```html Auteurs: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Abstract Quantum error correction offers a promising path for performing high fidelity quantum computations. Although fully fault-tolerant executions of algorithms remain unrealized, recent improvements in control electronics and quantum hardware enable increasingly advanced demonstrations of the necessary operations for error correction. Here, we perform quantum error correction on superconducting qubits connected in a heavy-hexagon lattice. We encode a logical qubit with distance three and perform several rounds of fault-tolerant syndrome measurements that allow for the correction of any single fault in the circuitry. Using real-time feedback, we reset syndrome and flag qubits conditionally after each syndrome extraction cycle. We report decoder dependent logical error, with average logical error per syndrome measurement in Z(X)-basis of ~0.040 (~0.088) and ~0.037 (~0.087) for matching and maximum likelihood decoders, respectively, on leakage post-selected data. Introductie De uitkomsten van kwantum berekeningen kunnen in de praktijk gebrekkig zijn, door ruis in de hardware. Om de resulterende fouten te elimineren, kunnen kwantum correctiecodes worden gebruikt om de kwantum informatie te coderen in beschermde, logische vrijheidsgraden, en vervolgens door de fouten sneller te corrigeren dan ze zich ophopen, fout-tolerante (FT) berekeningen mogelijk te maken. Een volledige uitvoering van QEC zal waarschijnlijk vereisen: voorbereiding van logische toestanden; realisatie van een universele set van logische poorten, wat de voorbereiding van magische toestanden kan vereisen; herhaalde metingen van syndromen; en het decoderen van de syndromen voor het corrigeren van fouten. Indien succesvol, zouden de resulterende logische foutpercentages lager moeten zijn dan de onderliggende fysieke foutpercentages, en afnemen met toenemende codeafstanden tot verwaarloosbare waarden. Het kiezen van een QEC-code vereist overweging van de onderliggende hardware en haar ruiseigenschappen. Voor een zwaar-hexagon rooster , van qubits, zijn sub-systeem QEC-codes aantrekkelijk omdat ze goed geschikt zijn voor qubits met verminderde connectiviteiten. Andere codes hebben veelbelovend getoond vanwege hun relatief hoge drempel voor FT of een groot aantal transversale logische poorten . Hoewel hun ruimte- en tijd overhead een aanzienlijke hindernis voor schaalbaarheid kan vormen, bestaan er bemoedigende benaderingen om de meest kostbare middelen te verminderen door een vorm van foutmitigatie te benutten . 1 2 3 4 5 6 In het decodeerproces hangt succesvolle correctie niet alleen af van de prestaties van de kwantumhardware, maar ook van de implementatie van de besturingselektronica die wordt gebruikt voor het verkrijgen en verwerken van de klassieke informatie verkregen uit syndroommetingen. In ons geval kan het initialiseren van zowel syndroom- als vlagqubits via real-time feedback tussen metingscycli helpen om fouten te mitigeren. Op decodeerniveau, terwijl er protocollen bestaan om QEC asynchroon uit te voeren binnen een FT-formalism , , moet de snelheid waarmee de foutensyndromen worden ontvangen in verhouding staan tot hun klassieke verwerkingstijd om een toenemende achterstand van syndroomgegevens te voorkomen. Ook vereisen sommige protocollen, zoals het gebruik van een magische toestand voor een logische -poort , de toepassing van real-time feed-forward. 