希尔伯特方案的扩展：热带视角的背景

链接表

• 摘要和简介
• 热带视角的背景
• 扩建工程
• 胃肠道稳定性
• 堆栈视角
• 规范模量堆栈
• 参考

2. 热带视角的背景

我们在此简要介绍本问题背景下的热带几何和对数几何语言。有关本节内容的更多详细信息，请参阅文章 [Log]、讲义 [Ran22a] 以及 [MR20] 的第一部分。

2.1 热带化和扩张

热带化的细分定义了 X 的扩展。接下来，我们将研究方案 X 围绕除数 D 的可能的双有理修改。在热带语言中，这些表示为细分。

热带化的细分以以下方式定义 X 的双有理修改。细分

2.2 Maulik-Ranganathan 构造

我们将简要回顾 [MR20] 的一些要点。他们的工作目的是研究横向与边界除数相交的固定数值类型的理想层模空间。研究此类对象的一些关键动机来自枚举几何。例如，解决给定光滑簇中曲线计数问题的常用方法是将该簇退化为更简单的不可约分量的奇异并集。横向性对于确保理想层在退化对象上的所有有趣行为都发生在更简单的不可约分量内部的支持下至关重要，这使我们能够更轻松地研究它。这种方法的主要困难之一是，通常（就像在这种情况下一样），相对于 D 的横向理想层空间是非紧致的。构建适当的紧化将产生一个在 C 上平坦且适当的空间。在 [MR20] 中，Maulik 和 Ranganathan 制定了对 (X, D) 的 Donaldson-Thomas 理论，首先构建了 X 中横向于 D 的理想层空间的紧化。

我们专门针对这里感兴趣的情况讨论 [MR20]，即如上所述的退化 X ! C，其中我们试图研究具有固定常数希尔伯特多项式 m 的理想层模空间，其中 m ∈ N 相对于边界因子 D = X0。关键思想是构建 X 的热带化，表示为 ΣX ，以及相应的热带化映射，用于理解如何在紧化中获得所需的横向性。

横向极限的存在性和唯一性。Maulik 和 Ranganathan 引入了维度横向性和强横向性的概念，在点的希尔伯特方案的具体情况下，它们恰好等同于 Li-Wu 稳定性（有关此稳定性条件的定义，请参阅第 5.3 节）。然而，对于更高维度的子方案，一般情况并非如此。

此操作会导致非唯一性，因为我们正在选择多面体细分，而通常没有规范的选择。

在热带化中增加这些管顶点意味着每次展开中都有更多的潜在分量，这会干扰先前设置的唯一性结果。事实上，回想一下，trop(Z ◦ ) 为我们提供了对偶复形中恰好正确的顶点数，以便每个子方案系列 Z ◦ ⊂ X◦ 都有唯一的极限代表。因此，为了反映这一点，Donaldson-Thomas 稳定性要求子方案是 DT 稳定的，当且仅当它们是精确沿着管分量的管方案。如果一维子方案是 D 中零维子方案的示意原像，我们称其为管。在点的希尔伯特方案的情况下，此条件将简单地转化为零维子方案 Z 是 DT 稳定的，当且仅当没有管分量包含 Z 的支撑点，并且通过我们的放大展开的每个其他不可约分量至少包含一个 Z 的支撑点。

Maulik 和 Ranganathan 定义一个子方案为稳定方案，如果它是强横向的

并且 DT 稳定。对于固定的数值不变量，扩展空间中稳定子方案的子堆栈形成 C 上的 Deligne-Mumford、适当的、有限型分离堆栈。

与本文的结果进行比较。我们在本文中提出的构造具有令人惊讶的特性，即我们不需要将任何组件标记为管，以便我们定义的稳定对象堆栈是正确的。这是我们扩展退化中包含的特定爆炸选择的产物。Maulik 和 Ranganathan 的工作向我们表明，这通常不是预期的。如第 1.3 节所述，我们将在即将发表的论文中讨论如何在做出不同扩展选择的情况下构建适当的稳定对象堆栈，并且我们也需要引入 Donaldson-Thomas 稳定性条件。