Расширения схем Гильберта: предыстория тропической перспективы

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Предыстория тропической перспективы
• Расширенная конструкция
• Стабильность GIT
• Перспектива стека
• Канонический стек модулей
• Рекомендации

2. Общие сведения о тропической перспективе

Мы кратко представляем здесь язык тропической и логарифмической геометрии в контексте этой проблемы. Более подробно о содержании этого раздела см. статью [Журнал], конспекты лекций [Ran22a], а также первый раздел [MR20].

2.1 Тропизация и расширение

Подразделения тропикализации определяют расширения X. В дальнейшем мы хотим изучить возможные бирациональные модификации схемы X вокруг дивизора D. На тропическом языке они выражаются как подразделения.

Подразделение тропикализации определяет бирациональную модификацию X следующим образом. Подразделение

2.2 Строительство Маулик-Ранганатан

Кратко напомним некоторые ключевые моменты [MR20]. Целью их работы является исследование пространства модулей идеальных пучков фиксированного числового типа, поперечно пересекающих граничный дивизор. Некоторые ключевые мотивы для изучения такого объекта исходят из перечислительной геометрии. Например, общий метод, используемый для решения проблем подсчета кривых в заданном гладком многообразии, состоит в вырождении этого многообразия до сингулярного объединения более простых неприводимых компонентов. Свойство трансверсальности тогда имеет решающее значение для обеспечения того, чтобы все интересное поведение идеальных пучков на вырожденном объекте происходило с поддержкой внутри более простых неприводимых компонентов, что позволяет нам с большей легкостью изучать его. Одна из основных трудностей этого подхода состоит в том, что часто, как и в этом случае, пространство поперечных идеальных пучков относительно D некомпактно. Построение подходящей компактификации даст пространство, плоское и собственное над C. В [MR20] Молик и Ранганатан формулируют теорию Дональдсона-Томаса пары (X, D), начиная с построения компактификаций пространства идеальных пучков в X поперечно D.

Мы обсуждаем [MR20] конкретно в отношении интересующего нас здесь случая, а именно случая вырождения X ! C, как описано выше, где мы стремимся изучить пространство модулей идеальных пучков с фиксированным постоянным полиномом Гильберта m для некоторого m ∈ N относительно граничного дивизора D = X0. Ключевая идея заключается в построении тропикализации X, обозначаемой ΣX, и соответствующей карты тропикализации, которая используется, чтобы понять, как получить желаемые свойства трансверсальности в наших компактификациях.

Существование и единственность поперечных пределов. Маулик и Ранганатан вводят понятия размерной трансверсальности и сильной трансверсальности, которые в конкретном случае схем Гильберта точек оказываются эквивалентными устойчивости по Ли-Ву (определение этого условия устойчивости см. в разделе 5.3). Однако в целом для подсхем более высоких размерностей это не так.

Эта операция приводит к неединственности, так как мы делаем выбор подразделения многогранника и канонического выбора, вообще говоря, нет.

Добавление этих трубчатых вершин при тропикализации означает, что в каждом расширении будет больше потенциальных компонентов, что мешает ранее установленным результатам уникальности. Действительно, напомним, что trop(Z ◦ ) дал нам ровно столько вершин в двойственном комплексе, чтобы каждое семейство подсхем Z ◦ ⊂ X◦ имело единственный предельный представитель. Следовательно, чтобы отразить это, устойчивость Дональдсона-Томаса требует, чтобы подсхемы были DT-стабильными тогда и только тогда, когда они представляют собой трубчатые схемы точно вдоль компонентов трубки. Мы говорим, что 1-мерная подсхема является трубкой, если она является схематическим прообразом нульмерной подсхемы в D. В случае схем Гильберта точек это условие просто переводится в 0-мерную подсхему Z, являющуюся DT-стабильной, если и только если ни одна трубчатая компонента не содержит точки носителя Z, а каждая другая неприводимая компонента, расширенная нашими раздутиями, содержит хотя бы одну точку носителя Z.

Маулик и Ранганатан определяют подсхему как устойчивую, если она сильно трансверсальна.

и DT стабильный. Для фиксированных числовых инвариантов подстек устойчивых подсхем в пространстве разложений образует собственный разделенный стек Делиня-Мамфорда конечного типа над C.

Сравнение с результатами данной работы. Конструкция, которую мы представляем в этой статье, обладает удивительным свойством: нам не нужно маркировать какие-либо компоненты трубками, чтобы стек устойчивых объектов, который мы определяем, был правильным. Это результат специфического выбора увеличений, которые следует включить в наши расширенные вырождения. Работы Маулика и Ранганатана показывают нам, что в целом этого не ожидается. Как упоминалось в разделе 1.3, в следующей статье мы обсудим, как построить правильные стопки стабильных объектов в тех случаях, когда делается другой выбор разложений и нам также становится необходимо ввести условие устойчивости Дональдсона-Томаса.