7 8 T 9 Daarom is de langetermijnvisie van QEC niet gericht op één ultiem doel, maar moet deze worden gezien als een continuüm van diep onderling verbonden taken. Het experimentele pad in de ontwikkeling van deze technologie zal bestaan uit de demonstratie van deze taken eerst geïsoleerd en later hun progressieve combinatie, altijd terwijl hun geassocieerde metrics continu worden verbeterd. Sommige van deze vooruitgang wordt weerspiegeld in talrijke recente vorderingen op kwantumsystemen over verschillende fysieke platforms, die verschillende aspecten van de desiderata voor FT kwantum computing hebben gedemonstreerd of benaderd. In het bijzonder is FT logische toestandvoorbereiding gedemonstreerd op ionen , nucleaire spins in diamant en supergeleidende qubits . Herhaalde cycli van syndroomextractie zijn getoond in supergeleidende qubits in kleine foutdetectiecodes , , inclusief gedeeltelijke foutcorrectie evenals een universele (zij het niet FT) set van single-qubit gates . Een FT demonstratie van een universele poortset op twee logische qubits is onlangs gemeld in ionen . Op het gebied van foutcorrectie zijn er recente realisaties geweest van de afstand-3 oppervlaktecode op supergeleidende qubits met decoding en post-selectie , evenals een FT implementatie van een dynamisch beschermd kwantumgeheugen met behulp van de kleurcode en de FT toestandvoorbereiding, operatie en meting, inclusief de stabilizers ervan, van een logische toestand in de Bacon-Shor code in ionen , . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 Hier combineren we de mogelijkheid van real-time feedback op een supergeleidend qubitsysteem met een maximum likelihood decoding protocol dat tot nu toe experimenteel onontgonnen is, om de overlevingskans van logische toestanden te verbeteren. We demonstreren deze tools als onderdeel van de FT operatie van een subsysteemcode , de zwaar-hexagoncode , op een supergeleidende kwantumprocessor. Essentieel om onze implementatie van deze code fout-tolerant te maken, zijn vlagqubits die, wanneer ze niet-nul worden bevonden, de decoder waarschuwen voor circuitfouten. Door vlag- en syndroomqubits conditioneel te resetten na elke syndroommetingscyclus, beschermen we ons systeem tegen fouten die voortkomen uit de ruis asymmetrie die inherent is aan energie relaxatie. We maken verder gebruik van recent beschreven decodeerstrategieën en breiden de decodeerideeën uit om maximum likelihood concepten op te nemen , , . 22 1 15 4 23 24 Resultaten De zwaar-hexagoncode en multi-ronde circuits De zwaar-hexagoncode die we beschouwen is een = 9 qubit code die = 1 logische qubit codeert met afstand = 3 . De en gauge (zie Fig. a) en stabilizer groepen worden gegenereerd door n k d 1 Z X 1 De stabilizer groepen zijn de centra van de respectievelijke gauge groepen . Dit betekent dat de stabilizers, als producten van gauge operatoren, kunnen worden afgeleid uit metingen van alleen de gauge operatoren. Logische operatoren kunnen worden gekozen als = 1 2 3 en = 1 3 7. XL X X X ZL Z Z Z (blauw) en (rood) gauge operatoren (eqs. ( ) en ( )) gemapt op de 23 benodigde qubits met de afstand-3 zwaar-hexagoncode. Codequbits ( 1 − 9) worden geel getoond, syndroomqubits ( 17, 19, 20, 22) gebruikt voor stabilizers in blauw, en vlagqubits en syndromen gebruikt in stabilizers in wit. De volgorde en richting waarin CX-poorten worden toegepast binnen elke subsectie (0 tot 4) worden aangegeven door de genummerde pijlen. Circuitdiagram van één syndroommetingsronde, inclusief zowel als stabilizers. Het circuitdiagram illustreert toegestane parallellisering van poortoperaties: die binnen de grenzen bepaald door planningsbarrières (verticale gestippelde grijze lijnen). Aangezien de duur van elke twee-qubit poort verschilt, wordt de uiteindelijke poortplanning bepaald met een standaard zo-laat-mogelijk circuit transpilatiepas; waarna dynamische ontkoppeling wordt toegevoegd aan dat qubits waar de tijd het toelaat. Meting en reset operaties zijn geïsoleerd van andere poortoperaties door barrières om uniforme dynamische ontkoppeling toe te staan aan inactieve dataqubits. Decoderingsgrafieken voor