Ampliaciones de los esquemas Hilbert: antecedentes de la perspectiva tropical

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

2. Antecedentes de la perspectiva tropical

Introducimos aquí brevemente el lenguaje de la geometría tropical y logarítmica en el contexto de este problema. Para obtener más detalles sobre el contenido de esta sección, consulte el artículo [Registro], las notas de la conferencia [Ran22a], así como la primera sección de [MR20].

2.1 Tropicalización y expansión

Las subdivisiones de la tropicalización definen expansiones de X. A continuación, querremos estudiar posibles modificaciones birracionales del esquema X alrededor del divisor D. En el lenguaje tropical, éstas se expresan como subdivisiones.

Una subdivisión de la tropicalización define una modificación biracional de X de la siguiente manera. la subdivisión

2.2 Construcción de Maulik-Ranganathan

Recordaremos brevemente algunos puntos clave de [MR20]. El objetivo de su trabajo es estudiar el espacio de módulos de haces ideales de tipo numérico fijo que se encuentran transversalmente con el divisor de frontera. Algunas motivaciones clave para el estudio de tal objeto provienen de la geometría enumerativa. Por ejemplo, un método común utilizado para abordar problemas de conteo de curvas en una variedad suave dada es degenerar esta variedad a una unión singular de componentes irreducibles más simples. La propiedad de transversalidad es entonces crucial para asegurar que todo comportamiento interesante de las gavillas ideales sobre el objeto degenerado ocurra con apoyo en el interior de los componentes irreducibles más simples, lo que nos permite estudiarlo con más facilidad. Una de las principales dificultades con este enfoque es que a menudo, como en este caso, el espacio de haces ideales transversales con respecto a D no es compacto. La construcción de la compactación adecuada producirá un espacio plano y propio sobre C. En [MR20], Maulik y Ranganathan formulan la teoría de Donaldson-Thomas del par (X, D), comenzando por construir compactaciones del espacio de haces ideales en X transversal a D.

Discutimos [MR20] específicamente con respecto al caso que aquí nos interesa, es decir, el de una degeneración X ! C como se describió anteriormente, donde buscamos estudiar el espacio de módulos de gavillas ideales con polinomio m de Hilbert constante fijo, para algunos m ∈ N con respecto al divisor de frontera D = X0. La idea clave es construir la tropicalización de X, denotada ΣX, y un mapa de tropicalización correspondiente, que se utiliza para entender cómo obtener las propiedades de transversalidad deseadas en nuestras compactaciones.

Existencia y unicidad de límites transversales. Maulik y Ranganathan introducen nociones de transversalidad dimensional y transversalidad fuerte, que, en el caso específico de los esquemas de puntos de Hilbert, resultan ser equivalentes a la estabilidad Li-Wu (consulte la Sección 5.3 para obtener una definición de esta condición de estabilidad). Sin embargo, en general, para subesquemas de dimensiones superiores, este no será el caso.

Esta operación da como resultado la no unicidad, ya que estamos eligiendo una subdivisión poliédrica y, en general, no hay una elección canónica.

La adición de estos vértices de tubo en la tropicalización significa que hay más componentes potenciales en cada expansión, lo que interfiere con los resultados de unicidad previamente establecidos. De hecho, recordemos que trop(Z ◦ ) nos dio exactamente el número correcto de vértices en el complejo dual para que cada familia de subesquemas Z ◦ ⊂ X◦ tenga un límite único representativo. Por lo tanto, para reflejar esto, la estabilidad de Donaldson-Thomas exige que los subesquemas sean DT estables si y sólo si son esquemas de tubo precisamente a lo largo de los componentes del tubo. Decimos que un subesquema unidimensional es un tubo si es la preimagen esquemática de un subesquema de dimensión cero en D. En el caso de los esquemas de puntos de Hilbert, esta condición se traducirá simplemente en que un subesquema Z de dimensión 0 sea DT estable si y sólo si ningún componente del tubo contiene un punto de soporte de Z y todos los demás componentes irreducibles expandidos por nuestras explosiones contienen al menos un punto de soporte de Z.

Maulik y Ranganathan definen un subesquema como estable si es fuertemente transversal

y DT estable. Para invariantes numéricos fijos, la subpila de subesquemas estables en el espacio de expansiones forma una pila separada, propia de Deligne-Mumford, de tipo finito sobre C.

Comparación con los resultados de este trabajo. La construcción que presentamos en este artículo tiene la sorprendente propiedad de que no necesitamos etiquetar ningún componente como tubo para que la pila de objetos estables que definimos sea adecuada. Esto es un artefacto de las elecciones específicas de explosiones que se incluirán en nuestras degeneraciones ampliadas. El trabajo de Maulik y Ranganathan nos muestra que esto no es lo que se espera en general. Como se mencionó en la Sección 1.3, en un próximo artículo discutiremos cómo construir pilas adecuadas de objetos estables en los casos en que se elijan diferentes opciones de expansión y también sea necesario introducir una condición de estabilidad de Donaldson-Thomas.