Расширения схем Гильберта: перспектива стека

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Предыстория тропической перспективы
• Расширенная конструкция
• Стабильность GIT
• Перспектива стека
• Канонический стек модулей
• Рекомендации

5. Перспектива стека

5.1 Стеки и условия устойчивости

Прежде чем описать расширенные вырождения как стопки, прокомментируем роль стопок в этой задаче и условия устойчивости, определенные в разделе 5.3.

Изменение базы . Наша цель — построить вырождения гильбертовых схем точек как хороших пространств модулей. В доказательствах предложений 6.1.2 и 6.1.4 мы будем использовать оценочный критерий для доказательства универсальной замкнутости и отделимости. Мы увидим, что этот аргумент справедлив только до изменения базы, поэтому нам необходимо работать со стеками, а не со схемами.

Поэтому в следующих разделах при изучении факторстеков мы захотим рассмотреть подлокус стабильного стабильного локуса GIT, содержащий только нульмерные подсхемы длины m, которые гладко поддерживаются в данном слое X[n]. Построение компактификации, в которой пределы представлены гладко поддерживаемыми подсхемами, также будет полезно для будущих приложений, поскольку позволяет нам разбить задачу схемы Гильберта из m точек на особой поверхности на произведения схем Гильберта из менее чем m точек на особой поверхности. гладкие компоненты.

Определение 5.1.1. Будем говорить, что слой в некотором расширенном вырождении X[n] имеет базовую коразмерность k, если ровно k базисных направлений обращаются в нуль в этом слое. Это не зависит от значения n.

Сделать расширенные вырождения достаточно большими. Наконец, если мы построим уникальный фактор GIT, в котором не все предельные подсхемы гладко поддерживаются, то пределы, заданные замыканиями орбит, содержащими только подсхемы с сингулярным носителем, не будут лежать в слое ожидаемой базовой коразмерности. Это дает интуитивное представление о том, что выбранное нами вырождение слишком мало. При этом может быть полезно подумать об этом коэффициенте GIT, если мы пытаемся просто разрешить особенности таким образом, чтобы сохранить некоторые хорошие свойства пространства, например, в контексте построения минимальных моделей для вырождений типа III. схем Гильберта точек на поверхностях К3.

5.2 Расширенная конструкция штабелей

5.3. Условия устойчивости.

Заметим, что поскольку гладкое множество слоев X[n] G-инвариантно, ограничение функтора на это множество сохраняет G-инвариантность. Таким образом, ограничения полустабильных и стабильных локусов на локусы гладко поддерживаемых подсхем приводят к G-инвариантным открытым подсхемам.

У нас есть следующие включения:

Стабильность Ли-Ву. Напомним здесь понятие устойчивости, использованное в [LW15], чтобы сравнить его с устойчивостью GIT и построить подходящее условие устойчивости для этого случая.

Изменена стабильность GIT. Как говорилось выше, мы хотим, чтобы нульмерные подсхемы длины m были стабильными только в том случае, если их поддержка лежит в гладком пространстве слоя. Однако ограничение условия устойчивости GIT этим локусом делает пространство стабильных подсхем перестающим быть универсально закрытым. Действительно, не существует единого условия GIT, которое могло бы представить все желаемые нульмерные подсхемы длины m как гладко поддерживаемые подсхемы. Поэтому мы должны определить модифицированное условие стабильности GIT, которое объединяет несколько условий стабильности GIT, чтобы получить желаемый стабильный локус.