希尔伯特方案的扩展：堆栈视角

经过 Eigenvector Initialization Publication3m2024/06/11

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本文改进了在曲面上退化“希尔伯特方案”（几何对象）的方法，探索了稳定性和与其他构造的联系。

作者：

（1）卡拉·查恩斯。

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5. 堆栈视角

5.1 堆积和稳定条件

在我们将扩展退化描述为堆栈之前，我们先评论一下堆栈在这个问题中的作用以及第 5.3 节中定义的稳定性条件。

基数变化。我们的目标是将点的希尔伯特方案的退化构造为良好的模空间。在命题 6.1.2 和 6.1.4 的证明中，我们将使用价值标准来证明通用闭包和分离性。我们将看到，这个论证只在基数变化时成立，这就是为什么我们必须使用堆栈而不是方案。

因此，在以下章节中，当研究商栈时，我们将要考虑 GIT 稳定稳定轨迹的子轨迹，该轨迹仅包含长度为 m 的零维子方案，这些方案在给定的 X[n] 纤维中得到平滑支持。构建一个紧化，其中极限由平滑支持的子方案表示，这对于未来的应用也很有用，因为它允许我们将奇异曲面上 m 个点的希尔伯特方案问题分解为平滑分量上少于 m 个点的希尔伯特方案的乘积。

定义 5.1.1.如果某个扩展退化 X[n] 中的某个纤维恰好有 k 个基方向消失，则我们称该纤维的基余维数为 k。这与 n 的值无关。

使扩展的退化足够大。最后，如果我们构造一个唯一的 GIT 商，其中并非所有极限子方案都得到平滑支持，那么仅包含具有奇异支持的子方案的轨道闭包给出的极限将不会位于预期基余维数的纤维中。这给人一种直觉，即我们选择的退化太小。话虽如此，如果我们试图做的只是以一种保留空间某些良好属性的方式解决奇点，那么考虑这个 GIT 商会很有用，例如在为 K3 曲面上的点的希尔伯特方案的 III 型退化构建最小模型的背景下。

5.2 烟囱扩建工程

5.3 稳定性条件。

我们注意到，由于 X[n] 纤维的光滑轨迹是 G 不变的，将函子限制到该轨迹上可保持 G 不变性。因此，将半稳定和稳定轨迹限制到光滑支撑子方案的轨迹上可产生 G 不变开子方案。

我们有以下内容：

Li-Wu 稳定性。我们在此回顾 [LW15] 中使用的稳定性概念，以便将其与 GIT 稳定性进行比较，并为这种情况构建适当的稳定性条件。

修正的 GIT 稳定性。如上所述，我们只希望长度为 m 的零维子方案在它们的支撑位于纤维的平滑轨迹中时是稳定的。然而，将 GIT 稳定性条件限制到这个轨迹使得稳定子方案的空间不再是普遍封闭的。事实上，没有一个 GIT 条件可以将所有期望的长度为 m 的零维子方案表示为平滑支撑的子方案。因此，我们必须定义一个修正的 GIT 稳定性条件，将几个 GIT 稳定性条件拼凑在一起以获得所需的稳定轨迹。