Autori: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Abstract Corecția erorilor cuantice oferă o cale promițătoare pentru efectuarea de calcule cuantice de înaltă fidelitate. Deși execuțiile complet tolerante la defecte ale algoritmilor rămân nerealizate, îmbunătățirile recente ale electronicii de control și ale hardware-ului cuantic permit demonstrații din ce în ce mai avansate ale operațiunilor necesare pentru corecția erorilor. Aici, efectuăm corecția erorilor cuantice pe qubiți supraconductori conectați într-o rețea hexagon-grea. Codificăm un qubit logic cu distanța trei și efectuăm mai multe runde de măsurători de sindrom tolerante la defecte, care permit corectarea oricărei defecte unice în circuit. Folosind feedback în timp real, resetăm sindromul și qubiții de semnalizare condiționat după fiecare ciclu de extracție a sindromului. Raportăm eroarea logică dependentă de decodor, cu o eroare logică medie pe măsurare de sindrom în baza Z(X) de ~0,040 (~0,088) și ~0,037 (~0,087) pentru decodoarele de potrivire și de verosimilitate maximă, respectiv, pe date post-selectate pentru scurgere. Introducere Rezultatele calculului cuantic pot fi eronate, în practică, din cauza zgomotului din hardware. Pentru a elimina erorile rezultate, codurile de corecție a erorilor cuantice (QEC) pot fi utilizate pentru a codifica informația cuantică în grade de libertate logice protejate, iar apoi, prin corectarea erorilor mai rapid decât se acumulează, se pot realiza calcule tolerante la defecte (FT). O execuție completă a QEC va necesita probabil: pregătirea stărilor logice; realizarea unui set universal de porți logice, care poate necesita pregătirea stărilor magice; măsurători repetate de sindroame; și decodificarea sindroamelor pentru corectarea erorilor. Dacă sunt reușite, ratele de eroare logică rezultate ar trebui să fie mai mici decât ratele de eroare fizică subiacente și să scadă odată cu creșterea distanțelor codului până la valori neglijabile. Alegerea unui cod QEC necesită luarea în considerare a hardware-ului subiacent și a proprietăților sale de zgomot. Pentru o rețea hexagon-grea de qubiți, codurile QEC de subsistem sunt atractive, deoarece sunt bine adaptate pentru qubiții cu conectivități reduse. Alte coduri au arătat promisiuni datorită pragului lor relativ înalt pentru FT sau a numărului mare de porți logice transversale. Deși spațiul și supraîncărcarea de timp pot reprezenta un obstacol semnificativ pentru scalabilitate, există abordări încurajatoare pentru reducerea celor mai costisitoare resurse prin exploatarea unei forme de atenuare a erorilor. În procesul de decodificare, corectarea reușită depinde nu numai de performanța hardware-ului cuantic, ci și de implementarea electronicii de control utilizată pentru achiziționarea și procesarea informațiilor clasice obținute din măsurătorile de sindrom. În cazul nostru, inițializarea atât a qubiților de semnalizare, cât și a celor de sindrom prin feedback în timp real între ciclurile de măsurare poate ajuta la atenuarea erorilor. La nivel de decodificare, în timp ce există protocoale pentru a efectua QEC asincron în cadrul unui formalism FT, rata la care sunt primite sindroamele de eroare ar trebui să fie comensurabilă cu timpul lor de procesare clasică pentru a evita un stoc crescător de date de sindrom. De asemenea, unele protocoale, cum ar fi utilizarea unei stări magice pentru o poartă T logică, necesită aplicarea feedback-ului în timp real. Astfel, viziunea pe termen lung a QEC nu gravitează în jurul unui singur obiectiv final, ci ar trebui văzută ca un continuum de sarcini profund interconectate. Calea experimentală în dezvoltarea acestei tehnologii va cuprinde demonstrarea acestor sarcini în izolare mai întâi și combinarea lor progresivă mai târziu, întotdeauna în timp ce se îmbunătățesc continuu metricile asociate. O parte din acest progres se reflectă în numeroase avansări recente ale sistemelor cuantice pe diferite platforme fizice, care au demonstrat sau au aproximat mai multe aspecte ale desideratelor pentru calculul cuantic FT. În special, pregătirea stărilor logice FT a