Tác giả: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Tóm tắt Sự tích lũy các lỗi vật lý , , ngăn cản việc thực hiện các thuật toán quy mô lớn trên các máy tính lượng tử hiện tại. Sửa lỗi lượng tử hứa hẹn một giải pháp bằng cách mã hóa qubit logic thành một số lớn hơn qubit vật lý, sao cho các lỗi vật lý được triệt tiêu đủ để cho phép chạy một phép tính mong muốn với độ trung thực chấp nhận được. Sửa lỗi lượng tử trở nên khả thi về mặt thực tế khi tốc độ lỗi vật lý dưới một giá trị ngưỡng phụ thuộc vào lựa chọn mã lượng tử, mạch đo lường tín hiệu và thuật toán giải mã . Chúng tôi trình bày một giao thức sửa lỗi lượng tử đầu cuối thực hiện bộ nhớ chịu lỗi dựa trên một họ mã kiểm tra chẵn mật độ thấp (low-density parity-check codes) . Phương pháp của chúng tôi đạt được ngưỡng lỗi 0,7% cho mô hình nhiễu dựa trên mạch tiêu chuẩn, ngang bằng với mã bề mặt (surface code) , , , trong 20 năm qua là mã dẫn đầu về ngưỡng lỗi. Chu kỳ đo lường tín hiệu cho mã có độ dài trong họ của chúng tôi yêu cầu qubit phụ và mạch sâu 8 với các cổng CNOT, khởi tạo qubit và đo lường. Kết nối qubit cần thiết là một đồ thị có bậc 6 bao gồm hai đồ thị con phẳng không trùng cạnh. Đặc biệt, chúng tôi cho thấy 12 qubit logic có thể được bảo tồn trong gần 1 triệu chu kỳ tín hiệu bằng cách sử dụng tổng cộng 288 qubit vật lý, giả sử tốc độ lỗi vật lý là 0,1%, trong khi mã bề mặt sẽ yêu cầu gần 3.000 qubit vật lý để đạt được hiệu suất đó. Phát hiện của chúng tôi đưa việc trình diễn bộ nhớ lượng tử chịu lỗi với chi phí thấp đến tầm tay của các bộ xử lý lượng tử gần kỳ. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Chính Máy tính lượng tử thu hút sự chú ý nhờ khả năng cung cấp các giải pháp nhanh hơn về mặt tiệm cận cho một tập hợp các vấn đề tính toán so với các thuật toán cổ điển tốt nhất đã biết . Người ta tin rằng một máy tính lượng tử có thể mở rộng chức năng có thể giúp giải quyết các vấn đề tính toán trong các lĩnh vực như khám phá khoa học, nghiên cứu vật liệu, hóa học và thiết kế thuốc, và nhiều lĩnh vực khác , , , . 5 11 12 13 14 Trở ngại chính trong việc xây dựng máy tính lượng tử là sự mong manh của thông tin lượng tử, do nhiều nguồn nhiễu khác nhau ảnh hưởng đến nó. Khi việc cô lập máy tính lượng tử khỏi các hiệu ứng bên ngoài và kiểm soát nó để thực hiện một phép tính mong muốn mâu thuẫn với nhau, nhiễu dường như là không thể tránh khỏi. Các nguồn nhiễu bao gồm các lỗi trong qubit, vật liệu sử dụng, thiết bị điều khiển, lỗi chuẩn bị trạng thái và đo lường, và nhiều yếu tố bên ngoài khác nhau, từ các yếu tố nhân tạo cục bộ, như trường điện từ tán xạ, đến các yếu tố vốn có của Vũ trụ, như tia vũ trụ. Xem tài liệu tham khảo để biết tóm tắt. Trong khi một số nguồn nhiễu có thể được loại bỏ bằng cách kiểm soát tốt hơn , vật liệu và che chắn , , , một số nguồn khác dường như khó có thể loại bỏ được. Loại cuối cùng có thể bao gồm phát xạ tự phát và kích thích trong các ion bị bẫy , , và tương tác với môi trường (hiệu ứng Purcell) trong các mạch siêu dẫn — bao gồm cả hai công nghệ lượng tử hàng đầu. Do đó, sửa lỗi trở thành một yêu cầu quan trọng để xây dựng một máy tính lượng tử có thể mở rộng chức năng. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Khả năng chịu lỗi lượng tử đã được thiết lập tốt . Mã hóa một qubit logic một cách dư thừa thành nhiều qubit vật lý cho phép chẩn đoán và sửa lỗi bằng cách đo lường lặp đi lặp lại các tín hiệu của các toán tử kiểm tra chẵn. Tuy nhiên, sửa lỗi chỉ có lợi nếu tốc độ lỗi phần cứng dưới một giá trị ngưỡng nhất định phụ thuộc vào một giao thức sửa lỗi cụ thể. Các đề xuất đầu tiên về sửa lỗi lượng tử, chẳng hạn như mã ghép nối (concatenated codes) , , , tập trung vào việc chứng minh khả năng triệt tiêu lỗi về mặt lý thuyết. Khi hiểu biết về sửa lỗi lượng tử và khả năng của công nghệ lượng tử trưởng thành, trọng tâm chuyển sang tìm kiếm các giao thức sửa lỗi lượng tử thực tế. Điều này dẫn đến việc phát triển mã bề mặt (surface code) , , , cung cấp ngưỡng lỗi cao gần 1%, các thuật toán giải mã nhanh và khả năng tương thích với các bộ xử lý lượng tử hiện có dựa trên kết nối qubit lưới 2D (hai chiều). Các ví dụ nhỏ về mã bề mặt với một qubit logic duy nhất đã được một số nhóm chứng minh bằng thực nghiệm , , , , . Tuy nhiên, việc mở rộng quy mô mã bề mặt lên 100 qubit logic trở lên sẽ tốn kém một cách không khả thi do hiệu quả mã hóa kém. Điều này thúc đẩy sự quan tâm đến các mã lượng tử tổng quát hơn được gọi là mã kiểm tra chẵn mật độ thấp (low-density parity-check - LDPC) . Tiến bộ gần đây trong nghiên cứu mã LDPC cho thấy chúng có thể đạt được khả năng chịu lỗi lượng tử với hiệu quả mã hóa cao hơn nhiều . Ở đây, chúng tôi tập trung vào nghiên cứu mã LDPC, vì mục tiêu của chúng tôi là tìm kiếm các mã và giao thức sửa lỗi lượng tử vừa hiệu quả vừa có thể chứng minh được trong thực tế, với những hạn chế của công nghệ tính toán lượng tử. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Một mã sửa lỗi lượng tử thuộc loại LDPC nếu mỗi toán tử kiểm tra của mã chỉ tác động lên một vài qubit và mỗi qubit tham gia vào một vài lần kiểm tra. Nhiều biến thể của mã LDPC đã được đề xuất gần đây bao gồm mã bề mặt hyperbolic , , , tích siêu đồ thị (hypergraph product) , mã tích cân bằng (balanced product codes) , mã hai khối dựa trên nhóm hữu hạn , , , và mã Tanner lượng tử (quantum Tanner codes) , . Mã sau đã được chứng minh , là ‘tốt’ về mặt tiệm cận theo nghĩa cung cấp tốc độ mã hóa không đổi và khoảng cách tuyến tính: một tham số định lượng số lỗi có thể sửa được. Ngược lại, mã bề mặt có tốc độ mã hóa tiệm cận bằng không và chỉ có khoảng cách dạng căn bậc hai. Thay thế mã bề mặt bằng mã LDPC có tốc độ cao, khoảng cách lớn có thể có những tác động thực tế lớn. Thứ nhất, chi phí chịu lỗi (tỷ lệ giữa số qubit vật lý và logic) có thể giảm đáng kể. Thứ hai, mã có khoảng cách lớn thể hiện