unterschemas in D ist. Im Fall von Hilbert-Punktschemata wird diese Bedingung einfach in ein 0-dimensionales Unterschema Z übersetzt, das genau dann DT-stabil ist, wenn keine Rohrkomponente einen Punkt der Unterstützung von Z enthält und jede andere irreduzible Komponente, die durch unsere Blow-ups erweitert wird, mindestens einen Punkt der Unterstützung von Z enthält.

Maulik und Ranganathan definieren ein Teilschema als stabil, wenn es stark transversal ist

und DT stabil. Für feste numerische Invarianten bildet der Unterstapel stabiler Unterschemata im Raum der Erweiterungen einen Deligne-Mumford-eigenen, getrennten Stapel endlichen Typs über C.

Vergleich mit den Ergebnissen dieses Artikels. Die Konstruktion, die wir in diesem Artikel vorstellen, hat die überraschende Eigenschaft, dass wir keine Komponenten als Röhren bezeichnen müssen, damit der Stapel stabiler Objekte, den wir definieren, korrekt ist. Dies ist ein Artefakt der spezifischen Auswahl von Aufblähungen, die in unsere erweiterten Degenerationen einbezogen werden. Die Arbeit von Maulik und Ranganathan zeigt uns, dass dies im Allgemeinen nicht zu erwarten ist. Wie in Abschnitt 1.3 erwähnt, werden wir in einem kommenden Artikel diskutieren, wie man korrekte Stapel stabiler Objekte in Fällen konstruiert, in denen unterschiedliche Auswahlen von Erweiterungen getroffen werden und es für uns ebenfalls notwendig wird, eine Donaldson-Thomas-Stabilitätsbedingung einzuführen.