নন-কমিউটেটিভ ক্রেপ্যান্ট রেজোলিউশনের মিউটেশন: পরিবর্তনকারী মডিউলগুলির বিনিময় এবং মিউটেশন

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত এবং ভূমিকা
• পরিবর্তনকারী মডিউলগুলির বিনিময় এবং মিউটেশন
• আধা-সিমেট্রিক উপস্থাপনা এবং GIT ভাগফল
• প্রধান ফলাফল
• Calabi-Yau সম্পূর্ণ ছেদ-এ অ্যাপ্লিকেশন
• পরিশিষ্ট A. ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন
• পরিশিষ্ট B. স্বরলিপির তালিকা
• তথ্যসূত্র

2. পরিবর্তনকারী মডিউলগুলির বিনিময় এবং মিউটেশন

2.1। নন-কমিউটেটিভ ক্রেপ্যান্ট রেজোলিউশন। বর্তমান বিভাগটি এই নিবন্ধে অধ্যয়ন করা কিছু মৌলিক ধারণার সংজ্ঞা স্মরণ করে।

(1) একটি রিফ্লেক্সিভ R-মডিউল M কে একটি পরিবর্তনকারী মডিউল বলা হয় যদি EndR(M) একটি (সর্বোচ্চ) Cohen-Macaulay R-মডিউল হয়।

(2) আমরা বলি যে একটি রিফ্লেক্সিভ মডিউল M একটি নন-কমিউটেটিভ ক্রেপ্যান্ট রেজোলিউশন দেয় (=NCCR) Λ = EndR(M) যদি M পরিবর্তন করা হয় এবং বীজগণিত Λ এর সসীম বৈশ্বিক মাত্রা থাকে।

মন্তব্য 2.4. উল্লেখ্য যে NCCR-এর আমাদের সংজ্ঞা [Van3] বা [IW1]-এর থেকে আলাদা। যাইহোক, যদি R d-sCY হয়, আমাদের সংজ্ঞা অন্যান্য সংজ্ঞার সমতুল্য। দেখুন [Van3, Lemma 4.2] অথবা [IW1, Lemma 2.23]।

K ∈ addL থেকে এমন যে অনুপ্রাণিত মরফিজম α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) surjective. যদি L = N, তাহলে আমরা শুধু α কে বলি একটি রাইট (addL)-M-এর অনুমান। A রাইট (add L)N - আনুমানিক α: K → M কে ন্যূনতম বলা হয় যদি কোনো এন্ডোমরফিজম φ ∈ End(K) সন্তোষজনক α◦φ = α হল একটি স্বয়ংক্রিয়তা, এবং আমরা বলি যে α হ্রাস করা হয় যদি K-এর কোনো সরাসরি যোগ K′ Ker(α) এ না থাকে। মনে রাখবেন যে যদি একটি সঠিক অনুমান ন্যূনতম হয়, তবে এটি হ্রাস করা হয়, এবং ক্ষেত্রে যখন R সম্পূর্ণ স্থানীয় হয়, কনভার্সটিও ধারণ করে।

সংজ্ঞা 2.6। ধরুন R একটি সাধারণ d-sCY, এবং M, N, L ∈ রেফ R ধরুন।

লেমা 2.7। নোটেশন উপরের মত একই

(1) L ′ ∈ addL হলে, একটি অন্তর্ভুক্তি আছে

কম বিনিময়ে সীমাবদ্ধ করার সময় যা সত্য হতে থাকে।

(2) N′ ∈ N যোগ করলে একটি অন্তর্ভুক্তি আছে

কম বিনিময়ে সীমাবদ্ধ করার সময় যা সত্য হতে থাকে।

(3) আরেকটি পূর্ণ উপশ্রেণি S′ ⊆ রেফ R এর জন্য, একটি অন্তর্ভুক্তি রয়েছে

যদি R সম্পূর্ণ স্থানীয় হয়, অনুরূপ অন্তর্ভুক্তি হ্রাস বিনিময়ের জন্যও ধারণ করে।

প্রমাণ (1), (2) এবং (3) এর প্রথম দাবিটি সুস্পষ্ট। (3) এর দ্বিতীয় দাবিটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে, R সম্পূর্ণ স্থানীয় হলে, দুটি অনুমান α: K → M এবং α ′ : K′ → M′ হ্রাস করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ হয় → M ⊕ M′ কমে গেছে।