drie ronden van ( ) en ( ) stabilisatormetingen met circuit-niveau ruis maken correctie van en fouten mogelijk, respectievelijk. De blauwe en rode knooppunten in de grafieken komen overeen met verschil syndromen, terwijl de zwarte knooppunten de grens zijn. Randen coderen verschillende manieren waarop fouten in het circuit kunnen optreden zoals beschreven in de tekst. Knooppunten zijn gelabeld met het type stabilisatormeting ( of ), samen met een subscript dat de stabilisator indexeert, en superscripts die de ronde aangeven. Zwarte randen, voortkomend uit Pauli fouten op codequbits (en dus slechts van grootte 2), verbinden de twee grafieken in en , maar worden niet gebruikt in de matching decoder. De size-4 hyperranden, die niet door matching worden gebruikt, maar wel door de maximum likelihood decoder. Kleuren zijn alleen voor de duidelijkheid. Het vertalen van elk in de tijd met één ronde geeft ook een geldige hyperrand (met enige variatie aan de tijdsgrenzen). Ook niet getoond zijn de size-3 hyperranden. a Z X 1 2 Q Q Q Q Q Q Z X b X Z c Z d X X Z Z X e Y c d f Hier richten we ons op een specifiek FT-circuit, veel van onze technieken kunnen algemener worden gebruikt met verschillende codes en circuits. Twee sub-circuits, getoond in Fig. b, zijn geconstrueerd om de - en -gauge operatoren te meten. De -gauge meting acquisieert ook nuttige informatie door vlagqubits te meten. 1 X Z Z We bereiden codetoestanden voor in de logische () toestand door eerst negen qubits in de () toestand voor te bereiden en de -gauge ( -gauge) te meten. We voeren vervolgens rondes van syndroommeting uit, waarbij een ronde bestaat uit een -gauge meting gevolgd door een -gauge meting (respectievelijk -gauge gevolgd door -gauge). Ten slotte lezen we alle negen codequbits uit in de ( ) basis. We voeren dezelfde experimenten uit voor initiële logische toestanden en , door simpelweg de negen qubits te initialiseren in en in plaats daarvan. X Z r Z X X Z Z X Decoderingsalgoritmen In de setting van FT kwantum computing is een decoder een algoritme dat als input syndroommetingen van een foutcorrectiecode ontvangt en een correctie op de qubits of meetgegevens uitvoert. In dit deel beschrijven we twee decoderingsalgoritmen: perfect matching decoding en maximum likelihood decoding. De decoderingshypergraaf is een beknopte beschrijving van de informatie verzameld door een FT-circuit en beschikbaar gesteld aan een decoderingsalgoritme. Het bestaat uit een set van knooppunten, of foutgevoelige gebeurtenissen, , en een set van hyperranden , die de correlaties tussen gebeurtenissen coderen veroorzaakt door fouten in het circuit. Figuur c–f toont delen van de decoderingshypergraaf voor ons experiment. 15 V E 1 Het construeren van een decoderingshypergraaf voor stabilisatorcircuits met Pauli ruis kan worden gedaan met standaard Gottesman-Knill simulaties of vergelijkbare Pauli tracing technieken . Eerst wordt een foutgevoelige gebeurtenis gemaakt voor elke meting die deterministisch is in het foutvrije circuit. Een deterministische meting is elke meting waarvan de uitkomst ∈ {0, 1} kan worden voorspeld door modulo twee de meetuitkomsten van een set van eerdere metingen op te tellen. Dat wil zeggen, voor een foutvrij circuit, , waarbij de set kan worden gevonden door simulatie van het circuit. Stel de waarde van de foutgevoelige gebeurtenis in op − (mod2), wat nul is (ook wel triviaal genoemd) in afwezigheid van fouten. Dus, het observeren van een niet-nul (ook wel niet-triviaal genoemd) foutgevoelige gebeurtenis impliceert dat het circuit ten minste één fout heeft ondergaan. In onze circuits zijn foutgevoelige gebeurtenissen ofwel vlagqubit metingen ofwel het verschil van opeenvolgende metingen van dezelfde stabilisator (ook wel verschil syndromen genoemd). 