fost demonstrată pe ioni, spini nucleari în diamant și qubiți supraconductori. Cicluri repetate de extracție a sindromului au fost demonstrate în qubiți supraconductori în coduri mici de detectare a erorilor, inclusiv corecția parțială a erorilor precum și un set universal (deși nu FT) de porți cu un singur qubit. O demonstrație FT a unui set universal de porți pe doi qubiți logici a fost raportată recent pe ioni. În domeniul corecției erorilor, au existat realizări recente ale codului de suprafață de distanță 3 pe qubiți supraconductori cu decodificare și post-selecție, precum și o implementare FT a unei memorii cuantice protejate dinamic utilizând codul de culoare și pregătirea, operarea și măsurarea stării logice FT, inclusiv stabilizatorii săi, în codul Bacon-Shor pe ioni. Aici combinăm capacitatea de feedback în timp real pe un sistem de qubiți supraconductori cu un protocol de decodificare de verosimilitate maximă până acum neexplorat experimental pentru a îmbunătăți supraviețuirea stărilor logice. Demonstrăm aceste instrumente ca parte a operațiunii FT a unui cod de subsistem, codul hexagon-grea, pe un procesor cuantic supraconductor. Esențial pentru a face implementarea noastră a acestui cod tolerantă la defecte sunt qubiții de semnalizare care, atunci când sunt găsiți nenuli, alertează decodorul despre erorile din circuit. Resetând condiționat qubiții de semnalizare și sindrom după fiecare ciclu de măsurare a sindromului, protejăm sistemul nostru împotriva erorilor care provin din asimetria zgomotului inerentă relaxării energetice. Exploatăm în continuare strategii de decodificare descrise recent și extindem ideile de decodificare pentru a include concepte de verosimilitate maximă. Rezultate Codul hexagon-grea și circuitele multi-rundă Codul hexagon-grea pe care îl considerăm este un cod cu n=9 qubiți care codifică k=1 qubit logic cu distanța d=3. Grupurile de etalonare Z și X (vezi Fig. 1a) și stabilizatorii sunt generate de Grupurile de stabilizatori sunt centrele grupurilor de etalonare respective. Aceasta înseamnă că stabilizatorii, ca produse ale operatorilor de etalonare, pot fi deduse din măsurătorile numai ale operatorilor de etalonare. Operatori logici pot fi aleși ca XL = X1X2X3 și ZL = Z1Z3Z7. Operatori de etalonare Z (albastru) și X (roșu) (ecuațiile (1) și (2)) mapați pe cei 23 de qubiți necesari cu codul hexagon-grea de distanță 3. Qubiții codului (Q1 - Q9) sunt arătați în galben, qubiții de sindrom (Q17, Q19, Q20, Q22) utilizați pentru stabilizatorii Z în albastru, iar qubiții de semnalizare și sindroamele utilizate în stabilizatorii X în alb. Ordinea și direcția aplicării porților CX în cadrul fiecărei sub-secțiuni (0 până la 4) sunt indicate de săgețile numerotate. Diagrama circuitului pentru o rundă de măsurare a sindromului, incluzând atât stabilizatorii X, cât și Z. Diagrama circuitului ilustrează paralelismul permis al operațiunilor de poartă: cele din interiorul limitelor stabilite de barierele de programare (linii verticale punctate gri). Deoarece durata fiecărei porți cu doi qubiți diferă, programarea finală a porților este determinată cu o trecere standard de transpilare a circuitului cât mai târziu posibil; după care se adaugă decuplarea dinamică la qubiții de date unde timpul permite. Operațiunile de măsurare și resetare sunt izolate de alte operațiuni de poartă prin bariere pentru a permite adăugarea unei decuplări dinamice uniforme la qubiții de date inactivi. Grafice de decodificare pentru trei runde de măsurători ale stabilizatorilor (c) Z și (d) X cu zgomot la nivel de circuit permit corectarea erorilor X și Z, respectiv. Nodurile albastre și roșii din grafice corespund sindroamelor diferențiale, în timp ce nodurile negre sunt granița. Marginile codifică diverse moduri în care erorile pot apărea în circuit, așa cum este descris în text. Nodurile sunt etichetate cu tipul măsurării stabilizatorului (Z sau X), împreună cu un indice care indexează stabilizatorul și exponenți care denotă runda. Marginile negre, provenite din erori Pauli Y pe qubiții codului (și deci sunt doar de mărime 2), conectează cele