Hilbert Şemaları için Genişletmeler: Tropikal Perspektifin Arka Planı

Bağlantı Tablosu

• Özet ve Giriş
• Tropikal perspektifin arka planı
• Genişletilmiş inşaat
• GIT istikrarı
• Yığın perspektifi
• Kanonik modül yığını
• Referanslar

2. Tropikal perspektifin arka planı

Burada bu problem bağlamında tropikal ve logaritmik geometrinin dilini kısaca tanıtacağız. Bu bölümün içeriği hakkında daha fazla ayrıntı için [Log] makalesine, ders notlarına [Ran22a] ve [MR20]'nin ilk bölümüne bakın.

2.1 Tropikalleşme ve genişleme

Tropikalleşmenin alt bölümleri X'in genişlemelerini tanımlar. Aşağıda, X şemasının D böleni etrafındaki olası birasyonel modifikasyonlarını incelemek isteyeceğiz. Tropikal dilde bunlar alt bölümler olarak ifade edilir.

Tropikalleştirmenin bir alt bölümü, X'in çift uluslu bir modifikasyonunu aşağıdaki şekilde tanımlar. Alt bölüm

2.2 Maulik-Ranganathan inşaatı

[MR20]'nin bazı önemli noktalarını kısaca hatırlayacağız. Çalışmalarının amacı sınır bölenle enine buluşan sabit sayısal tipteki ideal makaraların modül uzayını incelemektir. Böyle bir nesnenin incelenmesine yönelik bazı temel motivasyonlar numaralandırma geometrisinden gelir. Örneğin, belirli bir düzgün çeşitte eğri sayımı sorunlarını çözmek için kullanılan yaygın bir yöntem, bu çeşitliliği daha basit indirgenemez bileşenlerin tekil bir birleşimine kadar dejenere etmektir. İdeal makaraların dejenere nesne üzerindeki tüm ilginç davranışlarının, daha basit indirgenemez bileşenlerin iç kısmındaki destekle gerçekleşmesini sağlamak için eninelik özelliği çok önemlidir, bu da onu daha kolay incelememize olanak tanır. Bu yaklaşımın temel zorluklarından biri, bu ortamda olduğu gibi, enine ideal makaraların D'ye göre uzayının kompakt olmamasıdır. Uygun kompaktlaştırmanın oluşturulması, C üzerinde düz ve düzgün bir uzay verecektir. [MR20]'de Maulik ve Ranganathan, (X, D) çiftinin Donaldson-Thomas teorisini formüle ederek, ideal makaraların uzayının kompaktlaştırmalarını inşa ederek işe başlıyor: X, D'nin eninedir.

[MR20]'yi özellikle burada bizi ilgilendiren durumla, yani X yozlaşmasıyla ilgili olarak tartışıyoruz! Yukarıda açıklandığı gibi C, burada sınır bölen D = X0'a göre bazı m ∈ N için sabit sabit Hilbert polinomu m ile ideal makaraların modül uzayını incelemeye çalışıyoruz. Ana fikir, ΣX ile gösterilen X'in tropikalizasyonunu ve kompaktlaştırmalarımızda istenen eninelik özelliklerinin nasıl elde edileceğini anlamak için kullanılan buna karşılık gelen bir tropikalizasyon haritasını oluşturmaktır.

Enine sınırların varlığı ve tekliği. Maulik ve Ranganathan, Hilbert nokta şemaları özel durumunda Li-Wu kararlılığına eşdeğer olan boyutsal çaprazlık ve güçlü çaprazlık kavramlarını ortaya attılar (bu kararlılık koşulunun tanımı için Bölüm 5.3'e bakınız). Ancak genel olarak daha yüksek boyutlu alt şemalar için durum böyle olmayacaktır.

Bu işlem, çokyüzlü alt bölüm seçimi yaptığımızdan ve genel olarak kanonik bir seçim olmadığından benzersiz olmamayla sonuçlanır.

Bu tüp köşelerinin tropikleştirmeye eklenmesi, her genişlemede daha fazla potansiyel bileşenin olduğu anlamına gelir ve bu da önceden belirlenmiş benzersizlik sonuçlarına müdahale eder. Aslında, Z ◦ ⊂ X◦ alt şemalarının her bir ailesinin benzersiz bir limit temsilcisine sahip olması için trop(Z ◦ )'nin bize ikili komplekste tam olarak doğru sayıda köşe noktası verdiğini hatırlayın. Bu nedenle, bunu yansıtmak için Donaldson-Thomas kararlılığı, alt şemaların ancak ve ancak tam olarak tüp bileşenleri boyunca tüp şemaları olmaları durumunda DT kararlı olmasını ister. 1 boyutlu bir alt şemanın, D'deki sıfır boyutlu bir alt şemanın şematik ön görüntüsü olması durumunda bir tüp olduğunu söyleriz. Hilbert nokta şemaları durumunda, bu koşul, basit bir şekilde, eğer ve ise DT kararlı olan 0 boyutlu bir Z alt şemasına dönüşecektir. ancak hiçbir tüp bileşeni Z'nin bir destek noktasını içermiyorsa ve bizim patlatmalarımızla genişletilen diğer her indirgenemez bileşen Z'nin desteğinin en az bir noktasını içeriyorsa.

Maulik ve Ranganathan, bir alt şemanın güçlü bir şekilde enine olması durumunda kararlı olduğunu tanımlar

ve DT stabil. Sabit sayısal değişmezler için, genişleme uzayındaki kararlı alt şemaların alt yığını, C üzerinde sonlu tipte, uygun, ayrılmış bir Deligne-Mumford yığını oluşturur.

Bu makalenin sonuçlarıyla karşılaştırma. Bu yazıda sunduğumuz yapının şaşırtıcı bir özelliği var; tanımladığımız sabit nesnelerin yığınının uygun olması için hiçbir bileşeni tüp olarak etiketlememize gerek yok. Bu, genişletilmiş dejenerasyonlarımıza dahil edilecek spesifik patlama seçimlerinin bir eseridir. Maulik ve Ranganathan'ın çalışması bize bunun genel olarak beklenmediğini gösteriyor. Bölüm 1.3'te belirtildiği gibi, farklı genişletme seçeneklerinin yapıldığı ve Donaldson-Thomas kararlılık koşulunu tanıtmanın bizim için de gerekli olduğu durumlarda, kararlı nesnelerden oluşan uygun yığınların nasıl oluşturulacağını gelecek bir makalede tartışacağız.