```html লেখক: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder সারাংশ বর্তমান কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলিতে বড় আকারের অ্যালগরিদম চালানো ভৌত ত্রুটির সঞ্চয়নের কারণে প্রতিরোধ করে [1,2,3]। কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন k লজিক্যাল কিউবিটকে n সংখ্যক ভৌত কিউবিটের একটি বৃহত্তর সংখ্যার উপর এনকোড করে একটি সমাধান প্রদান করার প্রতিশ্রুতি দেয়, যাতে ভৌত ত্রুটিগুলি সহনশীল বিশ্বস্ততার সাথে একটি কাঙ্ক্ষিত গণনা চালানোর অনুমতি দেওয়ার জন্য যথেষ্ট দমন করা হয়। কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন ব্যবহারিক হয়ে ওঠে যখন ভৌত ত্রুটির হার একটি নির্দিষ্ট মানের নিচে থাকে যা কোয়ান্টাম কোড, সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট এবং ডিকোডিং অ্যালগরিদমের পছন্দের উপর নির্ভর করে [5]। আমরা একটি এন্ড-টু-এন্ড কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন প্রোটোকল উপস্থাপন করি যা কম-ঘনত্ব প্যারিটি-চেক কোডগুলির একটি পরিবারের উপর ভিত্তি করে ফল্ট-টলারেন্ট মেমরি প্রয়োগ করে [6]। আমাদের পদ্ধতি 0.7% ত্রুটি থ্রেশহোল্ড অর্জন করে স্ট্যান্ডার্ড সার্কিট-ভিত্তিক নয়েজ মডেলের জন্য, যা সারফেস কোডের সমতুল্য [7,8,9,10] যা 20 বছর ধরে ত্রুটি থ্রেশহোল্ডের দিক থেকে শীর্ষস্থানীয় কোড ছিল। আমাদের পরিবারের একটি দৈর্ঘ্য-n কোডের জন্য সিনড্রোম পরিমাপ চক্রের জন্য n সংখ্যক সহায়ক কিউবিট এবং CNOT গেট, কিউবিট ইনিশিয়ালাইজেশন এবং পরিমাপের একটি ডেপথ-8 সার্কিট প্রয়োজন। প্রয়োজনীয় কিউবিট সংযোগ একটি ডিগ্রি-6 গ্রাফ যা দুটি এজ-ডিসজয়েন্ট প্ল্যানার সাবগ্রাফ নিয়ে গঠিত। বিশেষত, আমরা দেখাই যে 12 টি লজিক্যাল কিউবিট 288 টি ভৌত কিউবিট ব্যবহার করে প্রায় 1 মিলিয়ন সিনড্রোম চক্রের জন্য সংরক্ষিত রাখা যেতে পারে, যেখানে ভৌত ত্রুটির হার 0.1% অনুমান করা হয়, যখন সারফেস কোডের একই পারফরম্যান্স অর্জনের জন্য প্রায় 3,000 ভৌত কিউবিট প্রয়োজন হবে। আমাদের অনুসন্ধানগুলি স্বল্প-মেয়াদী কোয়ান্টাম প্রসেসরগুলির নাগালের মধ্যে একটি ফল্ট-টলারেন্ট কোয়ান্টাম মেমরির কম-ওভারহেড প্রদর্শনের পথ প্রশস্ত করে। মূল অংশ কোয়ান্টাম কম্পিউটিং তার সমাধান প্রদানের ক্ষমতার কারণে মনোযোগ আকর্ষণ করেছে যা সর্বোত্তম পরিচিত ক্লাসিক্যাল অ্যালগরিদমগুলির তুলনায় অনেক দ্রুত গণনা সমস্যার সমাধান দিতে পারে [5]। এটি বিশ্বাস করা হয় যে একটি কার্যকরী স্কেলেবল কোয়ান্টাম কম্পিউটার বৈজ্ঞানিক আবিষ্কার, উপকরণ গবেষণা, রসায়ন এবং ওষুধ নকশার মতো ক্ষেত্রগুলিতে গণনা সমস্যা সমাধানে সহায়তা করতে পারে [11,12,13,14]। একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরির প্রধান বাধা হল কোয়ান্টাম তথ্যের ভঙ্গুরতা, বিভিন্ন উৎসের গোলমাল এটিকে প্রভাবিত করে। বাহ্যিক প্রভাব থেকে কোয়ান্টাম কম্পিউটারকে বিচ্ছিন্ন করা এবং এটিকে একটি পছন্দসই গণনা পরিচালনা করার জন্য নিয়ন্ত্রণ করা একে অপরের সাথে সাংঘর্ষিক হওয়ায়, গোলমাল অনিবার্য বলে মনে হয়। গোলমালের উৎসগুলির মধ্যে রয়েছে কিউবিট, ব্যবহৃত উপকরণ, নিয়ন্ত্রণ যন্ত্র, রাষ্ট্র প্রস্তুতি এবং পরিমাপের ত্রুটি এবং স্থানীয় মানব-নির্মিত, যেমন স্ট্রে ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ক্ষেত্র থেকে মহাবিশ্বের অন্তর্নিহিত কারণগুলি, যেমন মহাজাগতিক রশ্মি পর্যন্ত। একটি সারসংক্ষেপের জন্য [15] দেখুন। যদিও গোলমালের কিছু উৎস উন্নত নিয়ন্ত্রণ [16], উপকরণ [17] এবং শিল্ডিং [18,19,20] দিয়ে দূর করা যেতে পারে, তবে অন্যান্য বেশ কয়েকটি উৎস দূর করা কঠিন বা অসম্ভব বলে মনে হয়। শেষ ধরনের মধ্যে ট্রান্সন আয়নে স্বতঃস্ফূর্ত এবং উত্তেজিত নির্গমন [1,2], এবং সুপারকন্ডাক্টিং সার্কিটগুলিতে স্নানের সাথে মিথস্ক্রিয়া (পার্সেল