două grafice din (c) și (d), dar nu sunt utilizate în decodorul de potrivire. Hipermarginile de mărime 4, care nu sunt utilizate de potrivire, dar sunt utilizate în decodorul de verosimilitate maximă. Culorile sunt doar pentru claritate. Translatarea fiecăreia în timp cu o rundă dă, de asemenea, o hipermargine validă (cu unele variații la granițele de timp). De asemenea, nu sunt arătate niciuna dintre hipermarginile de mărime 3. a b e f Aici ne concentrăm pe un circuit FT particular, multe dintre tehnicile noastre pot fi utilizate mai general cu diferite coduri și circuite. Două sub-circuite, arătate în Fig. 1b, sunt construite pentru a măsura operatorii de etalonare X și Z. Circuitul de măsurare a etalonării Z achiziționează, de asemenea, informații utile prin măsurarea qubiților de semnalizare. Pregătim stări codificate în starea logică |⟩ (sau |0⟩) prin pregătirea mai întâi a nouă qubiți în starea |+⟩ (sau |0⟩) și măsurarea etalonării X (etalonării Z). Apoi efectuăm r runde de măsurare a sindromului, unde o rundă constă într-o măsurare a etalonării Z urmată de o măsurare a etalonării X (respectiv, o măsurare a etalonării X urmată de o măsurare a etalonării Z). În final, citim toți cei nouă qubiți de cod în baza Z (X). Efectuăm aceleași experimente și pentru stările logice inițiale |1⟩ și |−⟩, prin simpla inițializare a celor nouă qubiți în |1⟩ și |−⟩ în schimb. Algoritmi de decodificare În contextul calculului cuantic FT, un decodor este un algoritm care ia ca intrare măsurători de sindrom dintr-un cod de corecție a erorilor și returnează o corecție pentru qubiți sau date de măsurare. În această secțiune descriem doi algoritmi de decodificare: decodificarea prin potrivire perfectă și decodificarea de verosimilitate maximă. Graful hiperbolic de decodificare este o descriere concisă a informațiilor adunate de un circuit FT și puse la dispoziția unui algoritm de decodificare. Acesta constă dintr-un set de vârfuri, sau evenimente sensibile la erori, V, și un set de hipermargini E, care codifică corelațiile dintre evenimentele cauzate de erori în circuit. Fig. 1c-f prezintă părți din graful hiperbolic de decodificare pentru experimentul nostru. Construirea unui graf hiperbolic de decodificare pentru circuite de stabilizatori cu zgomot Pauli poate fi făcută utilizând simulări standard Gottesman-Knill sau tehnici similare de trasare Pauli. Mai întâi, se creează un eveniment sensibil la eroare pentru fiecare măsurare care este deterministă în circuitul fără erori. O măsurare deterministă M este orice măsurare al cărei rezultat m ∈ {0, 1} poate fi prezis prin adăugarea modulo doi a rezultatelor măsurării dintr-un set {Mi} de măsurări anterioare. Adică, pentru un circuit fără erori, M = ΣiMi mod 2, unde setul {Mi} poate fi găsit prin simularea circuitului. Valoarea evenimentului sensibil la eroare se setează la m − FM(mod 2), care este zero (numit și trivial) în absența erorilor. Astfel, observarea unui eveniment sensibil la eroare nenul (numit și non-trivial) implică faptul că circuitul a suferit cel puțin o eroare. În circuitele noastre, evenimentele sensibile la eroare sunt fie măsurători de qubiți de semnalizare, fie diferența măsurătorilor subsecvente ale aceluiași stabilizator (numite uneori și sindroame diferențiale). În continuare, se adaugă hipermargini luând în considerare defectele circuitului. Modelul nostru conține o probabilitate de defect pC pentru fiecare dintre mai multe componente ale circuitului Aici distingem operația de identitate id pe qubiți în timpul unei perioade în care alți qubiți suferă porți unitare, de operația de identitate idm pe qubiți când alții suferă măsurare și resetare. Resetăm qubiții după ce au fost măsurați, în timp ce inițializăm qubiții care nu au fost încă utilizați în experiment. În final, cx este poarta controlled-not, h este poarta Hadamard, iar x, y, z sunt porți Pauli. (vezi Metodologia „IBM_Peekskill și detalii experimentale” pentru mai multe detalii). Valorile numerice pentru pC sunt listate în Metodologia „IBM_Peekskill și detalii experimentale”. Modelul nostru de eroare este zgomotul de