任意维汉密尔顿系统线性稳定性的组合：简介

链接表

• 抽象的
• 介绍
• 准备工作
• B 签名
• GIT 序列：低维度
• GIT 序列：任意维度
• 附录 A. 稳定性、Krein–Moser 定理以及改进和参考文献

1. 简介

周期轨道的稳定性是哈密顿系统研究的核心课题，可以追溯到天体力学中太阳系的稳定性问题。稳定性概念在微分方程研究中无处不在，每当研究轨道族及其分叉时就会出现稳定性概念，这一实践既有理论意义，也有实践意义。例如，从太空任务设计的角度来看，用于将航天器停在目标月球周围的轨道应尽可能稳定，以尽量减少燃料修正和位置保持。从数学的角度来看，系统稳定性的关键概念有三种，它们与以下含义相关：

非线性（Lyapunov）稳定性⇒线性稳定性⇒谱稳定性。

非线性稳定性，粗略地说，意味着从给定周期轨道附近开始的轨迹始终保持在轨道附近。线性稳定性对应于线性化动力学的原点稳定性，即线性化系统的轨道应保持有界。对于汉密尔顿系统，这意味着相应轨道的单值化矩阵的特征值应位于单位圆内，并且是半简单的。另一方面，谱稳定性要求特征值全部位于单位圆内，但允许它们具有多重性（以便轨道可以在多项式时间内逃逸到无穷大，而不是指数级）。在本文中，我们将重点介绍线性稳定性的概念。

在对称性存在的情况下，对对称性所保持的周期轨道的线性稳定性的研究可以得到显著改进。为此，第一作者和 Urs Frauenfelder 在 [FM] 中引入了 GIT 序列的概念，作为 Broucke 稳定性图 [Br69] 的改进，通过 B 签名的概念。GIT 序列由三个空间和它们之间的映射组成，其拓扑编码了周期轨道的稳定性和分叉，以及它们的特征值配置，并为轨道规则圆柱体的存在提供了障碍。在低维中，空间可以在平面或三维空间中可视化，这使得它们适合进行数值工作。我们应该注意，虽然 GIT 序列旨在研究线性稳定性，但它模糊了它与谱稳定性的区别。

事实上，回想一下，克莱因-莫泽定理给出了克莱因分叉可能发生的判据（即单值化矩阵的两个椭圆特征值相聚，然后从圆中分叉出来）。我们的改进为两个双曲特征值在重数为 2 的双曲特征值处相聚然后变为复数的情况给出了类似的判据，但针对的是对称轨道的情况。我们将这种转变称为 HN 转变，将高重数特征值称为过渡特征值。这种转变是否可能发生完全由过渡特征值的 B 特征决定。也就是说，以下结果是我们对辛群进行拓扑研究的结果。

定理 A.考虑一个具有任意自由度的哈密顿量，承认对称性。设 t 7→ γt ，t ∈ [0, 1]，是一族对称周期轨道，经历 HN 跃迁。则跃迁特征值的 B 签名是不确定的。

B签名的定义将在第3节中给出，并在附录A中给出该定理的证明。

致谢。作者感谢 Urs Frauenfelder，他的想法启发了本文。A. Moreno 目前得到了 Sonderforschungsbereich TRR 191 几何、代数和动力学中的辛普莱克结构的支持，该研究由 DFG 资助（项目编号 281071066 - TRR 191），同时也得到了德国卓越战略 EXC 2181/1 - 390900948（海德堡结构卓越集群）下 DFG 的支持。