প্রভাব) [3] অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে - উভয় প্রধান কোয়ান্টাম প্রযুক্তিকে কভার করে। সুতরাং, একটি কার্যকরী স্কেলেবল কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরির জন্য ত্রুটি সংশোধন একটি মূল প্রয়োজনীয়তা হয়ে ওঠে। কোয়ান্টাম ফল্ট টলারেন্সের সম্ভাবনা সুপ্রতিষ্ঠিত [4]। একাধিক ভৌত কিউবিটে একটি লজিক্যাল কিউবিটকে রিডান্ড্যান্টলি এনকোড করা সিনড্রোমগুলির পর্যায়ক্রমিক পরিমাপের মাধ্যমে ত্রুটিগুলি নির্ণয় এবং সংশোধন করতে সক্ষম করে। তবে, ত্রুটি সংশোধন কেবল তখনই উপকারী যদি হার্ডওয়্যার ত্রুটির হার একটি নির্দিষ্ট মানের নিচে থাকে যা একটি নির্দিষ্ট ত্রুটি সংশোধন প্রোটোকলের উপর নির্ভর করে। কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনের প্রথম প্রস্তাব, যেমন সংযুক্ত কোড [21,22,23], ত্রুটি দমনের তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা প্রদর্শনের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছিল। কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন এবং কোয়ান্টাম প্রযুক্তির ক্ষমতা সম্পর্কে বোঝাপড়া পরিপক্ক হওয়ার সাথে সাথে, ব্যবহারিক কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন প্রোটোকলগুলি খুঁজে বের করার দিকে মনোযোগ সরে গেছে। এটি সারফেস কোড [7,8,9,10] এর বিকাশের দিকে পরিচালিত করেছে যা প্রায় 1% এর উচ্চ ত্রুটি থ্রেশহোল্ড, দ্রুত ডিকোডিং অ্যালগরিদম এবং বিদ্যমান কোয়ান্টাম প্রসেসরগুলির সাথে সামঞ্জস্যতা সরবরাহ করে যা দ্বি-মাত্রিক (2D) বর্গাকার ল্যাটিস কিউবিট সংযোগের উপর নির্ভর করে। একটি একক লজিক্যাল কিউবিট সহ সারফেস কোডের ছোট উদাহরণগুলি ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি গোষ্ঠী দ্বারা পরীক্ষামূলকভাবে প্রদর্শিত হয়েছে [24,25,26,27,28]। তবে, 100 বা তার বেশি লজিক্যাল কিউবিটে সারফেস কোড স্কেল আপ করা এর দুর্বল এনকোডিং দক্ষতার কারণে অত্যন্ত ব্যয়বহুল হবে। এটি কম-ঘনত্ব প্যারিটি-চেক (LDPC) কোড নামে পরিচিত আরও সাধারণ কোয়ান্টাম কোডগুলিতে আগ্রহ বাড়িয়েছে [6]। LDPC কোডগুলির অধ্যয়নের সাম্প্রতিক অগ্রগতিগুলি ইঙ্গিত দেয় যে তারা অনেক বেশি এনকোডিং দক্ষতার সাথে কোয়ান্টাম ফল্ট টলারেন্স অর্জন করতে পারে [29]। এখানে, আমরা LDPC কোডগুলির অধ্যয়নের উপর ফোকাস করি, কারণ আমাদের লক্ষ্য হল কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড এবং প্রোটোকলগুলি খুঁজে বের করা যা ব্যবহারিক এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটিং প্রযুক্তির সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করে ব্যবহারিকভাবে প্রদর্শনযোগ্য। একটি কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড LDPC ধরণের হয় যদি কোডের প্রতিটি চেক অপারেটর কেবল কয়েকটি কিউবিটের উপর কাজ করে এবং প্রতিটি কিউবিট কেবল কয়েকটি চেকের মধ্যে অংশ নেয়। LDPC কোডগুলির বেশ কয়েকটি ভিন্নতা সম্প্রতি প্রস্তাব করা হয়েছে যার মধ্যে হাইপারবোলিক সারফেস কোড [30,31,32], হাইপারগ্রাফ পণ্য [33], ভারসাম্যপূর্ণ পণ্য কোড [34], সসীম গ্রুপগুলির উপর ভিত্তি করে দ্বি-ব্লক কোড [35,36,37,38] এবং কোয়ান্টাম ট্যানার কোড [39,40]। পরবর্তীগুলি যথাক্রমে একটি ধ্রুবক এনকোডিং হার এবং রৈখিক দূরত্ব অর্জনের অর্থে প্রায়শই 'ভাল' হিসাবে দেখানো হয়েছে: একটি প্যারামিটার যা সংশোধনযোগ্য ত্রুটির সংখ্যা পরিমাপ করে। বিপরীতে, সারফেস কোডের একটি প্রায় শূন্য এনকোডিং হার এবং কেবল বর্গমূল দূরত্ব রয়েছে। সারফেস কোডকে একটি উচ্চ-হার, উচ্চ-দূরত্বের LDPC কোড দিয়ে প্রতিস্থাপন করা বড় ব্যবহারিক প্রভাব ফেলতে পারে। প্রথমত, ফল্ট-টলারেন্স ওভারহেড (ভৌত এবং লজিক্যাল কিউবিটগুলির মধ্যে অনুপাত) উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করা যেতে পারে। দ্বিতীয়ত, উচ্চ-দূরত্বের কোডগুলি