Hilbert Şemaları için Genişletmeler: Özet ve Giriş

Bağlantı Tablosu

• Özet ve Giriş
• Tropikal perspektifin arka planı
• Genişletilmiş inşaat
• GIT istikrarı
• Yığın perspektifi
• Kanonik modül yığını
• Referanslar

Soyut

Bu makalenin amacı, Li ve Wu'nun genişletilmiş dejenerasyon yapısını, yarı kararlı yüzey aileleri üzerindeki Hilbert şemalarının iyi dejenerasyonlarını elde edecek şekilde genişletmek ve ayrıca alternatif stabilite koşullarını ve Gulbrandsen, Halle ve GIT yapısına paralellikleri tartışmaktır. Maulik ve Ranganathan'ın Hulek ve logaritmik Hilbert şeması yapıları. Uygun bir Deligne-Mumford yığını olarak Hilbert nokta şemalarının iyi bir dejenerasyonunu oluşturduk ve bunun Maulik ve Ranganathan'ın çalışmalarından kaynaklanan bir yapının geometrik olarak anlamlı bir örneğini sağladığını gösterdik.

1. Giriş

Modül uzaylarının incelenmesi cebirsel geometride merkezi bir konudur; Modül uzayları arasında Hilbert şemaları önemli bir örnek sınıfını oluşturur. Bunlar geometrik temsil teorisinde, numaralandırmalı ve kombinatoryal geometride ve hiperkahler manifoldlarının iki ana örneği olarak, yani K3 yüzeyleri üzerindeki noktaların Hilbert şemaları ve genelleştirilmiş Kummer çeşitleri olarak geniş çapta incelenmiştir. Bu alanda göze çarpan bir yön, bu tür nesnelerin yerel modül uzayını ve özellikle de düzgün Hilbert şemalarının dejenerasyonuna modüler bir kompaktlaştırmanın nasıl verilebileceğini anlamaktır.

Örneğin, merkezi lifi normal geçiş tekilliklerine sahip olan bir dejenerasyona ilişkin göreceli Hilbert şemalarının geometrisini düşünebiliriz. Daha sonra böyle bir Hilbert şemasının tekilliklerinin, bazı özelliklerini korurken nasıl çözülebileceğini veya bunun iyi bir modül uzayı olarak nasıl ifade edilebileceğini sorabiliriz. Bu daha sonra tekil yer tarafından verilen sınıra göre bir kompaktlaştırma problemi haline gelir. Tarihsel olarak modül ve kompaktlaştırma problemlerinde kullanılan önemli bir yöntem Geometrik Değişmez Teori (GIT) olmuştur. Daha yakın zamanlarda, Maulik ve Ranganthan'ın [MR20] çalışması, Hilbert şemaları için bu tür soruları ele almak üzere tropikal ve logaritmik geometri yöntemlerinin nasıl kullanılabileceğini araştırdı. Bu, Li [Li13] ile Li ve Wu'nun [LW15] Quot şemaları için genişletilmiş dejenerasyonlar üzerine önceki çalışmalarına ve Ranganathan'ın [Ran22b] açılımlı logaritmik Gromov-Witten teorisi üzerine çalışmasına dayanmaktadır.

Kısaca belirtmek gerekirse, bu makalenin amacı bu tür sıkıştırmaların açık örneklerini sunmak ve bu yöntemler arasındaki bağlantıları araştırmaktır.

1.1 Temel kurulum

Bölüm 1.3'te belirtildiği gibi, bu tür bir yapı, K3 yüzeyleri üzerindeki Hilbert noktalarının tip III dejenerasyonlarını oluşturmak için uygulanabilir. Bu, gelecekteki çalışmalarda açıklanacaktır.

