Ampliaciones para esquemas de Hilbert: resumen e introducción

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

Abstracto

El objetivo de este artículo es extender la construcción de degeneración expandida de Li y Wu para obtener buenas degeneraciones de esquemas de puntos de Hilbert en familias de superficies semiestables, así como discutir condiciones de estabilidad alternativas y paralelos con la construcción GIT de Gulbrandsen, Halle y Construcciones de esquemas Hulek y logarítmicos de Hilbert de Maulik y Ranganathan. Construimos una buena degeneración de los esquemas de puntos de Hilbert como una pila adecuada de Deligne-Mumford y mostramos que proporciona un ejemplo geométricamente significativo de una construcción que surge del trabajo de Maulik y Ranganathan.

1. Introducción

El estudio de los espacios de módulos es un tema central en la geometría algebraica; Entre los espacios de módulos, los esquemas de Hilbert forman una clase importante de ejemplos. Han sido ampliamente estudiados en la teoría de la representación geométrica, la geometría enumerativa y combinatoria y como los dos ejemplos principales de variedades hiperk¨ahler, a saber, los esquemas de Hilbert de puntos en superficies K3 y las variedades generalizadas de Kummer. Una dirección destacada en esta área es comprender el espacio de módulos locales de tales objetos y, en particular, las formas en que a una degeneración de esquemas suaves de Hilbert se le puede dar una compactación modular.

Por ejemplo, podemos considerar la geometría de los esquemas relativos de Hilbert en una degeneración cuya fibra central tiene singularidades de cruce normales. Entonces podemos preguntarnos cómo se pueden resolver las singularidades de tal esquema de Hilbert preservando al mismo tiempo algunas de sus propiedades o cómo se puede expresar como un buen espacio de módulos. Esto entonces se convierte en un problema de compactación con respecto al límite dado por el lugar singular. Históricamente, un método importante utilizado en problemas de módulos y compactación ha sido la Teoría Geométrica Invariante (GIT). Más recientemente, el trabajo de Maulik y Ranganthan [MR20] ha explorado cómo se pueden utilizar métodos de geometría tropical y logarítmica para abordar estas cuestiones para los esquemas de Hilbert. Esto se basa en el trabajo previo de Li [Li13] y Li y Wu [LW15] sobre degeneraciones expandidas para esquemas de Quot y el trabajo de Ranganathan [Ran22b] sobre la teoría logarítmica de Gromov-Witten con expansiones.

En pocas palabras, el objetivo de este artículo es proporcionar ejemplos explícitos de tales compactaciones y explorar las conexiones entre estos métodos.

1.1 Configuración básica

Como se menciona en la Sección 1.3, este tipo de construcción se puede aplicar para construir degeneraciones tipo III de esquemas de puntos de Hilbert en superficies K3. Esto se describirá en trabajos futuros.

1.2 Trabajo previo en esta área

Siguiendo con [LW15], Gulbrandsen, Halle y Hulek [GHH19] presentan una versión GIT de la construcción anterior en el caso de los esquemas de puntos de Hilbert. Construyen una degeneración expandida explícita, es decir, una familia modificada sobre una base más grande, cuyas fibras corresponden a explosiones de componentes de X0 en la familia. Presentan un haz de líneas linealizado en este espacio para la acción del toro natural y pueden demostrar que en este caso el criterio de Hilbert-Mumford se simplifica hasta un criterio puramente combinatorio. Usando esto, imponen una condición de estabilidad GIT que recupera los subesquemas transversales de dimensión cero de Li y Wu y demuestran que el cociente de pila correspondiente es isomorfo al de Li y Wu. Una motivación para este trabajo fue construir degeneraciones tipo II de esquemas de puntos de Hilbert en superficies K3. De hecho, las degeneraciones buenas de tipo II de las superficies K3 presentan este tipo de singularidades en la fibra especial, que es una cadena de superficies que se cruzan a lo largo de curvas suaves.

Hay un trabajo más reciente de Maulik y Ranganathan [MR20], basado en ideas anteriores de Ranganathan [Ran22b] y resultados de Tevelev [Tev07], en el que utilizan técnicas de geometría logarítmica y tropical para construir expansiones apropiadas de X. C. Esto les permite definir pilas de módulos de subesquemas transversales a partir del caso en el que X0 es cualquier variedad de cruce normal simple. Demuestran que las pilas así construidas son adecuadas y Deligne-Mumford. Para obtener más detalles sobre esto, consulte la Sección 2.2.

1.3 Principales resultados

¡Sea X! C ser una degeneración semiestable de superficies. En las siguientes secciones, proponemos construcciones explícitas de degeneraciones expandidas y pilas de subesquemas de dimensión cero de longitud estable m en estas familias expandidas, que demostramos que tienen buenas propiedades.

Permitiendo diferentes opciones de expansiones. En este artículo, analizamos sólo una elección específica de modelo para el esquema de puntos de Hilbert, al que llamamos pila de módulos canónicos. En próximos trabajos, investigaremos cómo estos métodos pueden extenderse para describir otras opciones de modelos. Consideraremos un enfoque paralelo al trabajo de Kennedy-Hunt sobre esquemas de cuotas logarítmicas [Ken23], así como también recuperaremos ciertas elecciones geométricamente significativas de pilas de módulos que surgen de los métodos de Maulik y Ranganathan [MR20]. En particular, discutiremos cómo los componentes del tubo y la estabilidad de DonaldsonThomas entran en escena en estos casos más generales (consulte la Sección 2.2 para las definiciones).

1.4 Organización

Comenzamos, en la Sección 2, brindando algunos antecedentes sobre geometría logarítmica y tropical, y una descripción general del trabajo de Maulik y Ranganathan en [MR20] al que nos referiremos en secciones posteriores. Luego, en la Sección 3, presentamos una construcción ampliada de los esquemas y, en la Sección 4, discutimos cómo se pueden definir varias condiciones de estabilidad GIT en esta construcción. En la Sección 5, describimos una pila correspondiente de expansiones y familias sobre ella, basándose en las degeneraciones expandidas que construimos como esquemas. En la Sección 6, ampliamos nuestras condiciones de estabilidad a este entorno. Luego mostramos que las pilas de objetos estables definidas tienen las propiedades deseadas de Deligne-Mumford y de propiedad.

Agradecimientos . Me gustaría agradecer a Gregory Sankaran por todo su apoyo a lo largo de este proyecto. Gracias también a mis examinadores de doctorado, Alastair Craw y Dhruv Ranganathan, por sus numerosos y útiles comentarios. Este trabajo se realizó con la financiación del Premio de Becas de Investigación de la Universidad de Bath. También agradezco a Patrick Kennedy-Hunt y Thibault Poiret sus muchas conversaciones interesantes.