লজিক্যাল ত্রুটি হারের একটি খুব তীক্ষ্ণ হ্রাস দেখায়: যখন ভৌত ত্রুটির সম্ভাবনা থ্রেশহোল্ড মানের অতিক্রম করে, তখন কোডের দ্বারা অর্জিত ত্রুটি দমনের পরিমাণ ভৌত ত্রুটি হারের সামান্য হ্রাসের সাথেও কয়েকগুণ বৃদ্ধি পেতে পারে। এই বৈশিষ্ট্যটি উচ্চ-দূরত্বের LDPC কোডগুলিকে নিকট-মেয়াদী প্রদর্শনের জন্য আকর্ষণীয় করে তোলে যা সম্ভবত নিকট-থ্রেশহোল্ড অঞ্চলে কাজ করবে। তবে, পূর্বে বিশ্বাস করা হত যে বাস্তবসম্মত নয়েজ মডেলগুলির জন্য সারফেস কোডকে ছাড়িয়ে যাওয়ার জন্য মেমরি, গেট এবং স্টেট প্রস্তুতি এবং পরিমাপ ত্রুটিগুলি 10,000 টিরও বেশি ভৌত কিউবিট সহ খুব বড় LDPC কোডের প্রয়োজন হতে পারে [31] । এখানে আমরা স্বল্প-দৈর্ঘ্যের সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট, একটি কার্যকর ডিকোডিং অ্যালগরিদম এবং পৃথক লজিক্যাল কিউবিটগুলি সম্বোধন করার জন্য একটি ফল্ট-টলারেন্ট প্রোটোকল সহ কয়েকশ ভৌত কিউবিট সহ উচ্চ-হারের LDPC কোডের বেশ কয়েকটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ উপস্থাপন করি। এই কোডগুলি 0.7% এর কাছাকাছি একটি ত্রুটি থ্রেশহোল্ড দেখায়, নিকট-থ্রেশহোল্ড অঞ্চলে চমৎকার পারফরম্যান্স দেখায় এবং সারফেস কোডের তুলনায় এনকোডিং ওভারহেডের 10 গুণ হ্রাস সরবরাহ করে। আমাদের ত্রুটি সংশোধন প্রোটোকলগুলি বাস্তবায়নের জন্য হার্ডওয়্যারের প্রয়োজনীয়তাগুলি তুলনামূলকভাবে হালকা, কারণ প্রতিটি ভৌত কিউবিট কেবল ছয়টি অন্যান্য কিউবিটের সাথে দ্বি-কিউবিট গেট দ্বারা যুক্ত থাকে। যদিও কিউবিট সংযোগ গ্রাফটি একটি 2D গ্রিডে স্থানীয়ভাবে এম্বেডযোগ্য নয়, তবে এটি দুটি প্ল্যানার ডিগ্রি-3 সাবগ্রাফের মধ্যে ভেঙে দেওয়া যেতে পারে। যেমন আমরা নীচে যুক্তি দেব, এই জাতীয় কিউবিট সংযোগ সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিট ভিত্তিক স্থাপত্যের জন্য উপযুক্ত। আমাদের কোডগুলি ম্যাককে এট আল দ্বারা প্রস্তাবিত বাইসাইকেল কোডের একটি সাধারণীকরণ [41] এবং রেফগুলিতে আরও গভীরে অধ্যয়ন করা হয়েছে। [35,36,42]। আমরা আমাদের কোডগুলির নাম বাইভেরিয়েট বাইসাইকেল (BB) কোড দিয়েছি কারণ তারা বাইভেরিয়েট পলিনোমিয়ালের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেমন পদ্ধতি বিভাগে বিস্তারিতভাবে বলা হয়েছে। এগুলি ক্যালডারব্যাঙ্ক-শোর-স্টেইন (CSS) ধরণের স্টেবিলাইজার কোড [43,44] যা পলিomiX এবং Z দ্বারা গঠিত ছয়-কিউবিট চেকের (স্টেবিলাইজার) একটি সংগ্রহ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। উচ্চ স্তরে, একটি BB কোড দ্বি-মাত্রিক টোরিক কোডের অনুরূপ [7]। বিশেষত, একটি BB কোডের ভৌত কিউবিটগুলি পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্তাবলী সহ একটি দ্বি-মাত্রিক গ্রিডে স্থাপন করা যেতে পারে যাতে সমস্ত চেক অপারেটরগুলি গ্রিডের অনুভূমিক এবং উল্লম্ব স্থানান্তর প্রয়োগ করে X এবং Z চেকের একটি একক জোড়া থেকে প্রাপ্ত হয়। তবে, টোরিক কোড বর্ণনাকারী প্ল্যাকেট এবং ভার্টেক্স স্টেবিলাইজারগুলির বিপরীতে, BB কোডগুলির চেক অপারেটরগুলি জ্যামিতিকভাবে স্থানীয় নয়। তাছাড়া, প্রতিটি চেক চারটি কিউবিটের পরিবর্তে ছয়টি কিউবিটের উপর কাজ করে। আমরা কোডটিকে একটি ট্যানার গ্রাফ G দ্বারা বর্ণনা করব যাতে G এর প্রতিটি শীর্ষ একটি ডেটা কিউবিট বা একটি চেক অপারেটরকে প্রতিনিধিত্ব করে। একটি চেক শীর্ষ i এবং একটি ডেটা শীর্ষ j একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে যদি i-তম চেক অপারেটর j-তম ডেটা কিউবিটের উপর অ-তুচ্ছভাবে কাজ করে (পলিomi X বা Z প্রয়োগ করে)। উদাহরণ ট্যানার গ্রাফগুলির জন্য চিত্র 1a,b দেখুন। যেকোনো BB কোডের ট্যানার গ্রাফের শীর্ষ ডিগ্রি ছয় এবং গ্রাফ পুরুত্ব [29] দুইয়ের সমান, যার অর্থ এটি দুটি এজ-ডিসজয়েন্ট প্ল্যানার সাবগ্রাফে বিভক্ত করা যেতে পারে (পদ্ধতি)। পুরুত্ব-2 কিউবিট সংযোগ সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিটগুলির জন্য উপযুক্ত যা মাইক্রোওয়েভ রেজোনেটরের মাধ্যমে সংযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, কাপলার এবং তাদের নিয়ন্ত্রণ লাইনগুলির দুটি প্ল্যানার স্তর কিউবিট হোস্ট করা চিপের উপরের এবং নীচের দিকে সংযুক্ত করা যেতে পারে এবং দুটি দিক জোড়া লাগানো যেতে পারে। **ক**, তুলনার জন্য একটি সারফেস কোডের ট্যানার গ্রাফ। **খ**, [[144, 12, 12]] প্যারামিটার সহ একটি BB কোডের ট্যানার গ্রাফ একটি টোরাসে এমবেড করা হয়েছে। ট্যানার গ্রাফের যেকোনো প্রান্ত একটি ডেটা এবং একটি চেক শীর্ষকে সংযুক্ত করে। q(L) এবং q(R) রেজিস্টারগুলির সাথে সম্পর্কিত ডেটা কিউবিটগুলি নীল এবং কমলা বৃত্ত দ্বারা দেখানো হয়েছে। প্রতিটি শীর্ষের চারটি স্বল্প-পরিসরের প্রান্ত (উত্তর, দক্ষিণ, পূর্ব এবং পশ্চিম দিকে নির্দেশ করে) এবং দুটি দীর্ঘ-পরিসরের প্রান্ত সহ ছয়টি ঘটনা প্রান্ত রয়েছে। আমরা জট এড়াতে কেবল কয়েকটি দীর্ঘ-পরিসরের প্রান্ত দেখাই। ড্যাশড এবং সলিড প্রান্তগুলি ট্যানার গ্রাফকে বিস্তৃত দুটি প্ল্যানার সাবগ্রাফ নির্দেশ করে, পদ্ধতি বিভাগটি দেখুন। **গ**, ref. [50] অনুসরণ করে X এবং Z পরিমাপের জন্য একটি ট্যানার গ্রাফ এক্সটেনশনের স্কেচ, একটি সারফেস কোডের সাথে সংযুক্ত। Z পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত সহায়কটি কোয়ান্টাম টেলিপোর্টেশন এবং কিছু লজিক্যাল ইউনিটারিগুলির মাধ্যমে সমস্ত লজিক্যাল কিউবিটগুলির জন্য লোড-স্টোর অপারেশনের জন্য একটি সারফেস কোডের সাথে সংযুক্ত হতে পারে। এই বর্ধিত ট্যানার গ্রাফের পুরুত্ব-2 আর্কিটেকচারে A এবং B প্রান্তের মাধ্যমে একটি বাস্তবায়নও রয়েছে (পদ্ধতি)। একটি [[n, k, d]] প্যারামিটার সহ একটি BB কোড k সংখ্যক লজিক্যাল কিউবিটকে n সংখ্যক ডেটা কিউবিটে এনকোড করে যা একটি কোড দূরত্ব d সরবরাহ করে, যার অর্থ কোনও লজিক্যাল ত্রুটি কমপক্ষে d সংখ্যক ডেটা কিউবিট জুড়ে বিস্তৃত হয়। আমরা n ডেটা কিউবিটকে q(L) এবং q(R) রেজিস্টারে n/2 টি করে ভাগ করি। যেকোনো চেক q(L) থেকে তিনটি কিউবিট এবং q(R) থেকে তিনটি কিউবিটের উপর কাজ করে। কোডটি ত্রুটি সিনড্রোম পরিমাপ করার জন্য n সংখ্যক সহায়ক চেক কিউবিটের উপর নির্ভর করে। আমরা n সংখ্যক চেক কিউবিটকে q(X) এবং q(Z) রেজিস্টারে n/2 টি করে ভাগ করি যা যথাক্রমে X এবং Z ধরণের সিনড্রোম সংগ্রহ করে। মোট, এনকোডিং 2n ভৌত কিউবিটের উপর নির্ভর করে। তাই নেট এনকোডিং হার হল r = k/(2n)। উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড সারফেস কোড আর্কিটেকচার একটি দূরত্ব-d কোডের জন্য k = 1 লজিক্যাল কিউবিটকে n = d^2 ডেটা কিউবিটে এনকোড করে এবং সিনড্রোম পরিমাপের জন্য n - 1 চেক কিউবিট ব্যবহার করে। নেট এনকোডিং হার হল r ≈ 1/(2d^2), যা দ্রুত অবাস্তব হয়ে ওঠে কারণ কাউকে একটি বড় কোড দূরত্ব বেছে নিতে বাধ্য করা হয়, যেমন, ভৌত ত্রুটিগুলি থ্রেশহোল্ড মানের কাছাকাছি থাকার কারণে। বিপরীতে, BB কোডগুলির এনকোডিং হার r ≫ 1/d^2 রয়েছে, কোড উদাহরণগুলির জন্য টেবিল 1 দেখুন। আমাদের জ্ঞান অনুসারে, টেবিল 1-এ দেখানো সমস্ত কোড নতুন। দূরত্ব-12 কোড [[144, 12, 12]] সম্ভবত নিকট-মেয়াদী প্রদর্শনের জন্য সবচেয়ে প্রতিশ্রুতিবদ্ধ, কারণ এটি বড় দূরত্ব এবং উচ্চ নেট এনকোডিং হার r = 1/24 কে একত্রিত করে। তুলনার জন্য, দূরত্ব-11 সারফেস কোডের একটি নেট এনকোডিং হার r = 1/241 রয়েছে। নীচে, আমরা দেখাই যে দূরত্ব-12 BB কোডটি পরীক্ষামূলকভাবে প্রাসঙ্গিক ত্রুটি হারের পরিসরের জন্য দূরত্ব-11 সারফেস কোডকে ছাড়িয়ে যায়। ত্রুটির সঞ্চয় রোধ করার জন্য ত্রুটি সিনড্রোম যথেষ্ট ঘন ঘন পরিমাপ করতে সক্ষম হতে হবে। এটি একটি সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট দ্বারা সম্পন্ন করা হয় যা প্রতিটি চেক অপারেটরের ডেটা কিউবিটগুলিকে সংশ্লিষ্ট সহায়ক কিউবিটের সাথে CNOT গেটগুলির একটি ক্রম দ্বারা সংযুক্ত করে। তারপরে চেক কিউবিটগুলি পরিমাপ করা হয় যা ত্রুটি সিনড্রোমের মান প্রকাশ করে। সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট বাস্তবায়নে যে সময় লাগে তা তার গভীরতার সমানুপাতিক: নন-ওভারল্যাপিং CNOTs এর গেট স্তরগুলির সংখ্যা। যেহেতু সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট কার্যকর করা হচ্ছে তখন নতুন ত্রুটি ঘটতে থাকে, এর গভীরতা কমানো উচিত। একটি BB কোডের জন্য সিনড্রোম পরিমাপের সম্পূর্ণ চক্র চিত্র 2-এ চিত্রিত করা হয়েছে। সিনড্রোম চক্রের জন্য কোড দৈর্ঘ্যের নির্বিশেষে কেবল সাতটি CNOT স্তর প্রয়োজন। চেক কিউবিটগুলি সিনড্রোম চক্রের শুরুতে এবং শেষে শুরু এবং পরিমাপ করা হয় (বিস্তারিত জানার জন্য পদ্ধতি বিভাগ দেখুন)। সার্কিটটি অন্তর্নিহিত কোডের চক্রাকার শিফট প্রতিসাম্যকে সম্মান করে। সাতটি CNOT স্তর ব্যবহার করে সিনড্রোম পরিমাপের সম্পূর্ণ চক্র। আমরা সার্কিটের একটি স্থানীয় ভিউ সরবরাহ করি যা q(L) এবং q(R) প্রতিটি রেজিস্টার থেকে কেবল একটি ডেটা কিউবিট অন্তর্ভুক্ত করে। সার্কিটটি ট্যানার গ্রাফের অনুভূমিক এবং উল্লম্ব শিফটগুলির অধীনে প্রতিসম। প্রতিটি ডেটা কিউবিট তিনটি X-চেক এবং তিনটি Z-চেক কিউবিটের সাথে CNOTs দ্বারা সংযুক্ত থাকে: আরও তথ্যের জন্য পদ্ধতি বিভাগটি দেখুন। সম্পূর্ণ ত্রুটি সংশোধন প্রোটোকল Nc ≫ 1 সংখ্যক সিনড্রোম পরিমাপ চক্র সম্পাদন করে এবং তারপরে একটি ডিকোডারকে কল করে: একটি ক্লাসিক্যাল অ্যালগরিদম যা ইনপুট হিসাবে পরিমাপ করা সিনড্রোম গ্রহণ করে এবং ডেটা কিউবিটগুলিতে চূড়ান্ত ত্রুটির একটি অনুমান আউটপুট করে। ত্রুটি সংশোধন সফল হয় যদি অনুমান করা এবং প্রকৃত ত্রুটি একটি চেক অপারেটরদের পণ্যের মডিউলোতে মিলে যায়। এই ক্ষেত্রে, দুটি ত্রুটির যেকোনো এনকোড করা (লজিক্যাল) অবস্থার উপর একই ক্রিয়া থাকে। সুতরাং, অনুমান করা ত্রুটির বিপরীত প্রয়োগ ডেটা কিউবিটগুলিকে প্রাথমিক লজিক্যাল অবস্থায় ফিরিয়ে দেয়। অন্যথায়, যদি অনুমান করা এবং প্রকৃত ত্রুটি একটি তুচ্ছ লজিক্যাল অপারেটর দ্বারা পৃথক হয়, ত্রুটি সংশোধন ব্যর্থ হয় যার ফলে একটি লজিক্যাল ত্রুটি হয়। আমাদের সাংখ্যিক পরীক্ষাগুলি প্যান্টেলিভ এবং কালাচেভ [36] দ্বারা প্রস্তাবিত একটি অর্ডারড স্ট্যাটিস্টিকস ডিকোডার (BP-OSD) সহ বিলিফ প্রোপাগেশন-এর উপর ভিত্তি করে। মূল কাজটি [36] শুধুমাত্র মেমরি ত্রুটি সহ একটি খেলনা নয়েজ মডেলের প্রেক্ষাপটে BP-OSD বর্ণনা করেছে। এখানে আমরা দেখাই কিভাবে BP-OSD সার্কিট-ভিত্তিক নয়েজ মডেলে প্রসারিত করা যায়, বিস্তারিত জানার জন্য পরিপূরক তথ্য বিভাগটি দেখুন। আমাদের পদ্ধতি ref. [45,46,47,48] এর নিবিড়ভাবে অনুসরণ করে। সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিটের একটি গোলমালযুক্ত সংস্করণে বিভিন্ন ধরণের ত্রুটিপূর্ণ অপারেশন অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে যেমন অলস ডেটা বা চেক কিউবিটগুলিতে মেমরি ত্রুটি, ত্রুটিপূর্ণ CNOT গেট, কিউবিট ইনিশিয়ালাইজেশন এবং পরিমাপ। আমরা সার্কিট-ভিত্তিক নয়েজ মডেল [10] বিবেচনা করি যেখানে প্রতিটি অপারেশন স্বাধীনভাবে p সম্ভাবনার সাথে ব্যর্থ হয়। একটি লজিক্যাল ত্রুটির সম্ভাবনা pL ত্রুটির হার p, সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিটের বিবরণ এবং ডিকোডিং অ্যালগরিদমের উপর নির্ভর করে। Nc সিনড্রোম চক্র সম্পাদনের পরে লজিক্যাল ত্রুটির সম্ভাবনা হিসাবে PL(Nc) কে সংজ্ঞায়িত করুন। লজিক্যাল ত্রুটি হারকে সংজ্ঞায়িত করুন PL। অনানুষ্ঠানিকভাবে, pL কে প্রতি সিনড্রোম চক্রে লজিক্যাল ত্রুটি সম্ভাবনা হিসাবে দেখা যেতে পারে। সাধারণ অনুশীলন অনুসরণ করে, আমরা একটি দূরত্ব-d কোডের জন্য Nc = d নির্বাচন করি। চিত্র 3 টেবিল 1 থেকে কোডগুলির দ্বারা অর্জিত লজিক্যাল ত্রুটি হার দেখায়। লজিক্যাল ত্রুটি