```html Forfattere: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrakt Akkumulering af fysiske fejl , , forhindrer udførelsen af store algoritmer i nuværende kvantecomputere. Kvantefejlkorrektion lover en løsning ved at indkode logiske qubits på et større antal fysiske qubits, således at de fysiske fejl undertrykkes tilstrækkeligt til at tillade kørsel af en ønsket beregning med acceptabel nøjagtighed. Kvantefejlkorrektion bliver praktisk realiserbar, når den fysiske fejlrate er under en tærskelværdi, der afhænger af valget af kvantekode, syndrommålingskredsløb og afkodningsalgoritme . Vi præsenterer en ende-til-ende kvantefejlkorrektionsprotokol, der implementerer fejltolerant hukommelse på basis af en familie af lav-densitets paritetscheckkoder (LDPC) . Vores tilgang opnår en fejl-tærskel på 0,7 % for den standard kredsløbsbaserede støjmodel, på niveau med overfladekoden , , , , som i 20 år var den førende kode med hensyn til fejl-tærskel. Syndrommålingscyklussen for en længde- kode i vores familie kræver ancillære qubits og et dybde-8 kredsløb med CNOT-gates, qubit-initialiseringer og målinger. Den krævede qubit-konnektivitet er en graf med grad 6, der består af to kant-disjunkte planære delgrafer. Vi viser specifikt, at 12 logiske qubits kan bevares i næsten 1 million syndromcyklusser ved hjælp af i alt 288 fysiske qubits, under forudsætning af en fysisk fejlrate på 0,1 %, hvorimod overfladekoden ville kræve næsten 3.000 fysiske qubits for at opnå en sådan ydeevne. Vores resultater bringer demonstrationer af fejltolerant kvantehukommelse med lav overhead inden for rækkevidde af nærtstående kvantecomputere. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hoveddel Kvanteberegning har tiltrukket opmærksomhed på grund af dens evne til at tilbyde asymptotisk hurtigere løsninger på et sæt beregningsproblemer sammenlignet med de bedst kendte klassiske algoritmer . Det menes, at en fungerende skalerbar kvantecomputer kan hjælpe med at løse beregningsproblemer inden for områder som videnskabelig opdagelse, materialeforskning, kemi og lægemiddeldesign, for blot at nævne nogle få , , , . 5 11 12 13 14 Den primære hindring for at bygge en kvantecomputer er kvanteinformationens skrøbelighed, der skyldes forskellige støjkilder, som påvirker den. Da isolation af en kvantecomputer fra eksterne effekter og styring af den til at inducere en ønsket beregning er i konflikt med hinanden, synes støj at være uundgåelig. Støjkilderne omfatter fejl i qubits, anvendte materialer, kontrolapparat, tilstandsforberedelse og målingsfejl samt en række eksterne faktorer, der spænder fra lokal menneskeskabt støj, såsom spredte elektromagnetiske felter, til dem, der er iboende i universet, såsom kosmisk stråling. Se ref. for en oversigt. Mens nogle støjkilder kan elimineres med bedre kontrol , materialer og afskærmning , , , synes flere andre kilder at være svære, hvis ikke umulige, at fjerne. Sidstnævnte kan omfatte spontan og stimuleret emission i indfangne ioner , og interaktionen med badet (Purcell-effekt) i superledende kredsløb – hvilket dækker begge førende kvanteteknologier. Fejlkorrektion bliver således et nøglekrav for at bygge en fungerende skalerbar kvantecomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Muligheden for kvantefejltolerance er veletableret . Indkodning af en logisk qubit redundant i mange fysiske qubits gør det muligt at diagnosticere og rette fejl ved gentagne målinger af syndromer af paritetstjekoperatorer. Fejlkorrektion er dog kun gavnlig, hvis hardwarefejlraten er under en bestemt tærskelværdi, der afhænger af en bestemt fejlkorrektionsprotokol. De første forslag til kvantefejlkorrektion, såsom konkatenerede koder , , , fokuserede på at demonstrere den teoretiske mulighed for fejduktrykkelse. Efterhånden som forståelsen af kvantefejlkorrektion og kvanteteknologiernes kapabiliteter modnedes, skiftede fokus til at finde praktiske kvantefejlkorrektionsprotokoller. Dette resulterede i udviklingen af overfladekoden , , , , der tilbyder en høj fejl-tærskel tæt på 1 %, hurtige afkodningsalgoritmer og kompatibilitet med eksisterende kvantecomputere, der er afhængige af todimensionel (2D) kvadratisk gitter-qubit-konnektivitet. Små eksempler på overfladekoden med en enkelt logisk qubit er allerede blevet demonstreret eksperimentelt af flere grupper , , , , . Skalering af overfladekoden til 100 eller flere logiske qubits ville dog være uoverkommeligt dyrt på grund af dens dårlige kodningseffektivitet. Dette har givet anledning til interesse for mere generelle kvantekoder kendt som low-density parity-check (LDPC) koder . Nylige fremskridt inden for studiet af LDPC-koder tyder på, at de kan opnå kvantefejltolerance med en meget højere kodningseffektivitet . Her fokuserer vi på studiet af LDPC-koder, da vores mål er at finde kvantefejlkorrektionskoder og protokoller, der er både effektive og mulige at demonstrere i praksis, givet begrænsningerne i kvanteberegningsteknologier. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 En kvantefejlkorrektionskode er af LDPC-typen, hvis hver checkoperator i koden kun virker på et fåtal qubits, og hver qubit deltager i kun få checks. Adskillige varianter af LDPC-koder er blevet foreslået for nylig, herunder hyperbolske overfladekoder , , , hypergrafprodukt , balancerede produktkoder , toblokkoder baseret på endelige grupper , , , og kvante-Tanner-koder , . Sidstnævnte er vist , at være asymptotisk ‘gode’ i den forstand, at de tilbyder en konstant kodningsrate og lineær afstand: en parameter der kvantificerer antallet af korrigerbare fejl. I modsætning hertil har overfladekoden en asymptotisk nul-kodningsrate og kun kvadratrod-afstand. Udskiftning af overfladekoden med en LDPC-kode med høj rate og høj afstand kunne have store praktiske implikationer. For det første kunne fejltolerancen (forholdet mellem antallet af fysiske og logiske qubits) reduceres markant. For det andet viser koder med stor afstand en meget skarp reduktion i den logiske fejlrate: efterhånden som den fysiske fejlrate krydser tærskelværdien, kan mængden af fejduktrykkelse opnået af koden øges med størrelsesordener, selv med en lille reduktion af den fysiske fejlrate. Denne funktion gør LDPC-koder med stor afstand attraktive for nærtstående demonstrationer, der sandsynligvis vil operere i nær-tærskelregimet. Det blev dog tidligere antaget, at overgå overfladekoden for realistiske støjmålinger, herunder hukommelses-, gate- og tilstandsforberedelses- og målingsfejl, kan kræve meget store LDPC-koder med mere end 10.000 fysiske qubits . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Her præsenterer vi adskillige konkrete eksempler på LDPC-koder med høj rate og få hundrede fysiske qubits, udstyret med et lav-dybt syndrommålingskredsløb, en effektiv afkodningsalgoritme og en fejltolerant protokol til håndtering af individuelle logiske qubits. Disse koder viser en fejl-tærskel tæt på 0,7 %, udviser fremragende ydeevne i nær-tærskelregimet og tilbyder en 10 gange reduktion af kodnings-overheadet sammenlignet med overfladekoden. Hardwarekrav til realisering af vores fejlkorrektionsprotokoller er relativt milde, da hver fysisk qubit er koblet via to-qubit gates med kun seks andre qubits. Selvom qubit-konnektivitetsgrafen ikke er lokalt indlejret i et 2D-gitter, kan den dekomponeres i to kant-disjunkte planære delgrafer. Som vi argumenterer nedenfor, er en sådan qubit-konnektivitet velegnet til arkitekturer baseret på superledende qubits. Vores koder er en generalisering af cykelkoder foreslået af MacKay et al. og studeret i dybere detaljer i ref. , , . Vi har navngivet vores koder bivariate cykel (BB), fordi de er baseret på bivariate polynomier, som detaljeret beskrevet i . Disse er stabilisatorkoder af Calderbank-Shor-Steane (CSS) typen , , som kan beskrives ved en samling af seks-qubit check (stabilisator) operatorer bestående af Pauli og . På et højt niveau ligner en BB-kode den todimensionelle toriske kode . Især kan fysiske qubits i en BB-kode anbringes på et todimensionelt gitter med periodiske grænsebetingelser, så alle checkoperatorer opnås fra et enkelt par af og checks ved at anvende horisontale og vertikale forskydninger af gitteret. I modsætning til plade- og vertexstabilisatorerne, der beskriver den toriske kode, er checkoperatorerne i BB-koder ikke geometrisk lokale. Desuden virker hver check på seks qubits snarere end fire. Vi vil beskrive koden ved en Tanner-graf , således at hver vertex i repræsenterer enten en datakubit eller en checkoperator. En checkvertex og en datvertex er forbundet med en kant, hvis 'te checkoperator virker ikke-trivielt på den 'te datakubit (ved at anvende Pauli eller ). Se fig. for eksempler på Tanner-grafer for overflade- og BB-koder. Tanner-grafen for enhver BB-kode har grad 6 og en graf-tykkelse lig med to, hvilket betyder, at den kan dekomponeres i to kant-disjunkte planære delgrafer ( ). Tykkelse-2 qubit-konnektivitet er velegnet til superledende qubits koblet af mikrobølgeresonatorer. For eksempel kan to planære lag af koblinger og deres kontrolledninger tilsluttes toppen og bunden af chippen, der huser qubits, og de to sider samles. 