Expansões para esquemas de Hilbert: resumo e introdução

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

Abstrato

O objetivo deste artigo é estender a construção de degeneração expandida de Li e Wu para obter boas degenerações de esquemas de pontos de Hilbert em famílias de superfícies semiestáveis, bem como discutir condições alternativas de estabilidade e paralelos com a construção GIT de Gulbrandsen, Halle e Construções do esquema logarítmico de Hulek e Hilbert de Maulik e Ranganathan. Construímos uma boa degeneração dos esquemas de pontos de Hilbert como uma pilha Deligne-Mumford adequada e mostramos que ela fornece um exemplo geometricamente significativo de uma construção decorrente do trabalho de Maulik e Ranganathan.

1. Introdução

O estudo dos espaços de módulos é um tema central na geometria algébrica; entre os espaços de módulos, os esquemas de Hilbert formam uma importante classe de exemplos. Eles têm sido amplamente estudados na teoria da representação geométrica, na geometria enumerativa e combinatória e como os dois principais exemplos de variedades hiperk¨ahler, nomeadamente esquemas de Hilbert de pontos em superfícies K3 e variedades generalizadas de Kummer. Uma direção proeminente nesta área é compreender o espaço de módulos locais de tais objetos e, em particular, as maneiras pelas quais uma degeneração de esquemas suaves de Hilbert pode receber uma compactação modular.

Por exemplo, podemos considerar a geometria de esquemas relativos de Hilbert em uma degeneração cuja fibra central possui singularidades de cruzamento normais. Podemos então perguntar como as singularidades de tal esquema de Hilbert podem ser resolvidas preservando algumas de suas propriedades ou como ele pode ser expresso como um bom espaço de módulos. Isto então se torna um problema de compactação em relação ao limite dado pelo lugar geométrico singular. Historicamente, um método importante utilizado em problemas de módulos e compactação tem sido a Teoria Geométrica Invariante (GIT). Mais recentemente, o trabalho de Maulik e Ranganthan [MR20] explorou como métodos de geometria tropical e logarítmica podem ser usados para resolver tais questões para esquemas de Hilbert. Isso se baseia no trabalho anterior de Li [Li13] e Li e Wu [LW15] sobre degenerações expandidas para esquemas de Quot e no trabalho de Ranganathan [Ran22b] na teoria logarítmica de Gromov-Witten com expansões.

Resumidamente, o objetivo deste artigo é fornecer exemplos explícitos de tais compactações e explorar as conexões entre esses métodos.

1.1 Configuração básica

Como é mencionado na Seção 1.3, este tipo de construção pode ser aplicado para construir degenerações tipo III de esquemas de Hilbert de pontos em superfícies K3. Isso será descrito em trabalhos futuros.

1.2 Trabalhos anteriores nesta área

Seguindo [LW15], Gulbrandsen, Halle e Hulek [GHH19] apresentam uma versão GIT da construção acima no caso dos esquemas de pontos de Hilbert. Eles constroem uma degeneração expandida explícita, ou seja, uma família modificada sobre uma base maior, cujas fibras correspondem a ampliações dos componentes de X0 na família. Eles apresentam um feixe de linhas linearizadas neste espaço para a ação natural do toro e são capazes de mostrar que neste caso o critério de Hilbert-Mumford se simplifica a um critério puramente combinatório. Usando isso, eles impõem uma condição de estabilidade GIT que recupera os subesquemas transversais de dimensão zero de Li e Wu e provam que o quociente de pilha correspondente é isomórfico ao de Li e Wu. Uma motivação para este trabalho foi construir degenerações tipo II de esquemas de pontos de Hilbert em superfícies K3. De fato, as boas degenerações tipo II das superfícies K3 apresentam esses tipos de singularidades na fibra especial, que é uma cadeia de superfícies que se cruzam ao longo de curvas suaves.

Há um trabalho mais recente de Maulik e Ranganathan [MR20], baseado em ideias anteriores de Ranganathan [Ran22b] e resultados de Tevelev [Tev07], nos quais eles usam técnicas de geometria logarítmica e tropical para construir expansões apropriadas de X ! C. Isso lhes permite definir pilhas de módulos de subesquemas transversais a partir do caso em que X0 é qualquer variedade de cruzamento normal simples. Eles mostram que as pilhas assim construídas são adequadas e Deligne-Mumford. Para obter mais detalhes sobre isso, consulte a Seção 2.2.

1.3 Principais resultados

Deixe X! C ser uma degeneração semiestável de superfícies. Nas seções seguintes, propomos construções explícitas de degenerações expandidas e pilhas de comprimento estável em subesquemas de dimensão zero nessas famílias expandidas, que mostramos ter boas propriedades.

Permitindo diferentes opções de expansões. Neste artigo, discutimos apenas uma escolha específica de modelo para o esquema de pontos de Hilbert, que chamamos de pilha de módulos canônicos. Em trabalhos futuros, investigaremos como esses métodos podem ser estendidos para descrever outras opções de modelos. Consideraremos uma abordagem paralela ao trabalho de Kennedy-Hunt em esquemas de Quot logarítmicos [Ken23], bem como recuperaremos certas escolhas geometricamente significativas de pilhas de módulos decorrentes dos métodos de Maulik e Ranganathan [MR20]. Em particular, discutiremos como os componentes do tubo e a estabilidade DonaldsonThomas entram em cena nesses casos mais gerais (consulte a Seção 2.2 para definições).

1.4 Organização

Começamos, na Seção 2, fornecendo algumas informações básicas sobre geometria logarítmica e tropical, e uma visão geral do trabalho de Maulik e Ranganathan de [MR20], ao qual desejaremos nos referir em seções posteriores. Em seguida, na Seção 3, apresentamos uma construção ampliada sobre esquemas e, na Seção 4, discutimos como diversas condições de estabilidade do GIT podem ser definidas nesta construção. Na Seção 5, descrevemos uma pilha correspondente de expansões e famílias sobre ela, com base nas degenerações expandidas que construímos como esquemas. Na Seção 6, estendemos nossas condições de estabilidade a esta configuração. Mostramos então que as pilhas de objetos estáveis definidas possuem as propriedades desejadas de Deligne-Mumford e de propriedade.

Reconhecimentos . Gostaria de agradecer a Gregory Sankaran por todo o seu apoio ao longo deste projeto. Obrigado também aos meus examinadores de doutorado, Alastair Craw e Dhruv Ranganathan, por seus muitos comentários úteis. Este trabalho foi realizado enquanto financiado pelo Prêmio de Bolsa de Pesquisa da Universidade de Bath. Também sou grato a Patrick Kennedy-Hunt e Thibault Poiret pelas muitas conversas interessantes.