হার সাংখ্যিকভাবে p ≥ 10−3 এর জন্য গণনা করা হয়েছিল এবং নিম্ন ত্রুটির হারগুলিতে একটি ফিটিং সূত্র (পদ্ধতি) ব্যবহার করে এক্সট্রাপোলেট করা হয়েছিল। সিউডো-থ্রেশহোল্ড p0 কে ব্রেক-ইভেন সমীকরণের সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় pL(p) = kp। এখানে kp হল k টি আনএনকোডেড কিউবিটগুলির অন্তত একটি ত্রুটি ভোগ করে এমন সম্ভাবনার একটি অনুমান। BB কোডগুলি 0.7% এর কাছাকাছি একটি সিউডো-থ্রেশহোল্ড সরবরাহ করে, টেবিল 1 দেখুন, যা সারফেস কোডের ত্রুটি থ্রেশহোল্ডের প্রায় সমান [49] এবং লেখকদের কাছে পরিচিত সমস্ত উচ্চ-হারের LDPC কোডের থ্রেশহোল্ডকে অতিক্রম করে। **ক**, BB LDPC কোডের ছোট উদাহরণগুলির জন্য লজিক্যাল বনাম ভৌত ত্রুটির হার। pL (হীরা) এর একটি সাংখ্যিক অনুমান একটি দূরত্ব-d কোডের জন্য d সিনড্রোম চক্র সিমুলেট করে পাওয়া গেছে। বেশিরভাগ ডেটা পয়েন্টগুলির ত্রুটির বারের পরিমাণ প্রায় pL/10 স্যাম্পলিং ত্রুটির কারণে। **খ**, [[144, 12, 12]] BB LDPC কোড এবং 12 টি লজিক্যাল কিউবিট এবং দূরত্ব d ∈ {9, 11, 13, 15} সহ সারফেস কোডগুলির মধ্যে তুলনা। 12 টি লজিক্যাল কিউবিট সহ দূরত্ব-d সারফেস কোডের দৈর্ঘ্য n = 12d^2 রয়েছে কারণ প্রতিটি লজিক্যাল কিউবিট সারফেস কোড ল্যাটিসের একটি পৃথক d × d প্যাচে এনকোড করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক ভৌত ত্রুটির হার p = 10−3, যা নিকট-মেয়াদী প্রদর্শনের জন্য একটি বাস্তবসম্মত লক্ষ্য। টেবিল 1 থেকে দূরত্ব-12 কোড ব্যবহার করে 12 টি লজিক্যাল কিউবিট এনকোড করলে 2 × 10−7 এর লজিক্যাল ত্রুটি হার পাওয়া যাবে, যা প্রায় 1 মিলিয়ন সিনড্রোম চক্রের জন্য 12 টি লজিক্যাল কিউবিট সংরক্ষণ করার জন্য যথেষ্ট। এই এনকোডিংয়ের জন্য প্রয়োজনীয় মোট ভৌত কিউবিটের সংখ্যা হল 288। টেবিল 1 থেকে দূরত্ব-18 কোডের জন্য 576 ভৌত কিউবিট প্রয়োজন হবে, যখন ত্রুটির হার 10−3 থেকে 2 × 10−12 পর্যন্ত দমন করা হবে যা প্রায় শত বিলিয়ন সিনড্রোম চক্র সক্ষম করে। তুলনার জন্য, সারফেস কোডের পৃথক প্যাচগুলিতে 12 টি লজিক্যাল কিউবিট এনকোড করার জন্য 10−3 থেকে 10−7 পর্যন্ত ত্রুটির হার দমন করার জন্য 3,000 টিরও বেশি ভৌত কিউবিট প্রয়োজন হবে (চিত্র 3)। এই উদাহরণে, দূরত্ব-12 BB কোড সারফেস কোডের তুলনায় ভৌত কিউবিটের সংখ্যায় 10 গুণ সাশ্রয় সরবরাহ করে। ত্রুটির সঞ্চয় রোধ করার জন্য ত্রুটি সিনড্রোম প্রায়শই পরিমাপ করতে সক্ষম হতে হবে। এটি একটি সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট দ্বারা সম্পন্ন করা হয় যা প্রতিটি চেক অপারেটরের ডেটা কিউবিটগুলিকে সংশ্লিষ্ট সহায়ক কিউবিটের সাথে CNOT গেটগুলির একটি ক্রম দ্বারা সংযুক্ত করে। তারপরে চেক কিউবিটগুলি পরিমাপ করা হয় যা ত্রুটি সিনড্রোমের মান প্রকাশ করে। সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট কার্যকর করা হচ্ছে তখন নতুন ত্রুটি ঘটতে থাকে, এর গভীরতা কমানো উচিত। একটি BB কোডের জন্য সিনড্রোম পরিমাপের সম্পূর্ণ চক্র চিত্র 2-এ চিত্রিত করা হয়েছে। সিনড্রোম চক্রের জন্য কোড দৈর্ঘ্যের নির্বিশেষে কেবল সাতটি CNOT স্তর প্রয়োজন। চেক কিউবিটগুলি সিনড্রোম চক্রের শুরুতে এবং শেষে শুরু এবং পরিমাপ করা হয় (বিস্তারিত জানার জন্য পদ্ধতি বিভাগ দেখুন)। সার্কিটটি অন্তর্নিহিত কোডের চক্রাকার শিফট প্রতিসাম্যকে সম্মান করে। একটি BB LDPC কোড একটি লজিক্যাল মেমরি হিসাবে কাজ করার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে। যেমনটি চিত্র 1c-তে দেখানো হয়েছে, Cohen et al. [50] এর কৌশলগুলি ব্যবহার করে ট্যানার গ্রাফের এক্সটেনশনগুলি একটি সহায়ক সারফেস কোডের সাথে জড়িত ফল্ট-টলারেন্ট পরিমাপ অপারেশনগুলির অনুমতি দেয়। এই পরিমাপগুলি কোয়ান্টাম টেলিপোর্টেশন এবং কিছু লজিক্যাল ইউনিটারিগুলির মাধ্যমে সমস্ত লজিক্যাল কিউবিটগুলির জন্য ফল্ট-টলারেন্ট লোড-স্টোর