Combinatória de estabilidade linear para sistemas hamiltonianos em dimensão arbitrária: Introdução

Tabela de Links

• Abstrato
• Introdução
• Preliminares
• A assinatura B
• Sequência GIT: dimensões baixas
• Sequência GIT: dimensão arbitrária
• Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

1. Introdução

A estabilidade das órbitas periódicas é um tema central no estudo dos sistemas hamiltonianos, remontando ao problema da estabilidade do sistema solar na mecânica celeste. Onipresente no estudo das EDOs, a noção de estabilidade surge sempre que se estudam órbitas em famílias e suas bifurcações, prática que acarreta interesse teórico e prático. Por exemplo, do ponto de vista da concepção da missão espacial, as órbitas utilizadas para estacionar uma nave espacial em torno de uma Lua alvo devem ser tão estáveis quanto possível, a fim de minimizar as correcções de combustível e a manutenção da estação. Do ponto de vista matemático, as noções-chave de estabilidade de um sistema apresentam três sabores, relacionados pelas seguintes implicações:

Estabilidade não linear (Lyapunov) ⇒ estabilidade linear ⇒ estabilidade espectral.

A estabilidade não linear, grosso modo, significa que as trajetórias que começam perto de uma determinada órbita periódica permanecem próximas da órbita o tempo todo. A estabilidade linear corresponde à estabilidade da origem para a dinâmica linearizada, ou seja, as órbitas do sistema linearizado devem permanecer limitadas. Para um sistema hamiltoniano, isso significa que os autovalores da matriz monodromia da órbita correspondente devem estar no círculo unitário e ser semi-simples. A estabilidade espectral, por outro lado, exige que todos os autovalores estejam no círculo unitário, mas permite que eles tenham multiplicidade (de modo que as órbitas possam escapar para o infinito em tempo polinomial, em vez de exponencial). Neste artigo, focaremos na noção de estabilidade linear .

Na presença de simetria, o estudo da estabilidade linear de órbitas periódicas preservadas pela simetria pode ser significativamente refinado. Com este objetivo em mente, o primeiro autor e Urs Frauenfelder introduziram em [FM] a noção de sequência GIT, como um refinamento do diagrama de estabilidade de Broucke [Br69], através da noção de assinatura B. A sequência GIT consiste em uma sequência de três espaços e mapas entre eles cuja topologia codifica estabilidade e bifurcações de órbitas periódicas, bem como suas configurações de autovalores, e fornece obstruções à existência de cilindros regulares de órbitas. Em dimensões baixas, os espaços podem ser visualizados no plano ou no espaço tridimensional, o que os torna propícios ao trabalho numérico. Devemos notar que embora a sequência GIT seja projetada para estudar a estabilidade linear, ela confunde sua distinção com a estabilidade espectral.

Na verdade, lembre-se que o teorema de Krein-Moser fornece um critério para quando uma biurcação de Kerin pode ocorrer (ou seja, dois autovalores elípticos da matriz monodromia se unem e depois se bifurcam para fora do círculo). Nosso refinamento fornece um critério semelhante para a situação em que dois autovalores hiperbólicos se unem em um autovalor hiperbólico de multiplicidade dois e então se tornam complexos, mas para o caso de órbitas simétricas. Chamamos tal transição de transição HN, e o autovalor de alta multiplicidade, o autovalor de trânsito. Se tal transição pode ocorrer ou não é completamente determinado pela assinatura B do autovalor de trânsito. Ou seja, o seguinte resultado é uma consequência do nosso estudo topológico do grupo simplético.

Teorema A. Considere um Hamiltoniano com graus de liberdade arbitrários, admitindo uma simetria. Seja t 7→ γt , t ∈ [0, 1], uma família de órbitas periódicas simétricas, passando por uma transição HN -. Então a assinatura B do autovalor de trânsito é indefinida.

A definição de assinatura B será dada na Seção 3, e a prova deste teorema é obtida no Apêndice A.

Reconhecimentos . Os autores agradecem a Urs Frauenfelder, cujas ideias inspiraram este artigo. A. Moreno é atualmente apoiado pelo Sonderforschungsbereich TRR 191 Estruturas Simpléticas em Geometria, Álgebra e Dinâmica, financiado pelo DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191), e também pelo DFG sob a Estratégia de Excelência da Alemanha EXC 2181/1 - 390900948 (o Heidelberg ESTRUTURAS Cluster de Excelência).