25 26 M m m FM Vervolgens worden hyperranden toegevoegd door circuitfouten te beschouwen. Ons model bevat een foutkans voor elk van verschillende circuitcomponenten pC Hier onderscheiden we de identiteitsoperatie id op qubits tijdens een tijd waarin andere qubits een unitaire poorten ondergaan, van de identiteitsoperatie idm op qubits wanneer anderen een meting en reset ondergaan. We resetten qubits nadat ze zijn gemeten, terwijl we qubits initialiseren die nog niet in het experiment zijn gebruikt. Tenslotte is cx de controlled-not gate, h is de Hadamard gate, en x, y, z zijn Pauli gates. (zie Methods “IBM_Peekskill and experimental details” voor meer details). Numerieke waarden voor worden vermeld in Methods “IBM_Peekskill and experimental details”. pC Ons foutmodel is circuit depolariserende ruis. Voor initialisatie en reset fouten wordt een Pauli toegepast met de respectieve kansen init en reset na de ideale toestandvoorbereiding. Voor meetfouten wordt Pauli toegepast met kans vóór de ideale meting. Een één-qubit unitaire poort (twee-qubit poort) lijdt met kans een van de drie (vijftien) niet-identiteit één-qubit (twee-qubit) Pauli fouten na de ideale poort. Er is een gelijke kans dat een van de drie (vijftien) Pauli fouten optreedt. X p p X C pC Wanneer een enkele fout optreedt in het circuit, veroorzaakt dit dat een deel van de foutgevoelige gebeurtenissen niet-triviaal wordt. Deze set van foutgevoelige gebeurtenissen wordt een hyperrand. De set van alle hyperranden is . Twee verschillende fouten kunnen tot dezelfde hyperrand leiden, dus elke hyperrand kan worden gezien als een representatie van een set fouten, waarvan elk individueel de gebeurtenissen in de hyperrand niet-triviaal maakt. Geassocieerd met elke hyperrand is een kans, die, op de eerste orde, de som is van de kansen van fouten in de set. E Een fout kan ook leiden tot een fout die, gepropageerd tot het einde van het circuit, anti-commuteert met een of meer van de logische operatoren van de code, wat een logische correctie noodzakelijk maakt. We nemen aan voor algemeenheid dat de code logische qubits en een basis van 2 logische operatoren heeft, maar merken op dat = 1 voor de zwaar-hexagoncode die in het experiment wordt gebruikt. We kunnen bijhouden welke logische operatoren anti-commuten met de fout met behulp van een vector uit . Dus, elke hyperrand wordt ook gelabeld met een van deze vectoren , een zogenaamde logische label. Merk op dat als de code een afstand van ten minste drie heeft, elke hyperrand een uniek logisch label heeft. k k k h Ten slotte merken we op dat een decoderingsalgoritme ervoor kan kiezen om de decoderingshypergraaf op verschillende manieren te vereenvoudigen. Een manier die we hier altijd toepassen is het proces van deflaggen. Vlagmetingen van qubits 16, 18, 21, 23 worden simpelweg genegeerd zonder correcties toe te passen. Als vlag 11 niet-triviaal is en 12 triviaal, pas dan toe op 2. Als 12 niet-triviaal is en 11 triviaal, pas dan toe op qubit 6. Als vlag 13 niet-triviaal is en 14 triviaal, pas dan toe op qubit 4. Als 14 niet-triviaal is en 13 triviaal, pas dan toe op qubit 8. Zie ref. voor details over waarom dit voldoende is voor fout-tolerantheid. Dit betekent dat in plaats van foutgevoelige gebeurtenissen van de vlagqubit metingen direct op te nemen, we de gegevens vooraf verwerken door de vlag informatie te gebruiken om virtuele Pauli correcties toe te passen en daaropvolgende foutgevoelige gebeurtenissen dienovereenkomstig aan te passen. Hyperranden voor de deflagde hypergraaf kunnen worden gevonden via stabilisatorsimulatie met de correcties. Laat het aantal ronden aangeven. Na deflaggen is de grootte van de set voor (resp. basis) experimenten ∣ ∣ = 6 + 2 (resp. 6 + 4), vanwege het meten van zes stabilizers per ronde en het hebben van