অপারেশনগুলিকে সহজতর করে। বিস্তারিত জানার জন্য পরিপূরক তথ্য বিভাগটি দেখুন। আমাদের কাজটি সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিট সহ নতুন কোডগুলি সক্ষম করার জন্য মূল হার্ডওয়্যার চ্যালেঞ্জগুলি তুলে ধরে: (1) পুরুত্ব-2 আর্কিটেকচারে নিম্ন-ক্ষতির দ্বিতীয় স্তর তৈরি; (2) সাতটি সংযোগের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে এমন কিউবিটগুলির বিকাশ (ছয়টি বাস এবং একটি নিয়ন্ত্রণ লাইন); এবং (3) দীর্ঘ-পরিসরের কাপলারগুলির বিকাশ। এগুলি সবই সমাধান করা কঠিন কিন্তু অসম্ভব নয়। প্রথম চ্যালেঞ্জের জন্য, আমরা IBM Quantum Eagle প্রসেসরের জন্য তৈরি প্যাকেজিং [51] এ একটি ছোট পরিবর্তন কল্পনা করতে পারি [52]। সবচেয়ে সহজ হবে অতিরিক্ত বাসগুলি চিপের বিপরীত দিকে স্থাপন করা। এর জন্য সাবস্ট্রেট ভেদকারী উচ্চ Q বিকাশের প্রয়োজন হবে যা কাপলিং বাসগুলির অংশ হবে এবং সেই হিসাবে সাবস্ট্রেট ভেদকারীগুলি মাইক্রোওয়েভ প্রচার সমর্থন করতে পারে এবং একই সাথে বড় অবাঞ্ছিত ক্রসস্টক প্রবর্তন না করে তা নিশ্চিত করার জন্য নিবিড় মাইক্রোওয়েভ সিমুলেশন প্রয়োজন হবে। দ্বিতীয় চ্যালেঞ্জটি হল হেভি হেক্স ল্যাটিস ব্যবস্থার [53] থেকে কাপলারগুলির সংখ্যার একটি সম্প্রসারণ, যা চারটি (তিনটি কাপলার এবং একটি নিয়ন্ত্রণ) সাতটিতে। এর প্রভাব হল যে ক্রস-রেজোনেন্স গেট, যা গত কয়েক বছর ধরে বড় কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলিতে ব্যবহৃত মূল গেট হয়েছে, এটি অগ্রগামী পথ হবে না। ক্রস-রেজোনেন্স গেটগুলিতে কিউবিটগুলি টিউনযোগ্য নয় এবং তাই অনেক সংযোগ সহ একটি বড় ডিভাইসের জন্য শক্তির সংঘর্ষের সম্ভাবনা (কেবলমাত্র কিউবিট স্তরগুলি নয়, ট্রান্সমনগুলির উচ্চতর স্তরগুলিও) খুব দ্রুত একে ট্রিপল করে [54]। যাইহোক, IBM Quantum Egret-এ টিউনযোগ্য কাপলার [55,56] এবং এখন IBM Quantum Heron-এর জন্য বিকশিত হচ্ছে, এই সমস্যাটি আর বিদ্যমান নেই কারণ কিউবিট ফ্রিকোয়েন্সিগুলি আরও দূরে থাকতে পারে। এই নতুন গেটটি Google Quantum AI [57] দ্বারা ব্যবহৃত গেটগুলির সাথেও সাদৃশ্যপূর্ণ, যা দেখিয়েছে যে একটি বর্গাকার ল্যাটিস ব্যবস্থা সম্ভব। সাতটি সংযোগে কাপলিং ম্যাপ প্রসারিত করার জন্য উল্লেখযোগ্য মাইক্রোওয়েভ মডেলিং প্রয়োজন হবে; তবে, সাধারণ ট্রান্সমনগুলিতে প্রায় 60 fF ক্যাপাসিট্যান্স থাকে এবং প্রতিটি গেট প্রায় 5 fF উপযুক্ত কাপলিং শক্তি বাসগুলিতে সরবরাহ করার জন্য, তাই ট্রান্সমন কিউবিটগুলির দীর্ঘ সামঞ্জস্যের সময় এবং স্থায়িত্ব পরিবর্তন না করেই এই কাপলিং ম্যাপটি বিকাশ করা মৌলিকভাবে সম্ভব। চূড়ান্ত চ্যালেঞ্জটি সবচেয়ে কঠিন। বাসগুলির জন্য যেগুলি যথেষ্ট সংক্ষিপ্ত যে মৌলিক মোড ব্যবহার করা যেতে পারে, স্ট্যান্ডার্ড সার্কিট কোয়ান্টাম ইলেকট্রোডাইনামিক্স মডেলটি ধরে রাখে। তবে, 144-কিউবিট কোডটি প্রদর্শন করার জন্য কিছু বাস যথেষ্ট দীর্ঘ হবে যেগুলির জন্য ফ্রিকোয়েন্সি ইঞ্জিনিয়ারিং প্রয়োজন হবে। এটি অর্জনের একটি উপায় হল ফিল্টারিং রেজোনেটরগুলির সাথে, এবং একটি প্রুফ অফ প্রিন্সিপাল পরীক্ষা ref. [58] তে প্রদর্শিত হয়েছিল। সংক্ষেপে, আমরা একটি ছোট কিউবিট ওভারহেড সহ নিকট-মেয়াদী কোয়ান্টাম প্রসেসর ব্যবহার করে কীভাবে একটি ফল্ট-টলারেন্ট কোয়ান্টাম মেমরি অর্জন করা যেতে পারে সে সম্পর্কে একটি নতুন দৃষ্টিভঙ্গি সরবরাহ করি। যদিও এই LDPC কোডগুলি জ্যামিতিকভাবে স্থানীয় নয়, সিনড্রোম পরিমাপের জন্য প্রয়োজনীয় কিউবিট সংযোগ একটি পুরুত্ব-2 গ্রাফ দ্বারা বর্ণিত হয় যা দুটি প্ল্যানার ডিগ্রি-3 স্তর কিউবিট কাপলার ব্যবহার করে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিটগুলির উপর ভিত্তি করে প্ল্যাটফর্মগুলির জন্য একটি বৈধ স্থাপত্য সমাধান। সার্কিট-ভিত্তিক নয়েজ মডেলের জন্য সম্পাদিত সাংখ্যিক সিমুলেশনগুলি ইঙ্গিত দেয় যে প্রস্তাবিত LDPC