1.2 Bu alanda daha önce yapılan çalışmalar

[LW15]'ten devam ederek, Gulbrandsen, Halle ve Hulek [GHH19] Hilbert nokta şemaları durumunda yukarıdaki yapının bir GIT versiyonunu sunuyorlar. Açıkça genişletilmiş bir dejenerasyon, yani daha büyük bir taban üzerinde, lifleri aile içindeki X0 bileşenlerinin şişmesine karşılık gelen değiştirilmiş bir aile oluştururlar. Doğal torus hareketi için bu uzayda doğrusallaştırılmış bir çizgi demeti sunuyorlar ve bu durumda Hilbert-Mumford kriterinin tamamen kombinatoryal bir kritere kadar basitleştirildiğini gösterebiliyorlar. Bunu kullanarak, Li ve Wu'nun enine sıfır boyutlu alt şemalarını kurtaran bir GIT stabilite koşulu uygularlar ve karşılık gelen yığın bölümünün Li ve Wu'nunkine izomorfik olduğunu kanıtlarlar. Bu çalışmanın bir motivasyonu, K3 yüzeylerindeki Hilbert noktalarının tip II dejenerasyonlarını oluşturmaktı. Gerçekten de, K3 yüzeylerindeki tip II iyi dejenerasyonlar, düzgün eğriler boyunca kesişen bir yüzey zinciri olan özel fiberde bu tip tekillikleri ortaya koymaktadır.

Maulik ve Ranganathan'ın [MR20], daha önceki Ranganathan fikirlerine [Ran22b] ve Tevelev'in [Tev07] sonuçlarına dayanan, X!'in uygun açılımlarını oluşturmak için logaritmik ve tropik geometri tekniklerini kullandıkları daha yeni bir çalışmaları vardır. C. Bu, X0'ın herhangi bir basit normal geçiş çeşidi olduğu durumdan başlayarak, enine alt şemaların modül yığınlarını tanımlamalarına olanak tanır. Bu şekilde inşa edilen yığınların uygun ve Deligne-Mumford olduğunu gösterirler. Bununla ilgili daha fazla ayrıntı için Bölüm 2.2'ye bakın.

1.3 Ana sonuçlar

X olsun! C yüzeylerin yarı kararlı bir dejenerasyonu olsun. Aşağıdaki bölümlerde, iyi özelliklere sahip olduğunu gösterdiğimiz bu genişletilmiş aileler üzerinde genişletilmiş dejenerasyonların ve sabit uzunluktaki m sıfır boyutlu alt şemaların yığınlarının açık yapılarını öneriyoruz.

Farklı genişletme seçeneklerine izin vermek. Bu yazıda, kanonik modül yığını adını verdiğimiz Hilbert nokta şeması için yalnızca belirli bir model seçimini tartışıyoruz. Gelecek çalışmalarda, bu yöntemlerin diğer model seçeneklerini tanımlamak için nasıl genişletilebileceğini araştıracağız. Kennedy-Hunt'ın logaritmik Quot şemaları [Ken23] üzerindeki çalışmasına paralel olan bir yaklaşımı ele alacağız ve ayrıca Maulik ve Ranganathan'ın [MR20] yöntemlerinden kaynaklanan belirli geometrik olarak anlamlı modül yığını seçimlerini kurtaracağız. Özellikle, bu daha genel durumlarda tüp bileşenlerinin ve DonaldsonThomas stabilitesinin resme nasıl dahil olduğunu tartışacağız (tanımlar için bkz. Bölüm 2.2).

1.4 Organizasyon

Bölüm 2'de logaritmik ve tropikal geometri hakkında biraz bilgi vererek ve daha sonraki bölümlerde değinmek isteyeceğimiz [MR20]'den Maulik ve Ranganathan'ın çalışmalarına genel bir bakış vererek başlıyoruz. Daha sonra Bölüm 3'te şemalar üzerinde genişletilmiş bir yapı ortaya koyuyoruz ve Bölüm 4'te bu yapı üzerinde çeşitli GIT stabilite koşullarının nasıl tanımlanabileceğini tartışıyoruz. Bölüm 5'te, şemalar olarak oluşturduğumuz genişletilmiş dejenerasyonların üzerine inşa edilen, buna karşılık gelen bir genişleme yığınını ve onun üzerindeki aileyi tanımlıyoruz. Bölüm 6'da kararlılık koşullarımızı bu ayara kadar genişletiyoruz. Daha sonra tanımlanan kararlı nesne yığınlarının istenen Deligne-Mumford ve uygunluk özelliklerine sahip olduğunu gösteriyoruz.

Teşekkürler . Bu proje boyunca verdiği tüm destek için Gregory Sankaran'a teşekkür etmek istiyorum. Doktora sınav görevlilerim Alastair Craw ve Dhruv Ranganathan'a da birçok yararlı yorumlarından dolayı teşekkür ederim. Bu çalışma Bath Üniversitesi Araştırma Öğrenci Ödülü tarafından finanse edilirken gerçekleştirildi. Ayrıca pek çok ilginç sohbet için Patrick Kennedy-Hunt ve Thibault Poiret'e de minnettarım.