sự giảm rất nhanh về tốc độ lỗi logic: khi xác suất lỗi vật lý vượt qua giá trị ngưỡng, mức độ triệt tiêu lỗi đạt được bởi mã có thể tăng lên hàng bậc độ lớn ngay cả với một sự giảm nhỏ về tốc độ lỗi vật lý. Đặc điểm này làm cho mã LDPC có khoảng cách lớn trở nên hấp dẫn cho các trình diễn gần kỳ có khả năng hoạt động trong chế độ gần ngưỡng. Tuy nhiên, trước đây người ta tin rằng việc vượt trội mã bề mặt đối với các mô hình nhiễu thực tế bao gồm lỗi bộ nhớ, cổng và lỗi chuẩn bị trạng thái và đo lường có thể yêu cầu mã LDPC rất lớn với hơn 10.000 qubit vật lý . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ở đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ cụ thể về mã LDPC tốc độ cao với vài trăm qubit vật lý được trang bị mạch đo lường tín hiệu có độ sâu thấp, một thuật toán giải mã hiệu quả và một giao thức chịu lỗi để xử lý các qubit logic riêng lẻ. Các mã này thể hiện ngưỡng lỗi gần 0,7%, thể hiện hiệu suất tuyệt vời trong chế độ gần ngưỡng và mang lại mức giảm gấp 10 lần chi phí mã hóa so với mã bề mặt. Yêu cầu phần cứng để thực hiện các giao thức sửa lỗi của chúng tôi tương đối nhẹ nhàng, vì mỗi qubit vật lý được kết nối bằng các cổng hai qubit với chỉ sáu qubit khác. Mặc dù đồ thị kết nối qubit không thể nhúng cục bộ vào lưới 2D, nó có thể được phân tách thành hai đồ thị con phẳng. Như chúng tôi lập luận dưới đây, kết nối qubit như vậy rất phù hợp với các kiến trúc dựa trên qubit siêu dẫn. Mã của chúng tôi là sự khái quát hóa của mã xe đạp (bicycle codes) do MacKay và cộng sự đề xuất và được nghiên cứu sâu hơn trong các tài liệu tham khảo , , . Chúng tôi đặt tên mã của mình là hai biến (bivariate bicycle - BB) vì chúng dựa trên các đa thức hai biến, như chi tiết trong . Đây là các mã ổn định hóa (stabilizer codes) loại Calderbank–Shor–Steane (CSS) , có thể được mô tả bằng một tập hợp các toán tử kiểm tra sáu qubit (ổn định hóa) bao gồm các toán tử Pauli và . Ở mức độ cao, mã BB tương tự như mã Toric 2D . Đặc biệt, các qubit vật lý của mã BB có thể được bố trí trên một lưới 2D với các điều kiện biên tuần hoàn sao cho tất cả các toán tử kiểm tra đều thu được từ một cặp kiểm tra và bằng cách áp dụng các dịch chuyển ngang và dọc của lưới. Tuy nhiên, trái ngược với các toán tử ổn định hóa plaquette và đỉnh mô tả mã Toric, các toán tử kiểm tra của mã BB không cục bộ về mặt hình học. Hơn nữa, mỗi kiểm tra tác động lên sáu qubit thay vì bốn qubit. Chúng tôi sẽ mô tả mã bằng một đồ thị Tanner sao cho mỗi đỉnh của biểu thị một qubit dữ liệu hoặc một toán tử kiểm tra. Một đỉnh kiểm tra và một đỉnh dữ liệu được nối với nhau bằng một cạnh nếu toán tử kiểm tra thứ tác động không tầm thường lên qubit dữ liệu thứ (bằng cách áp dụng Pauli hoặc ). Xem Hình để biết ví dụ về đồ thị Tanner của mã bề mặt và mã BB, tương ứng. Đồ thị Tanner của bất kỳ mã BB nào có bậc đỉnh là sáu và độ dày đồ thị bằng hai, có nghĩa là nó có thể được phân tách thành hai đồ thị con phẳng không trùng cạnh ( ). Kết nối qubit có độ dày 2 rất phù hợp với các qubit siêu dẫn được kết nối bằng bộ cộng hưởng vi sóng. Ví dụ, hai lớp phẳng của bộ ghép nối và các đường điều khiển của chúng có thể được gắn vào mặt trên và mặt dưới của chip chứa qubit, và hai mặt này được ghép nối. 41 35 36 42 Phương pháp 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Phương pháp , Đồ thị Tanner của mã bề mặt, để so sánh. , Đồ thị Tanner của mã BB với các tham số [[144, 12, 12]] được nhúng vào một torus. Bất kỳ cạnh nào của đồ thị Tanner đều nối một đỉnh dữ liệu và một đỉnh kiểm tra. Các qubit dữ liệu liên quan đến các thanh ghi ( ) và ( ) được hiển thị bằng các vòng tròn màu xanh lam và màu cam. Mỗi đỉnh có sáu cạnh liền kề bao gồm bốn cạnh tầm ngắn (hướng lên, xuống, sang trái và sang phải) và hai cạnh tầm xa. Chúng tôi chỉ hiển thị một vài cạnh tầm xa để tránh làm rối mắt. Các cạnh đứt nét và liền nét chỉ hai đồ thị con phẳng bao phủ đồ thị Tanner, xem . , Phác thảo phần mở rộng đồ thị Tanner để đo và theo tài liệu tham khảo , gắn vào mã bề mặt. Qubit phụ tương ứng với phép đo có thể được kết nối với mã bề mặt, cho phép các phép toán tải-lưu trữ cho tất cả các qubit logic bằng phương tiện truyền lượng tử và một số đơn vị logic. Đồ thị Tanner mở rộng này cũng có một triển khai trong kiến trúc có độ dày 2 thông qua các cạnh A và B ( ). a b q L q R Phương pháp c 50 Phương pháp Một mã BB với các tham số [[ , , ]] mã hóa qubit logic thành qubit dữ liệu cung cấp khoảng cách mã , nghĩa là bất kỳ lỗi logic nào cũng bao phủ ít nhất qubit dữ liệu. Chúng tôi chia qubit dữ liệu thành các thanh ghi ( ) và ( ) kích thước /2 mỗi thanh ghi. Bất kỳ kiểm tra nào cũng tác động lên ba qubit từ ( ) và ba qubit từ ( ). Mã dựa vào qubit kiểm tra phụ để đo lường tín hiệu lỗi. Chúng tôi chia qubit kiểm tra thành các thanh ghi ( ) và ( ) kích thước /2 thu thập tín hiệu loại và , tương ứng. Tổng cộng, việc mã hóa dựa trên 2 qubit vật lý. Do đó, tốc độ mã hóa thực tế là = /(2 ). Ví dụ, kiến trúc mã bề mặt tiêu chuẩn mã hóa = 1 qubit logic thành = 2 qubit dữ liệu cho mã có khoảng cách và sử dụng − 1 qubit kiểm tra để đo lường tín hiệu. Tốc độ mã hóa thực tế là ≈ 1/(2 2), điều này nhanh chóng trở nên không thực tế khi người ta buộc phải chọn khoảng cách mã lớn, do, ví dụ, lỗi vật lý gần với giá trị ngưỡng. Ngược lại, mã BB có tốc độ mã hóa ≫ 1/ 2, xem Bảng cho các ví dụ mã. Theo hiểu biết tốt nhất của chúng tôi, tất cả các mã được hiển thị trong Bảng đều mới. Mã có khoảng cách 12 [[144, 12, 12]] có lẽ là hứa hẹn nhất cho các trình diễn gần kỳ, vì nó kết hợp khoảng cách lớn và tốc độ mã hóa thực tế cao = 1/24. Để so sánh, mã bề mặt có khoảng cách 11 có tốc độ mã hóa thực tế = 1/241. Dưới đây, chúng tôi cho thấy mã BB có khoảng cách 12 vượt trội hơn mã bề mặt có khoảng cách 11 đối với phạm vi tốc độ lỗi có liên quan đến thực nghiệm. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Để ngăn chặn sự tích lũy lỗi, người ta phải có khả năng đo lường tín hiệu lỗi đủ thường xuyên. Điều này được thực hiện bằng một mạch đo lường tín hiệu ghép nối các qubit dữ liệu trong phạm vi của mỗi toán tử kiểm tra với qubit phụ tương ứng bằng một chuỗi các cổng CNOT. Sau đó, các qubit kiểm tra được đo lường, tiết lộ giá trị của tín hiệu lỗi. Thời gian để thực hiện mạch đo lường tín hiệu tỷ lệ với độ sâu của nó: số lớp cổng bao gồm các cổng CNOT không chồng lấn. Khi các lỗi mới tiếp tục xảy ra trong khi mạch đo lường tín hiệu đang được thực hiện, độ sâu của nó nên được giảm thiểu. Chu kỳ đo lường tín hiệu đầy đủ cho một mã BB được minh họa trong Hình . Chu kỳ tín hiệu chỉ yêu cầu bảy lớp cổng CNOT bất kể độ dài mã. Các qubit kiểm tra được khởi tạo và đo lường ở đầu và cuối chu kỳ tín hiệu tương ứng (xem để biết chi tiết). Mạch tôn trọng đối xứng dịch chuyển tuần hoàn của mã cơ bản. 2 Phương pháp Chu kỳ đầy đủ các phép đo tín hiệu dựa trên bảy lớp cổng CNOT. Chúng tôi cung cấp một cái nhìn cục bộ về mạch chỉ bao gồm một qubit dữ liệu từ mỗi thanh ghi ( ) và ( ). Mạch đối xứng với các dịch chuyển ngang và dọc của đồ thị Tanner. Mỗi qubit dữ liệu được kết nối bằng các cổng CNOT với ba *X-*qubit kiểm tra và ba *Z-*qubit kiểm tra: xem để biết thêm chi tiết. q L q R Phương pháp Giao thức sửa lỗi đầy đủ thực hiện c ≫ 1 chu kỳ đo lường tín hiệu và sau đó gọi một bộ giải mã: một thuật toán cổ điển nhận tín hiệu đo được làm đầu vào và đưa ra dự đoán về lỗi cuối cùng trên các qubit dữ liệu. Sửa lỗi thành công nếu lỗi được đoán và lỗi thực tế trùng khớp theo modulo của tích các toán tử kiểm tra. Trong trường hợp này, hai lỗi có tác động giống nhau lên bất kỳ trạng thái (logic) được mã hóa nào. Do đó, áp dụng nghịch đảo của lỗi được đoán sẽ trả các qubit dữ liệu về trạng thái logic ban đầu. Ngược lại, nếu lỗi được đoán và lỗi thực tế khác nhau bởi một toán tử logic không tầm thường, việc sửa lỗi sẽ thất bại dẫn đến lỗi logic. Các thí nghiệm số của chúng tôi dựa trên thuật toán lan truyền xác suất (belief propagation) với bộ giải mã thống kê có thứ tự (BP-OSD) do Panteleev và Kalachev đề xuất . Công trình gốc mô tả BP-OSD trong bối cảnh một mô hình nhiễu đồ chơi chỉ có lỗi bộ nhớ. Ở đây, chúng tôi cho thấy cách mở rộng BP-OSD cho mô hình nhiễu dựa trên mạch, xem để biết chi tiết. Phương pháp của chúng tôi tuân theo chặt chẽ các tài liệu tham khảo , , , . N 36 36 Thông tin bổ sung 45 46 47 48 Một phiên bản nhiễu của mạch đo lường tín hiệu có thể bao gồm nhiều loại hoạt động bị lỗi như lỗi bộ nhớ trên qubit dữ liệu hoặc kiểm tra không hoạt động, cổng CNOT bị lỗi, khởi tạo và đo lường qubit. Chúng tôi xem xét mô hình nhiễu dựa trên mạch trong đó mỗi hoạt động thất bại độc lập với xác suất . Xác suất lỗi logic L phụ thuộc vào tốc độ lỗi , chi tiết của mạch đo lường tín hiệu và thuật toán giải mã. Gọi L( c) là xác suất lỗi logic sau khi thực hiện 10 p p p P N