41 35 36 42 Metoderne 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metoder , Tanner-graf for en overfladekoden, til sammenligning. , Tanner-graf for en BB-kode med parametrene [[144, 12, 12]] indlejret i en torus. Enhver kant af Tanner-grafen forbinder en data- og en check-vertex. Datakubitter associeret med registre ( ) og ( ) vises som blå og orange cirkler. Hver vertex har seks indkommende kanter, herunder fire kortrækkende kanter (pegende nord, syd, øst og vest) og to langtrækkende kanter. Vi viser kun et par langtrækkende kanter for at undgå rod. Stiplede og fulde linjer indikerer to planære delgrafer, der spænder over Tanner-grafen, se . , Skitse af en Tanner-graf-udvidelse til måling af og efter ref. , der tilsluttes en overfladekoden. Ancillaen, der svarer til målingen, kan forbindes til en overfladekoden, hvilket muliggør load-store operationer for alle logiske qubits ved hjælp af kvanteteleportering og nogle logiske unitarier. Denne udvidede Tanner-graf har også en implementering i en tykkelse-2 arkitektur gennem og kanterne ( ). a b q L q R Metoder c 50 A B Metoder En BB-kode med parametrene [[ , , ]] indkoder logiske qubits i datakubitter, der tilbyder en kodningsafstand , hvilket betyder, at enhver logisk fejl spænder over mindst datakubitter. Vi opdeler datakubitter i registre ( ) og ( ) af størrelsen /2 hver. Enhver check virker på tre qubits fra ( ) og tre qubits fra ( ). Koden er afhængig af ancillære check-qubits til at måle fejlsyndromet. Vi opdeler check-qubits i registre ( ) og ( ) af størrelsen /2, der samler syndromer af og typer, henholdsvis. Samlet set er kodningen afhængig af 2 fysiske qubits. Netkodningsraten er derfor = /(2 ). For eksempel indkoder den standard overfladekodearkitektur = 1 logisk qubit i = datakubitter for en kode med afstand og bruger − 1 check-qubits til syndrommålinger. Netkodningsraten er ≈ 1/(2 ), hvilket hurtigt bliver upraktisk, da man er tvunget til at vælge en stor kodningsafstand, på grund af f.eks. at de fysiske fejl er tæt på tærskelværdien. I modsætning hertil har BB-koder kodningsrate ≫ 1/ , se tabel for kodeeksempler. Så vidt vi ved, er alle koder vist i tabel nye. Afstand-12 koden [[144, 12, 12]] er muligvis den mest lovende til nærtstående demonstrationer, da den kombinerer stor afstand og høj netkodningsrate = 1/24. Til sammenligning har overfladekoden med afstand-11 en netkodningsrate = 1/241. Nedenfor viser vi, at afstand-12 BB-koden overgår overfladekoden med afstand-11 for det eksperimentelt relevante område af fejlfrekvenser. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r For at forhindre ophobning af fejl skal man kunne måle fejlsyndromet tilstrækkeligt ofte. Dette opnås ved et syndrommålingskredsløb, der kobler datakubitter i støtten af hver checkoperator med den respektive ancillære qubit via en sekvens af CNOT-gates. Check-qubits måles derefter og afslører værdien af fejlsyndromet. Den tid, det tager at implementere syndrommålingskredsløbet, er proportional med dets dybde: antallet af gatelag bestående af ikke-overlappende CNOTs. Da nye fejl fortsat opstår, mens syndrommålingskredsløbet udføres, bør dets dybde minimeres. Den fulde cyklus af syndrommåling for en BB-kode er illustreret på fig. . Syndromcyklussen kræver kun syv lag af CNOTs uanset kodens længde. Check-qubits initialiseres og måles henholdsvis i begyndelsen og slutningen af syndromcyklussen (se for detaljer). Kredsløbet respekterer den cykliske skift symmetri af den underliggende kode. 2 Metoder Fuld cyklus af syndrommålinger, der kræver syv lag af CNOTs. Vi giver en lokal visning af kredsløbet, der kun omfatter én datakubit fra hvert register ( ) og ( ). Kredsløbet er symmetrisk under horisontale og vertikale forskydninger af Tanner-grafen. Hver datakubit er koblet via CNOTs med tre *X-*check og tre *Z-*check qubits: se for flere detaljer. q L q R Metoder Den fulde fejlkorrektionsprotokol udfører ≫ 1 syndrommålingscyklusser og kalder derefter en afkoder: en klassisk algoritme, der tager de målte syndromer som input og returnerer et gæt på den endelige fejl på datakubitterne. Fejlkorrektion lykkes, hvis det gættede og den faktiske fejl stemmer overens modulo en produkt af checkoperatorer. I dette tilfælde har de to fejl samme virkning på enhver indkodet (logisk) tilstand. Anvendelse af den inverse af den gættede fejl returnerer således datakubitterne til den oprindelige logiske tilstand. Ellers, hvis det gættede og den faktiske fejl afviger med en ikke-triviel logisk operator, mislykkes fejlkorrektionen, hvilket resulterer i en logisk fejl. Vores numeriske eksperimenter er baseret på belief propagation med en ordered statistics decoder (BP-OSD) foreslået af Panteleev og Kalachev . Det originale arbejde beskrev BP-OSD i sammenhæng med en legetøjsstøjmodel med kun hukommelsesfejl. Her viser vi, hvordan man udvider BP-OSD til den kredsløbsbaserede støjmodel, se N c 36 36
