揭开极端轴子的面纱：一种用于宇宙学建模的新型流体方法 - 方法

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• 讨论和未来工作
• 结论
• 致谢和参考文献

2. 方法

为了模拟极端轴子的行为，我们修改了 axionCAMB，使其包含任意场势形状（在我们的例子中，是方程 1 中给出的形式的余弦），并重新配置了代码以对探测这些势所需的极端起始角度进行采样。我们还修改了振荡开始后轴子的有效声速，以反映由速子场动力学引起的结构增长。最后，我们实现了一个计算效率高的轴子背景流体演化的“查找表”，以加快扰动运动方程的计算。将极端轴子实现到 axionCAMB 中的细节如下 [2]。

2.1. 对 axionCAMB 的回顾

Hlozek et al. ˇ (2015) 详细描述了 axionCAMB 中轴子的数值处理，但我们在此以势不可挡的方式回顾轴子的动力学，以便为极端轴子的建模讨论做准备。理论上，模拟轴子暗物质动力学的最佳方法是模拟整个宇宙历史中场的行为，并从这些主要变量中推导出所有宇宙学参数。然而，由于该场演化包括后期极快振荡的时期，因此模拟这种演化在计算上是无法承受的，而且在数值上是不稳定的。相反，轴子场在早期是直接建模的，但在后期代码切换到简化的流体近似（Hlozek et al. ˇ 2015）。然后，在求解流体扰动（轴子密度扰动 δa 和轴子热通量 u）的运动方程时，可以调用这种分段背景演化，从而高效、稳定地计算最终的轴子功率谱。本文讨论了这种方法，它基于 Hu (1998) 和 Hlozek et al. ˇ (2015) 的讨论。

axionCAMB 多次运行这个早期的预振荡阶段，以确定产生所需最终轴子密度所需的轴子场的适当初始值，以及它可以在后期安全地切换回自由粒子 CDM 解决方案的时间。然后，它会动态地演化这些初始条件（使用 Runge-Kutta 积分器对场的运动方程进行积分，Runge 1895），直到场开始振荡，此时它会切换到已知的自由粒子解进行 DM 演化（Hlozek 等人 ˇ 2015）。

这导致了振荡开始后轴子扰动的一组新的运动方程：

这两个区域中的扰动运动方程可用于计算轴子扰动的演变，并对 MPS 或 CMB 等宇宙学可观测量做出预测。

2.2. 精细调整的初始条件

重构初始拍摄方法以指定场起始角，使我们能够以新的方式探测极端起始角的影响。我们可以指定任意接近π的起始角，以便查看这些极其精细调整的角度对其他可观测量的影响。此外，在执行MCMC分析时，将起始角作为自由参数允许我们在此起始角上施加任意先验。我们可以使用这些先验来测试任何约束对轴子起始角精细调整水平的依赖性。

2.3 早期振荡有效轴子声速的建模

为了了解非谐势对轴子流体声速的影响，我们首先求解轴子场扰动运动方程，

图 2 下方子图中以红色显示了流体声速的近似值。

为了在不改变扰动后期演变的情况下近似场方程中所示的轴子声速的提升，我们修改了原始轴子流体声速，使其在振荡开始后立即出现一个大的负尖峰。这个负三角形尖峰在图 2 的下方子图中以绿色显示。这个尖峰的宽度和高度经过拟合，以匹配从场扰动解计算出的近似声速。宽度 (C1) 拟合为轴子振荡开始和场解声速的渐近符号变化之间的比例因子 a 延迟。然后将该数值宽度近似为扰动比例因子 k 的幂律函数，线性依赖于振荡开始时的比例因子，而比例因子又依赖于轴子质量、分数和起始角度，

该方法的功率谱结果可以与文献进行比较，其中其他研究小组使用精确场扰动运动方程来计算极端轴子的物质功率谱，例如 Leong 等人 (2019)。在图 3 中，我们可以看到原始轴子和起始角偏离 π 0.2 度的极端轴子的物质功率谱比较，我们发现它们与 Leong 等人 (2019) 的结果非常接近一致。然而，当计算这些功率谱时，这种接近一致性似乎在 z = 0 时保持得最好，而更高的红移比较可能更加微妙。图 2 表明，虽然精确场解和新的近似流体解在很晚的时候一致，但它们在早期的演化并不完全等价，因此可能需要对这种近似进行更多的工作，以便与高红移可观测量进行比较。

2.4. 使用查找表对现场进行有效建模

将整个场的演化延长到振荡开始之后的很晚，需要的计算资源比在振荡开始时就结束场的演化要多得多。还需要更高的数值分辨率（无论是在时间和可能的场势尺度上）来整合这些快速振荡的变量。随着计算时间的增加，新版本的 axionCAMB 需要大约 70 秒才能完成。虽然这在计算单个功率谱结果时可能是可行的，但对于运行 MCMC 分析来说，这需要大量的计算，这可能需要对 axionCAMB 进行数万到数十万次单独的调用。

2.5. axionCAMB 变更摘要

为了使用 axionCAMB 中使用的计算效率高的场形式来对余弦场势中具有极端起始角的轴子进行建模，我们对 axionCAMB 引入了许多修改，这些修改如上所述，但在此进行了总结。

• 我们用任意势函数取代了场势的二次近似，当前设置为规范余弦势。

• 我们修改了有效轴子流体声速，以重现精确场扰动运动方程中看到的结构增长。

• 我们预先计算了轴子背景演化的查找表，这大大减少了运行时间。

结果是，对于任意轴子质量、密度和起始角度，极端轴子背景和扰动演化的精确建模仅需大约 7 秒即可运行。正如下文所述，这一强大的工具可以为这些极端轴子模型的行为和可检测性提供新的见解。

2.6. 数据：MPS 的 Ly-α 森林估计值

[2] axionCAMB 又基于宇宙玻尔兹曼代码 CAMB (Lewis & Bridle 2002)。

[4] 通过分析可以推导出背景场对数依赖性，从而对遗迹密度进行非谐波校正（Lyth 1992）。