depolarizare a circuitului. Pentru erorile de inițializare și resetare, un Pauli X este aplicat cu probabilitățile respective pinitt și presetat după pregătirea ideală a stării. Pentru erorile de măsurare, Pauli X este aplicat cu probabilitatea pM înainte de măsurarea ideală. O poartă unitară cu un singur qubit (poartă cu doi qubiți) C suferă cu probabilitatea pC una dintre cele trei (cincisprezece) erori Pauli non-identitate care urmează poarta ideală. Există o șansă egală ca oricare dintre cele trei (cincisprezece) erori Pauli să apară. Când apare o singură defecțiune în circuit, aceasta cauzează ca un subset de evenimente sensibile la erori să devină non-trivial. Acest subset de evenimente sensibile la erori devine o hipermargine. Mulțimea tuturor hipermarginilor este E. Două defecte diferite pot duce la aceeași hipermargine, deci fiecare hipermargine poate fi considerată reprezentând un set de defecte, fiecare dintre ele cauzând individual ca evenimentele din hipermargine să fie non-triviale. Asociată fiecărei hipermargini este o probabilitate, care, la prima aproximare, este suma probabilităților defectelor din set. O defecțiune poate duce, de asemenea, la o eroare care, propagată până la sfârșitul circuitului, anticomută cu unul sau mai mulți dintre operatorii logici ai codului, necesitând o corecție logică. Presupunem, pentru generalitate, că codul are k qubiți logici și o bază de 2k operatori logici, dar notăm că k=1 pentru codul hexagon-grea utilizat în experiment. Putem urmări ce operatori logici anticomută cu eroarea folosind un vector din {−1, 0, 1}^k. Astfel, fiecare hipermargine h este de asemenea etichetată cu unul dintre acești vectori σ ∈ {−1, 0, 1}^k, numit etichetă logică. Notăm că dacă codul are distanța cel puțin trei, fiecare hipermargine are o etichetă logică unică. În final, notăm că un algoritm de decodificare poate alege să simplifice graful hiperbolic de decodificare în diverse moduri. Un mod pe care îl folosim întotdeauna aici este procesul de deflagare. Măsurătorile de semnalizare de la qubiții 16, 18, 21, 23 sunt pur și simplu ignorate fără corecții aplicate. Dacă semnalul 11 este non-trivial și 12 trivial, se aplică Z la 2. Dacă 12 este non-trivial și 11 trivial, se aplică Z la qubitul 6. Dacă semnalul 13 este non-trivial și 14 trivial, se aplică Z la qubitul 4. Dacă 14 este non-trivial și 13 trivial, se aplică Z la qubitul 8. Vezi ref. pentru detalii despre de ce acest lucru este suficient pentru toleranța la defecte. Aceasta înseamnă că, în loc să includem direct evenimente sensibile la erori din măsurătorile de qubiți de semnalizare, preprocesăm datele utilizând informațiile de semnalizare pentru a aplica corecții Pauli Z virtuale și a ajusta evenimentele sensibile la erori ulterioare în consecință. Hipermarginile pentru graful hiperbolic deflagat pot fi găsite prin simularea stabilizatorilor, incorporând corecțiile Z. Fie r numărul de runde. După deflagare, dimensiunea mulțimii V pentru experimentele în baza Z (respectiv, baza X) este |V| = 6r + 2 (respectiv, 6r + 4), datorită măsurării a șase stabilizatori pe rundă și având două (respectiv, patru) stabilizatori inițiali de eroare după pregătirea stării. Dimensiunea lui E este similar |E| = 60r − 13 (respectiv, 60r − 1) pentru r > 0. Considerând erorile X și Z separat, problema găsirii unei corecții de eroare de greutate minimă pentru codul de suprafață poate fi redusă la găsirea unei potriviri perfecte de greutate minimă într-un graf. Decodoarele de potrivire continuă să fie studiate datorită practicității lor și aplicabilității largi. În această secțiune, descriem decodorul de potrivire pentru codul nostru hexagon-grea de distanță 3. Graficele de decodificare, unul pentru erorile X (Fig. 1c) și unul pentru erorile Z (Fig. 1d), pentru potrivirea perfectă de greutate minimă sunt, de fapt, subgrafuri ale grafului hiperbolic de decodificare din secțiunea anterioară. Să ne concentrăm aici pe graful pentru corectarea erorilor X, deoarece graful erorilor Z este analog. În acest caz, din graful hiperbolic de decodificare păstrăm nodurile VZ corespunzătoare măsurătorilor