Keyfi boyutta Hamilton sistemleri için doğrusal kararlılığın kombinatoriği: Giriş

Bağlantı Tablosu

• Soyut
• giriiş
• Ön Hazırlıklar
• B imzası
• GIT dizisi: düşük boyutlar
• GIT dizisi: keyfi boyut
• Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi, iyileştirmeler ve Referanslar

1. Giriş

Periyodik yörüngelerin kararlılığı, Hamilton sistemlerinin incelenmesinde, gök mekaniğindeki güneş sisteminin kararlılığı problemine kadar uzanan merkezi bir konudur. ODE'lerin incelenmesinde her yerde bulunan kararlılık kavramı, ailelerdeki yörüngeler ve bunların çatallanmaları incelendiğinde ortaya çıkar; bu, hem teorik hem de pratik ilgiyi gerektiren bir uygulamadır. Örneğin, uzay görevi tasarımı açısından bakıldığında, yakıt düzeltmelerini ve istasyon tutmayı en aza indirmek için, bir uzay aracını hedef Ay'ın etrafına park etmek için kullanılan yörüngeler mümkün olduğu kadar sabit olmalıdır. Matematiksel bir bakış açısından, bir sistemin kararlılığına ilişkin temel kavramlar, aşağıdaki çıkarımlarla ilişkili üç farklı şekilde ortaya çıkar:

Doğrusal olmayan (Lyapunov) kararlılık ⇒ doğrusal kararlılık ⇒ spektral kararlılık.

Doğrusal olmayan kararlılık, kabaca söylemek gerekirse, belirli bir periyodik yörüngenin yakınında başlayan yörüngelerin her zaman yörüngeye yakın kalması anlamına gelir. Doğrusal kararlılık, doğrusallaştırılmış dinamikler için orijinin kararlılığına karşılık gelir, yani doğrusallaştırılmış sistemin yörüngeleri sınırlı kalmalıdır. Bir Hamilton sistemi için bu, karşılık gelen yörüngenin monodromi matrisinin öz değerlerinin birim çemberde yer alması ve yarı basit olması gerektiği anlamına gelir. Öte yandan spektral kararlılık, özdeğerlerin hepsinin birim çember içinde yer almasını gerektirir, ancak bunların çokluğuna sahip olmalarına izin verir (böylece yörüngeler üstel yerine polinom zamanda sonsuza kaçabilir). Bu yazıda doğrusal kararlılık kavramına odaklanacağız.

Simetrinin varlığında, simetri tarafından korunan periyodik yörüngelerin doğrusal kararlılığının incelenmesi önemli ölçüde geliştirilebilir. Bu amacı akılda tutarak, ilk yazar ve Urs Frauenfelder, [FM]'de, B-imzası kavramı aracılığıyla Broucke stabilite diyagramının [Br69] geliştirilmiş hali olarak GIT sekansı kavramını ortaya attılar. GIT dizisi, topolojisi periyodik yörüngelerin stabilitesini ve çatallanmalarını ve ayrıca özdeğer konfigürasyonlarını kodlayan ve düzenli yörünge silindirlerinin varlığına engel teşkil eden üç alan ve aralarındaki haritalardan oluşan bir diziden oluşur. Düşük boyutlarda mekanlar düzlemde veya üç boyutlu uzayda görselleştirilebiliyor, bu da onları sayısal çalışmaya uygun hale getiriyor. GIT dizisinin doğrusal stabiliteyi incelemek için tasarlanmasına rağmen, spektral stabilite ile olan ayrımını bulanıklaştırdığını belirtmeliyiz.

Aslında, Krein-Moser teoreminin bir Kerin çatallanmasının ne zaman meydana gelebileceğine ilişkin bir kriter verdiğini hatırlayın (yani, monodromi matrisinin iki eliptik özdeğeri bir araya gelir ve daha sonra dairenin dışına doğru çatallanır). İyileştirmemiz, iki hiperbolik özdeğerin çokluğun iki hiperbolik özdeğerinde bir araya geldiği ve daha sonra karmaşık hale geldiği durum için benzer bir kriter verir, ancak simetrik yörüngeler durumu için. Böyle bir geçişe HN geçişi, yüksek çokluklu özdeğere ise geçiş özdeğeri diyoruz. Böyle bir geçişin gerçekleşip gerçekleşmeyeceği tamamen geçiş özdeğerinin B imzası ile belirlenir. Yani aşağıdaki sonuç, simplektik gruba ilişkin topolojik çalışmamızın bir sonucudur.

Teorem A. Simetriyi kabul eden, keyfi serbestlik derecelerine sahip bir Hamiltonyen düşünün. t 7→ γt, t ∈ [0, 1], HN geçişine uğrayan simetrik periyodik yörüngelerin bir ailesi olsun. Bu durumda transit özdeğerinin B imzası belirsizdir.

B-imzasının tanımı Bölüm 3'te verilecektir ve bu teoremin ispatı Ek A'da elde edilmiştir.

Teşekkürler . Yazarlar, fikirleri bu makaleye ilham veren Urs Frauenfelder'e minnettardır. A. Moreno şu anda DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191) tarafından finanse edilen Sonderforschungsbereich TRR 191 Symplectic Structures in Geometry, Cebir ve Dynamics tarafından ve ayrıca Almanya'nın Mükemmellik Stratejisi EXC 2181/1 - 390900948 (Heidelberg) kapsamında DFG tarafından desteklenmektedir. YAPILAR Mükemmellik Kümesi).