প্রমাণ অনুমান করুন যে Hom(N, M ⊕ N) হল কোহেন-ম্যাকলে, এবং একটি সঠিক ক্রম বিবেচনা করুন

0 → F Ker α → FK → FM → 0।

এখন এই ক্রমটিতে ফাংশন Hom(−, FR) প্রয়োগ করলে প্রতিফলিত সমতুল্য প্রমাণিত হয় যে দ্বৈত ক্রম

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

সঠিক

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

সঠিক হতে অবশেষ। যেহেতু মূল অনুক্রমের সমস্ত মডিউলগুলি প্রতিসরণমূলক, তাই প্রতিফলিত সমতা এবং দ্বৈততা একটি সমরূপতা প্রদান করে

এবং K এবং Ker α এর জন্য অনুরূপ আইসোমরফিজম, যা অনুক্রমের সঠিকতা বোঝায়

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0।

এইভাবে দ্বৈত মরফিজম

K∗ → (Ker α) ∗

একটি অধিকার (L ∗ যোগ করুন )N∗ -কার্ণেল M∗ এর সাথে অনুমান, যা প্রথম দাবি প্রমাণ করে। দ্বিতীয় দাবী অনুরূপ যুক্তি থেকে অনুসরণ করে.

নিম্নলিখিতটি বলে যে একটি পরিবর্তনকারী মডিউলের সরাসরি যোগফল বিনিময় করা চমৎকার পরিস্থিতিতে একটি নতুন পরিবর্তনকারী মডিউল দেয়।

লেমা 2.10। চলুন M ∈ রেফ R. নিম্নলিখিত সমতুল্য ধারণ করে।

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

প্রমাণ। আমরা অনুমান করতে পারি যে R স্থানীয়। যেহেতু M রিফ্লেক্সিভ, তাই এটি (⇒) দিক দেখানোর জন্য যথেষ্ট। যেহেতু R হল Gorenstein, তাই এর ইনজেক্টিভ মাত্রা সসীম। এইভাবে ফলাফল [BH, প্রস্তাব 3.3.3 (b)] থেকে অনুসরণ করে।

লেমা 2.11। R কে একটি গোরেনস্টাইন স্বাভাবিক বলয় হতে দিন, এবং M, N ∈ রেফ R। তারপর

প্রমাণ দিক (⇒) প্রমাণ করার জন্য এটি যথেষ্ট। অনুমান করুন যে Hom(M, N) ∈ CM R. তারপর Lemma 2.10 বোঝায় যে Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. কিন্তু Lemma [IW1, Lemma 2.9] দ্বারা, Hom(M, N) ∗ ∼ একটি আইসোমরফিজম আছে = Hom(N, M), যা দেখায় যে Hom(N, M) ∈ CM R.

ক্ষেত্রের প্রমাণ যখন m < 0 অনুরূপ।

মন্তব্য 2.13। যেহেতু একটি ডান অনুমান সাধারণভাবে অনন্য নয়, তাই ডান/বাম মিউটেশনও নয়। যাইহোক, ডান/বাম মিউটেশন অ্যাডিটিভ ক্লোজার [IW1, Lemma 6.2] পর্যন্ত অনন্য, এবং যদি R সম্পূর্ণ স্থানীয় হয়, ন্যূনতম মিউটেশনগুলি আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য।

উপপাদ্য 2.14 ([IW1, প্রস্তাবনা 6.5, উপপাদ্য 6.8, উপপাদ্য 6.10])। M ∈ ref R একটি পরিবর্তনকারী R-মডিউল হতে দিন।

2.3। কাত বান্ডিল এবং মিউটেশন। এই বিভাগে বীজগাণিতিক স্ট্যাকের উপর টিল্টিং বান্ডিল নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। আমরা বীজগাণিতিক স্ট্যাকের প্রাপ্ত বিভাগগুলির কিছু মৌলিক তথ্য স্মরণ করা থেকে শুরু করি।