Extensions pour les schémas Hilbert : résumé et introduction

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction agrandie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

Abstrait

Le but de cet article est d'étendre la construction de dégénérescence élargie de Li et Wu pour obtenir de bonnes dégénérescences de schémas de points de Hilbert sur des familles de surfaces semistables, ainsi que de discuter de conditions de stabilité alternatives et de parallèles avec la construction GIT de Gulbrandsen, Halle et Constructions de schémas Hulek et Hilbert logarithmiques de Maulik et Ranganathan. Nous construisons une bonne dégénérescence des schémas de points de Hilbert comme un véritable empilement de Deligne-Mumford et montrons qu'elle fournit un exemple géométriquement significatif d'une construction issue des travaux de Maulik et Ranganathan.

1. Introduction

L'étude des espaces de modules est un sujet central en géométrie algébrique ; parmi les espaces de modules, les schémas de Hilbert constituent une classe importante d'exemples. Ils ont été largement étudiés en théorie des représentations géométriques, en géométrie énumérative et combinatoire et comme deux principaux exemples de variétés hyperkahler, à savoir les schémas de points de Hilbert sur les surfaces K3 et les variétés de Kummer généralisées. Une direction importante dans ce domaine est de comprendre l'espace de modules local de tels objets et, en particulier, la manière dont une dégénérescence de schémas de Hilbert lisses peut recevoir une compactification modulaire.

Par exemple, on peut considérer la géométrie des schémas de Hilbert relatifs sur une dégénérescence dont la fibre centrale présente des singularités de croisement normales. On peut alors se demander comment les singularités d'un tel schéma de Hilbert peuvent être résolues tout en préservant certaines de ses propriétés ou comment il peut être exprimé comme un bon espace de modules. Cela devient alors un problème de compactification par rapport à la frontière donnée par le lieu singulier. Historiquement, une méthode importante utilisée dans les problèmes de modules et de compactification a été la théorie des invariants géométriques (GIT). Plus récemment, les travaux de Maulik et Ranganthan [MR20] ont exploré comment les méthodes de géométrie tropicale et logarithmique peuvent être utilisées pour répondre à de telles questions pour les schémas de Hilbert. Ceci s'appuie sur les travaux antérieurs de Li [Li13] et Li et Wu [LW15] sur les dégénérescences étendues pour les schémas Quot et sur les travaux de Ranganathan [Ran22b] sur la théorie logarithmique de Gromov-Witten avec expansions.

En bref, l'objectif de cet article est de fournir des exemples explicites de telles compactifications et d'explorer les liens entre ces méthodes.

1.1 Configuration de base

Comme mentionné dans la section 1.3, ce type de construction peut être appliqué pour construire des dégénérescences de type III de schémas de Hilbert de points sur des surfaces K3. Ceci sera décrit dans des travaux futurs.

1.2 Travaux antérieurs dans ce domaine

Dans la continuité de [LW15], Gulbrandsen, Halle et Hulek [GHH19] présentent une version GIT de la construction ci-dessus dans le cas des schémas de points de Hilbert. Ils construisent une dégénérescence élargie explicite, c'est à dire une famille modifiée sur une base plus large, dont les fibres correspondent à des explosions de composants de X0 dans la famille. Ils présentent un fibré de droites linéarisé sur cet espace pour l'action naturelle du tore et ils sont capables de montrer que dans ce cas le critère de Hilbert-Mumford se simplifie jusqu'à un critère purement combinatoire. En utilisant cela, ils imposent une condition de stabilité GIT qui récupère les sous-schémas transversaux de dimension zéro de Li et Wu et prouvent que le quotient de pile correspondant est isomorphe à celui de Li et Wu. Une motivation pour ce travail était de construire des dégénérescences de type II de schémas de points de Hilbert sur des surfaces K3. En effet, les bonnes dégénérescences de type II des surfaces K3 présentent ce type de singularités dans la fibre spéciale, qui est une chaîne de surfaces se croisant selon des courbes lisses.

Il existe des travaux plus récents de Maulik et Ranganathan [MR20], s'appuyant sur les idées antérieures de Ranganathan [Ran22b] et les résultats de Tevelev [Tev07], dans lesquels ils utilisent des techniques de géométrie logarithmique et tropicale pour construire des expansions appropriées de X ! C. Cela leur permet de définir des empilements de modules de sous-schémas transversaux à partir du cas où X0 est n'importe quelle variété de croisement normal simple. Ils montrent que les empilements ainsi construits sont propres et Deligne-Mumford. Pour plus de détails à ce sujet, voir la section 2.2.

1.3 Principaux résultats

Laissez X ! C être une dégénérescence semistable des surfaces. Dans les sections suivantes, nous proposons des constructions explicites de dégénérescences étendues et d'empilements de sous-schémas de dimension zéro de longueur stable m sur ces familles étendues, dont nous montrons qu'elles ont de bonnes propriétés.

Permettant différents choix d'extensions. Dans cet article, nous discutons uniquement d’un choix spécifique de modèle pour le schéma de points de Hilbert que nous appelons la pile de modules canoniques. Dans les prochains travaux, nous étudierons comment ces méthodes peuvent être étendues pour décrire d’autres choix de modèles. Nous considérerons une approche parallèle aux travaux de Kennedy-Hunt sur les schémas de Quot logarithmiques [Ken23], et récupérerons certains choix géométriquement significatifs d'empilements de modules issus des méthodes de Maulik et Ranganathan [MR20]. En particulier, nous discuterons de la manière dont les composants du tube et la stabilité de DonaldsonThomas entrent en jeu dans ces cas plus généraux (voir la section 2.2 pour les définitions).

1.4 Organisation

Nous commençons, dans la section 2, par donner quelques informations de base sur la géométrie logarithmique et tropicale, et un aperçu des travaux de Maulik et Ranganathan de [MR20] auxquels nous voudrons faire référence dans les sections suivantes. Ensuite, dans la section 3, nous présentons une construction étendue sur les schémas et, dans la section 4, nous discutons de la manière dont diverses conditions de stabilité GIT peuvent être définies sur cette construction. Dans la section 5, nous décrivons une pile correspondante d’expansions et une famille dessus, en nous appuyant sur les dégénérescences étendues que nous avons construites sous forme de schémas. Dans la section 6, nous étendons nos conditions de stabilité à ce paramètre. Nous montrons ensuite que les piles d'objets stables définies ont les propriétés de Deligne-Mumford et de propriété souhaitées.

Remerciements . Je tiens à remercier Gregory Sankaran pour tout son soutien tout au long de ce projet. Merci également à mes examinateurs de doctorat, Alastair Craw et Dhruv Ranganathan, pour leurs nombreux commentaires utiles. Ce travail a été entrepris grâce au financement de la bourse de recherche de l’Université de Bath. Je remercie également Patrick Kennedy-Hunt et Thibault Poiret pour leurs nombreuses conversations intéressantes.