Erweiterungen für Hilbert-Schemata: Zusammenfassung und Einführung

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

Abstrakt

Ziel dieses Aufsatzes ist es, die erweiterte Degenerationskonstruktion von Li und Wu zu erweitern, um gute Degenerationen von Hilbert-Schemata von Punkten auf semistabilen Flächenfamilien zu erhalten, sowie alternative Stabilitätsbedingungen und Parallelen zur GIT-Konstruktion von Gulbrandsen, Halle und Hulek und den logarithmischen Hilbert-Schemakonstruktionen von Maulik und Ranganathan zu diskutieren. Wir konstruieren eine gute Degeneration von Hilbert-Schemata von Punkten als einen richtigen Deligne-Mumford-Stapel und zeigen, dass sie ein geometrisch sinnvolles Beispiel für eine Konstruktion darstellt, die aus der Arbeit von Maulik und Ranganathan hervorgeht.

1. Einleitung

Das Studium von Modulräumen ist ein zentrales Thema der algebraischen Geometrie; unter den Modulräumen bilden Hilbert-Schemata eine wichtige Klasse von Beispielen. Sie wurden ausführlich in der geometrischen Darstellungstheorie, der enumerativen und kombinatorischen Geometrie und als die beiden wichtigsten Beispiele für Hyperk¨ahler-Mannigfaltigkeiten untersucht, nämlich Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Flächen und verallgemeinerte Kummer-Varietäten. Eine wichtige Richtung in diesem Bereich ist das Verständnis des lokalen Modulraums solcher Objekte und insbesondere der Möglichkeiten, einer Degeneration glatter Hilbert-Schemata eine modulare Kompaktifizierung zu verleihen.

Beispielsweise können wir die Geometrie relativer Hilbert-Schemata auf einer Degeneration betrachten, deren zentraler Faser normale Kreuzungssingularitäten aufweist. Wir können dann fragen, wie die Singularitäten eines solchen Hilbert-Schemas unter Beibehaltung bestimmter Eigenschaften aufgelöst werden können oder wie es als guter Modulraum ausgedrückt werden kann. Dies wird dann zu einem Kompaktifizierungsproblem in Bezug auf die durch den singulären Ort gegebene Grenze. Historisch gesehen war die geometrische Invariante Theorie (GIT) eine wichtige Methode, die bei Modul- und Kompaktifizierungsproblemen verwendet wurde. In jüngerer Zeit haben Maulik und Ranganthan [MR20] untersucht, wie Methoden der tropischen und logarithmischen Geometrie verwendet werden können, um solche Fragen für Hilbert-Schemata zu beantworten. Dies baut auf früheren Arbeiten von Li [Li13] und Li und Wu [LW15] über erweiterte Degenerationen für Quot-Schemata und Arbeiten von Ranganathan [Ran22b] über logarithmische Gromov-Witten-Theorie mit Erweiterungen auf.

Kurz gesagt besteht das Ziel dieses Dokuments darin, explizite Beispiele für solche Kompaktifizierungen bereitzustellen und die Verbindungen zwischen diesen Methoden zu untersuchen.

1.1 Grundkonfiguration

Wie in Abschnitt 1.3 erwähnt, kann diese Art der Konstruktion angewendet werden, um Typ-III-Degenerationen von Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Oberflächen zu konstruieren. Dies wird in zukünftigen Arbeiten beschrieben.

1.2 Bisherige Arbeiten in diesem Bereich

Im Anschluss an [LW15] präsentieren Gulbrandsen, Halle und Hulek [GHH19] eine GIT-Version der obigen Konstruktion im Fall von Hilbert-Punktschemata. Sie konstruieren eine explizite erweiterte Degeneration, d. h. eine modifizierte Familie über einer größeren Basis, deren Fasern den Aufblähungen von Komponenten von X0 in der Familie entsprechen. Sie präsentieren ein linearisiertes Linienbündel auf diesem Raum für die natürliche Toruswirkung und können zeigen, dass sich das Hilbert-Mumford-Kriterium in diesem Fall auf ein rein kombinatorisches Kriterium vereinfacht. Damit legen sie eine GIT-Stabilitätsbedingung fest, die die transversalen nulldimensionalen Unterschemata von Li und Wu wiederherstellt, und beweisen, dass der entsprechende Stapelquotient isomorph zu dem von Li und Wu ist. Eine Motivation für diese Arbeit war die Konstruktion von Typ-II-Degenerationen von Hilbert-Punktschemata auf K3-Oberflächen. Tatsächlich weisen Typ-II-gute Degenerationen von K3-Oberflächen diese Art von Singularitäten in der speziellen Faser auf, die eine Kette von Oberflächen ist, die sich entlang glatter Kurven schneiden.