twee (resp. vier) initiële foutgevoelige stabilizers na toestandvoorbereiding. De grootte van is vergelijkbaar ∣ ∣ = 60 − 13 (resp. 60 − 1) voor > 0. Z Z Z Z 15 Z Z r V Z X V r r E E r r r Rekening houdend met en fouten afzonderlijk, kan het probleem van het vinden van een minimale gewichtsfoutcorrectie voor de oppervlaktecode worden gereduceerd tot het vinden van een minimale gewichts perfecte matching in een graaf . Matching decoders worden nog steeds bestudeerd vanwege hun praktische toepasbaarheid en brede toepasbaarheid , . In dit deel beschrijven we de matching decoder voor onze afstand-3 zwaar-hexagoncode. X Z 4 27 28 29 De decoderingsgrafieken, één voor de -fouten (Fig. c) en één voor de -fouten (Fig. d), voor minimale gewichts perfecte matching zijn feitelijk subgrafieken van de decoderingshypergraaf in het vorige deel. Laten we ons hier concentreren op de grafiek voor het corrigeren van -fouten, aangezien de -foutgrafiek analoog is. In dit geval behouden we uit de decoderingshypergraaf de knooppunten die overeenkomen met (het verschil van opeenvolgende) -stabilisatormetingen en de randen (d.w.z. hyperranden met grootte twee) daartussen. Bovendien wordt een grens knooppunt gecreëerd, en worden size-one hyperranden van de vorm { } met ∈ , weergegeven door randen { , } op te nemen. Alle randen in de -foutgrafiek erven kansen en logische labels van hun corresponderende hyperranden (zie Tabel voor en -fout randgegevens voor 2-ronde experiment). X 1 Z 1 X Z VZ Z b v v VZ v b X 1 X Z Een perfect matching algoritme neemt een grafiek met gewogen randen en een even aantal gemarkeerde knooppunten, en retourneert een set van randen in de grafiek die alle gemarkeerde knooppunten in paren verbindt en een minimaal totaal gewicht heeft onder alle dergelijke rand sets. In ons geval zijn de gemarkeerde knooppunten de niet-triviale foutgevoelige gebeurtenissen (als er een oneven aantal is, wordt het grens knooppunt ook gemarkeerd), en de randgewichten zijn ofwel ingesteld op één (uniforme methode) ofwel ingesteld als , waar de randkans is (analytische methode). De laatste keuze betekent dat het totale gewicht van een rand set gelijk is aan de log-waarschijnlijkheid van die set, en minimale gewichts perfecte matching probeert deze waarschijnlijkheid over de randen in de grafiek te maximaliseren. pe Gegeven een minimale gewichts perfecte matching, kan men de logische labels van de randen in de matching gebruiken om een correctie op de logische toestand te bepalen. Alternatief is de -fout ( -fout) grafiek voor de matching decoder zodanig dat elke rand kan worden geassocieerd met een codequbit (of een meetfout), zodanig dat het opnemen van een rand in de matching een ( ) correctie impliceert die moet worden toegepast op de corresponderende qubit. X Z X Z Maximum likelihood decoding (MLD) is een optimale, zij het niet schaalbare, methode voor het decoderen van kwantum foutcorrectiecodes. In zijn oorspronkelijke concept werd MLD toegepast op fenomenologische ruismodellen waarbij fouten optreden vlak voordat syndromen worden gemeten , . Dit negeert uiteraard het meer realistische geval waarin fouten zich kunnen voortplanten door de syndroommeetcircuits. Meer recentelijk is MLD uitgebreid om circuit ruis op te nemen , . Hier beschrijven we hoe MLD circuit ruis corrigeert met behulp van de decoderingshypergraaf. 24 30 23 31 MLD leidt de meest waarschijnlijke logische correctie af gegeven een observatie van de foutgevoelige gebeurtenissen. Dit wordt gedaan door de kansverdeling Pr[ , ] te berekenen, waar foutgevoelige gebeurtenissen vertegenwoordigt en een logische correctie vertegenwoordigt. β γ We kunnen Pr[ , ] berekenen door elke hyperrand uit de decoderingshypergraaf op te nemen, Fig. c–f, beginnend bij de nul-foutverdeling, d.w.z. Pr β γ 1
