Комбинаторика линейной устойчивости гамильтоновых систем произвольной размерности. Введение.

Таблица ссылок

• Абстрактный
• Введение
• Предварительные сведения
• B-подпись
• Последовательность GIT: малые размеры
• Последовательность GIT: произвольное измерение
• Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

1. Введение

Устойчивость периодических орбит — центральная тема в изучении гамильтоновых систем, восходящая к проблеме устойчивости Солнечной системы в небесной механике. Понятие устойчивости, повсеместно встречающееся при изучении ОДУ, возникает всякий раз, когда изучаются орбиты в семействах и их бифуркации, практика, которая представляет как теоретический, так и практический интерес. Например, с точки зрения проектирования космических миссий орбиты, используемые для стоянки космического корабля вокруг целевой Луны, должны быть как можно более стабильными, чтобы свести к минимуму поправки на топливо и поддержание станции. С математической точки зрения ключевые понятия стабильности системы делятся на три разновидности, связанные следующими последствиями:

Нелинейная (Ляпуновская) устойчивость ⇒ линейная устойчивость ⇒ спектральная устойчивость.

Нелинейная устойчивость, грубо говоря, означает, что траектории, начинающиеся вблизи данной периодической орбиты, остаются вблизи этой орбиты все время. Линейная устойчивость соответствует устойчивости начала координат линеаризованной динамики, т.е. орбиты линеаризованной системы должны оставаться ограниченными. Для гамильтоновой системы это означает, что собственные значения матрицы монодромии соответствующей орбиты должны лежать в единичной окружности и быть полупростыми. Спектральная стабильность, с другой стороны, требует, чтобы все собственные значения лежали в единичном круге, но позволяет им иметь кратность (чтобы орбиты могли уходить в бесконечность за полиномиальное, а не экспоненциальное время). В этой статье мы сосредоточимся на понятии линейной устойчивости.

При наличии симметрии исследование линейной устойчивости периодических орбит, сохраняющих симметрию, может быть существенно уточнено. С этой целью первый автор и Урс Фрауэнфельдер ввели в [FM] понятие последовательности GIT как уточнение диаграммы устойчивости Брука [Br69] через понятие B-сигнатуры. Последовательность GIT состоит из последовательности трех пространств и отображений между ними, топология которых кодирует устойчивость и бифуркации периодических орбит, а также их конфигурации собственных значений и создает препятствия для существования регулярного цилиндра орбит. В малых измерениях пространства можно визуализировать на плоскости или в трехмерном пространстве, что делает их пригодными для численной работы. Следует отметить, что, хотя последовательность GIT предназначена для изучения линейной устойчивости, она стирает ее различие со спектральной стабильностью.

Действительно, вспомните, что теорема Крейна–Мозера дает критерий того, когда может произойти биуркация Крейна (т. е. два эллиптических собственных значения матрицы монодромии собираются вместе, а затем выходят из круга). Наше уточнение дает аналогичный критерий для ситуации, когда два гиперболических собственных значения встречаются при гиперболическом собственном значении кратности два и затем становятся комплексными, но для случая симметричных орбит. Такой переход мы называем HN-переходом, а собственное значение большой кратности — транзитным собственным значением. Возможен ли такой переход или нет, полностью определяется B-сигнатурой собственного значения транзита. А именно, следующий результат является следствием наших топологических исследований симплектической группы.

Теорема А. Рассмотрим гамильтониан с произвольными степенями свободы, допускающий симметрию. Пусть t 7→ γt , t ∈ [0, 1], — семейство симметричных периодических орбит, испытывающее HN -переход. Тогда B-сигнатура транзитного собственного значения неопределенна.

Определение B-сигнатуры будет дано в разделе 3, а доказательство этой теоремы получено в Приложении А.

Благодарности . Авторы благодарны Урсу Фрауэнфельдеру, идеи которого послужили вдохновением для написания данной статьи. В настоящее время А. Морено поддерживается Sonderforschungsbereich TRR 191 «Симплектические структуры в геометрии, алгебре и динамике», финансируемым DFG (номер проекта 281071066 – TRR 191), а также DFG в рамках Стратегии совершенствования Германии EXC 2181/1 - 390900948 (Гейдельбергский университет). СТРУКТУРЫ Excellence Cluster).