Neuere Arbeiten von Maulik und Ranganathan [MR20] basieren auf früheren Ideen von Ranganathan [Ran22b] und Ergebnissen von Tevelev [Tev07]. Sie verwenden Techniken der logarithmischen und tropischen Geometrie, um geeignete Erweiterungen von X ! C zu konstruieren. Dies ermöglicht ihnen, Modulstapel von transversalen Teilschemata zu definieren, ausgehend von dem Fall, in dem X0 eine beliebige einfache normale Kreuzungsvarietät ist. Sie zeigen, dass die so konstruierten Stapel korrekt und Deligne-Mumford-artig sind. Weitere Einzelheiten hierzu finden Sie in Abschnitt 2.2.

1.3 Wichtigste Ergebnisse

Sei X ! C eine semistabile Entartung von Flächen. In den folgenden Abschnitten schlagen wir explizite Konstruktionen von erweiterten Entartungen und Stapeln stabiler Länge m nulldimensionaler Teilschemata auf diesen erweiterten Familien vor und zeigen, dass diese gute Eigenschaften haben.

Unter Berücksichtigung verschiedener Erweiterungsoptionen. In diesem Artikel diskutieren wir nur eine bestimmte Modellauswahl für das Hilbert-Punkteschema, das wir den kanonischen Modulstapel nennen. In einer späteren Arbeit werden wir untersuchen, wie diese Methoden erweitert werden können, um andere Modellauswahlen zu beschreiben. Wir werden einen Ansatz in Betracht ziehen, der Parallelen zu den Arbeiten von Kennedy-Hunt über logarithmische Quot-Schemata [Ken23] aufweist, und auch bestimmte geometrisch sinnvolle Auswahlmöglichkeiten für Modulstapel wiederherstellen, die sich aus den Methoden von Maulik und Ranganathan [MR20] ergeben. Insbesondere werden wir diskutieren, wie Rohrkomponenten und Donaldson-Thomas-Stabilität in diesen allgemeineren Fällen ins Spiel kommen (Definitionen finden Sie in Abschnitt 2.2).

1.4 Organisation

Wir beginnen in Abschnitt 2 mit einigen Hintergrundinformationen zur logarithmischen und tropischen Geometrie und einem Überblick über die Arbeit von Maulik und Ranganathan aus [MR20], auf die wir in späteren Abschnitten zurückkommen möchten. Dann legen wir in Abschnitt 3 eine erweiterte Konstruktion auf Schemata dar und diskutieren in 4, wie verschiedene GIT-Stabilitätsbedingungen für diese Konstruktion definiert werden können. In Abschnitt 5 beschreiben wir einen entsprechenden Stapel von Erweiterungen und eine Familie darüber, aufbauend auf den erweiterten Degenerationen, die wir als Schemata konstruiert haben. In Abschnitt 6 erweitern wir unsere Stabilitätsbedingungen auf diese Einstellung. Dann zeigen wir, dass die definierten Stapel stabiler Objekte die gewünschten Deligne-Mumford- und Properness-Eigenschaften haben.

Danksagungen . Ich möchte Gregory Sankaran für seine Unterstützung während des gesamten Projekts danken. Vielen Dank auch an meine Doktorprüfer Alastair Craw und Dhruv Ranganathan für ihre vielen hilfreichen Kommentare. Diese Arbeit wurde mit Mitteln des University of Bath Research Studentship Award durchgeführt. Ich danke auch Patrick Kennedy-Hunt und Thibault Poiret für viele interessante Gespräche.