কোডগুলি পরীক্ষামূলকভাবে প্রাসঙ্গিক ত্রুটি হারের পরিসরে p ≥ 0.1% এ সারফেস কোডের সাথে অনুকূলভাবে তুলনা করে, যা কিউবিট ওভারহেডে 10 গুণ হ্রাস সহ একই স্তরের ত্রুটি দমন সরবরাহ করে। এদিকে, আমাদের কোড উদাহরণগুলি বড় কোড দৈর্ঘ্যের সীমাতে উচ্চ এনকোডিং হার বজায় রেখে স্কেল আপ করা যেতে পারে কিনা তা এখনও অস্পষ্ট। পদ্ধতি কোড নির্মাণ আমরা BB কোডগুলির একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করি। ℓ × ℓ আকারের আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স এবং সাইক্লিক শিফট ম্যাট্রিক্স যথাক্রমে Iℓ এবং Sℓ কে বিবেচনা করুন। Sℓ এর i-তম সারিতে কলামের একটিতে একটি একক অশূন্য এন্ট্রি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন উল্লেখ্য যে xy = yx, xTx = yTy = Iℓm, এবং xℓ = ym = Iℓm। একটি BB কোড ম্যাট্রিক্সের একটি জোড়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স Ai এবং Bj হল x বা y এর একটি পাওয়ার। এখানে এবং নীচে বাইনারি ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং গুণ মডিউলো দুইয়ে সম্পাদিত হয়, যদি না অন্যথা বলা হয়। সুতরাং, আমরাCancelled পদগুলি এড়াতে Ai গুলি স্বতন্ত্র এবং Bj গুলি স্বতন্ত্র বলে ধরে নিই। উদাহরণস্বরূপ, A = x3 + y + y2 এবং B = y3 + x + x2 নির্বাচন করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে A এবং B প্রতিটি সারি এবং কলামে ঠিক তিনটি অশূন্য এন্ট্রি রয়েছে। তদুপরি, AB = BA কারণ xy = yx। উপরের ডেটা একটি BB কোয়ান্টাম কোড QC(A, B) সংজ্ঞায়িত করে যার দৈর্ঘ্য n = 2ℓm এবং চেক ম্যাট্রিক্স এখানে উল্লম্ব বার অনুভূমিকভাবে ম্যাট্রিক্সগুলি স্ট্যাক করা নির্দেশ করে এবং T ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজকে বোঝায়। HX এবং HZ উভয় ম্যাট্রিক্সের আকার (n/2) × n। HX এর প্রতিটি সারি Xi-type চেক অপারেটর সংজ্ঞা দেয়। HZ এর প্রতিটি সারি Zi-type চেক অপারেটর সংজ্ঞা দেয়। যেকোনো X এবং Z চেক একে অপরের সাথে কমিউট করে কারণ তারা জোড় সংখ্যক কিউবিটে ওভারল্যাপ করে (মনে রাখবেন যে )। নির্মাণ অনুসারে, QC(A, B) কোডের ওজন-6 চেক অপারেটর রয়েছে এবং প্রতিটি কিউবিট ছয়টি চেকের মধ্যে অংশ নেয় (তিনটি X-টাইপ প্লাস তিনটি Z-টাইপ চেক)। সেই অনুযায়ী, QC(A, B) কোডের একটি ডিগ্রি-6 ট্যানার গ্রাফ রয়েছে। আপনি A এবং B ম্যাট্রিক্সগুলিকে x এবং y চলকের উপর বাইভেরিয়েট পলিনোমিয়াল হিসাবে দেখতে পারেন। m = 1 এবং B = A^T এর ক্ষেত্রে BB কোডগুলি বিশেষায়িত করলে মূল বাইসাইকেল কোডগুলি [41] পাওয়া যায় যা ইউনিভেরিয়েট পলিনোমিয়ালের উপর ভিত্তি করে তৈরি। একইভাবে, BB কোডগুলি জেনারেলাইজড বাইসাইকেল কোড [35], দ্বি-ব্লক গ্রুপ-ভিত্তিক কোড [37,42] এবং পলিনোমিয়াল-ভিত্তিক কোড [59] এর বিশেষীকরণ। একটি বাইনারি ম্যাট্রিক্স M দেওয়া হলে, ℳ = {v | Mv = 0} দ্বারা প্রসারিত তার নালস্পেসকে সমস্ত বাইনারি ভেক্টর v দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন যাতে Mv = 0। rs(M) দ্বারা M এর সারি দ্বারা প্রসারিত সারি স্থানটি চিহ্নিত করুন। লেমা 1 QC(A, B) কোডের প্যারামিটার [[n, k, d]] রয়েছে, যেখানে কোডটি X-টাইপ এবং Z-টাইপ ত্রুটির জন্য সমান দূরত্ব সরবরাহ করে। প্রমাণ, প্রাথমিক রৈখিক বীজগণিতের উপর নির্ভর করে, পরিপূরক তথ্য বিভাগে স্থগিত করা হয়েছে। এক্সটেন্ডেড ডেটা টেবিল 1 টেবিল 1-এ উদাহরণগুলির পাশাপাশি উচ্চ-হার, উচ্চ-দূরত্বের BB কোডগুলির উদাহরণ তৈরি করে এমন পলিনোমিয়াল A এবং B বর্ণনা করে। এটি সমস্ত কোড যা আমাদের কাছে পরিচিত, সেগুলি নতুন। দূরত্ব-12 কোড [[144, 12, 12]] সম্ভবত নিকট-মেয়াদী প্রদর্শনের জন্য সবচেয়ে প্রতিশ্রুতিবদ্ধ, কারণ এটি বড় দূরত্ব এবং উচ্চ নেট এনকোডিং হার r = 1/24 কে একত্রিত করে। তুলনার জন্য, দূরত্ব-11 সারফেস কোডের একটি নেট এনকোডিং হার