de stabilizator Z (diferența măsurătorilor ulterioare) și marginile (adică hipermarginile de mărime doi) dintre ele. În plus, se creează un vârf de graniță b, iar hipermarginile de mărime unu de forma {v} cu v ∈ VZ sunt reprezentate prin includerea marginilor {v, b}. Toate marginile din graful erorilor X moștenesc probabilități și etichete logice din hipermarginile corespunzătoare (vezi Tabelul 1 pentru datele marginilor erorilor X și Z pentru experimentul de 2 runde). Un algoritm de potrivire perfectă ia un graf cu margini ponderate și un set de mărime pară de noduri evidențiate și returnează un set de margini din graf care conectează toate nodurile evidențiate în perechi și are greutatea totală minimă dintre toate astfel de seturi de margini. În cazul nostru, nodurile evidențiate sunt evenimentele sensibile la eroare non-triviale (dacă există un număr impar, nodul de graniță este, de asemenea, evidențiat), iar greutățile marginilor sunt fie alese să fie toate unu (metoda uniformă), fie setate ca log(1/pe), unde pe este probabilitatea marginii (metoda analitică). Această din urmă alegere înseamnă că greutatea totală a unui set de margini este egală cu log-verosimilitatea acelui set, iar potrivirea perfectă de greutate minimă încearcă să maximizeze această verosimilitate peste marginile din graf. Dată o potrivire perfectă de greutate minimă, se pot utiliza etichetele logice ale marginilor din potrivire pentru a decide o corecție a stării logice. Alternativ, graful erorilor X (erorilor Z) pentru decodorul de potrivire este astfel încât fiecare margine poate fi asociată cu un qubit de cod (sau o eroare de măsurare), astfel încât includerea unei margini în potrivire implică aplicarea unei corecții X (Z) qubitului corespunzător. Decodificarea de verosimilitate maximă (MLD) este o metodă optimă, deși nescălabilă, pentru decodificarea codurilor cuantice de corecție a erorilor. În concepția sa originală, MLD a fost aplicată modelelor de zgomot fenomenologic, unde erorile apar chiar înainte de măsurarea sindroamelor. Aceasta ignoră, desigur, cazul mai realist în care erorile se pot propaga prin circuitele de măsurare a sindromului. Mai recent, MLD a fost extinsă pentru a include zgomotul circuitului. Aici, descriem cum MLD corectează zgomotul circuitului utilizând graful hiperbolic de decodificare. MLD deduce corecția logică cea mai probabilă, având în vedere o observație a evenimentelor sensibile la eroare. Acest lucru se face calculând distribuția de probabilitate Pr[β, γ], unde β reprezintă evenimentele sensibile la eroare și γ reprezintă o corecție logică. Putem calcula Pr[β, γ] prin includerea fiecărei hipermargini din graful hiperbolic de decodificare, Fig. 1c-f, începând de la distribuția de eroare zero, adică Pr[0^{|V|}, 0^{2^k}] = 1. Dacă hipermarginea h are probabilitatea ph de a apărea, independent de orice altă hipermargine, includem h efectuând actualizarea unde βh este doar o reprezentare vectorială binară a hipermarginii. Această actualizare ar trebui aplicată o dată pentru fiecare hipermargine din E. Odată ce Pr[β, γ] este calculat, îl putem folosi pentru a deduce cea mai bună corecție logică. Dacă β* este observat într-o rulare a experimentului, indică cum ar trebui corectate măsurătorile operatorilor logici. Pentru mai multe detalii despre implementări specifice ale MLD, consultați Metodologia „Implementări de verosimilitate maximă”. Realizare experimentală Pentru această demonstrație utilizăm ibm_peekskill v2.0.0, un procesor IBM Quantum Falcon cu 27 de qubiți a cărui hartă de cuplare permite un cod hexagon-grea de distanță 3, vezi Fig. 1. Timpul total pentru măsurarea qubiților și resetarea condiționată ulterioară, pentru fiecare rundă, durează 768 ns și este același pentru toți qubiții. Toate măsurătorile de sindrom și resetările au loc simultan pentru performanță îmbunătățită. O secvență simplă de decuplare dinamică Xπ-Xπ este adăugată tuturor qubiților codului în timpul perioadelor lor respective de inactivitate. Scurgerea qubiților este un motiv semnificativ pentru care modelul de eroare depolarizant Pauli asumat de proiectarea decodorului ar putea fi inexact. În unele cazuri, putem detecta dacă un qubit a ieșit din spațiul de calcul în momentul în care este măsurat (vezi Metodologia „Metoda post-selecție” pentru mai multe informații despre metoda post-selecție și limitări). Folosind acest lucru, putem post-selecta rulările experimentului în care nu a fost detectată scurgerea, similar cu ref.. În Fig. 2a, inițializăm starea logică |0⟩ (|0⟩) și aplicăm r runde de măsurare a sindromului, unde o rundă include atât stabilizatorii X, cât și Z (timp total de aproximativ 5,3 μs pe rundă, Fig. 1b). Folosind decodificarea prin potrivire perfectă analitică pe setul complet de date (500.000 de trageri pe rundă), extragem erorile logice în Fig. 2a, triunghiuri roșii (albastre). Detalii despre parametrii optimizați utilizați în decodificarea prin potrivire perfectă analitică pot fi găsite în Metodologia „IBM_Peekskill și detalii experimentale”. Ajustând curbele complete de decădere (ecuația (14)) până la 10 runde, extragem eroarea logică pe rundă fără post-selecție în Fig. 2b de 0,059(2) (0,058(3)) pentru |0⟩ (|0⟩) și 0,113(5) (0,107(4)) pentru |1⟩ (|−⟩). Eroare logică în funcție de numărul de runde de măsurare a sindromului r, unde o rundă include atât o măsurare a stabilizatorului Z, cât și una X. Triunghiurile albastre spre dreapta (triunghiurile roșii) marchează erorile logice obținute din utilizarea decodificării analitice prin potrivire pe date experimentale brute pentru stările |0⟩ (|0⟩). Pătratele albastru deschis (cercurile roșu deschis) marchează cele pentru |1⟩ (|−⟩) cu aceeași metodă de decodificare, dar utilizând date experimentale post-selectate pentru scurgere. Barele de eroare denotă eroarea de eșantionare a fiecărei runde (500.000 de trageri pentru date brute, număr variabil de trageri pentru post-selectate). Liniile punctate se potrivesc cu randamentul erorii pe rundă reprezentat în (b). Aplicarea aceleiași metode de decodificare pe date post-selectate pentru scurgere arată o reducere substanțială a erorii generale pentru toate cele patru stări logice. Vezi Metodologia „Metoda post-selecție” pentru detalii despre post-selecție. Rata de respingere ajustată pe rundă pentru |, |, |, sunt 4,91%, 4,64%, 4,37% și, respectiv, 4,89%. Barele de eroare denotă o deviație standard pe rata ajustată. , Utilizând date post-selectate, comparăm eroarea logică obținută cu cei patru decodoare: potrivire uniformă (roz), potrivire analitică (verde), potrivire analitică cu informații soft (gri) și verosimilitate maximă (albastru) (vezi Fig. 6 pentru |1⟩ și |i⟩). Ratele ajustate punctate prezentate în (e), (f). Barele de eroare denotă eroarea de eșantionare. , Comparație a erorii ajustate pe rundă pentru toate cele patru stări logice utilizând decodoarele potrivire uniformă (roz), potrivire analitică (verde), potrivire analitică cu informații soft (gri) și verosimilitate maximă (albastru) pe date post-selectate pentru scurgere. Barele de eroare reprezintă o deviație standard pe rata ajustată. a b c d e f Aplicarea aceleiași metode de decodificare pe date post-selectate pentru scurgere reduce erorile logice în Fig. 2a și duce la rate de eroare ajustate de 0,041(1) (0,044(4)) pentru |0⟩ (|0⟩) și 0,088(3) (0,085(3)) pentru |1⟩ (|−⟩), așa cum se arată în Fig. 2b. Ratele de respingere pe rundă din post-selecție pentru , , , și sunt 4,91%, 4,64%, 4,37% și, respectiv, 4,89%. Vezi Metodologia „Metoda post-selecție” pentru detalii. În Fig. 2c-f, comparăm eroarea logică pentru fiecare rundă și eroarea logică extrasă pe rundă obținută din seturile de date post-selectate utilizând cei trei decodoare descrise anterior în Secțiunea „Algoritmi de decodificare”. Includem, de asemenea, o versiune a decodorului analitic care exploatează informații soft, care este descrisă în Metodologia „Decodificare cu informații soft”. Observăm (vezi Fig. 2e, f) o îmbunătățire constantă în decodificare, trecând de la potrivire uniformă (roz) la potrivire analitică (verde) la potrivire analitică cu informații soft, la verosimilitate maximă (gri), deși acest lucru este mult mai puțin semnificativ pentru st
