```html Auteurs: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Samenvatting Kwantumfoutcorrectie biedt een veelbelovend pad voor het uitvoeren van kwantum berekeningen met hoge betrouwbaarheid. Hoewel volledig fouttolerante uitvoeringen van algoritmen nog niet zijn gerealiseerd, maken recente verbeteringen in besturingselektronica en kwantumhardware steeds geavanceerdere demonstraties mogelijk van de noodzakelijke bewerkingen voor foutcorrectie. Hier voeren we kwantumfoutcorrectie uit op supergeleidende qubits die in een zwaar-hexagonrooster zijn verbonden. We coderen een logische qubit met afstand drie en voeren verschillende rondes van fouttolerante syndroommetingen uit die correctie van elke enkele fout in de schakeling mogelijk maken. Met behulp van real-time feedback resetten we de syndroom- en vlagqubits voorwaardelijk na elke syndroomextractiecyclus. We rapporteren decoder-afhankelijke logische fouten, met een gemiddelde logische fout per syndroommeting in de Z(X)-basis van ~0,040 (~0,088) en ~0,037 (~0,087) voor respectievelijk de matching- en maximum-likelihood-decoders, op data met post-selectie op lekkage. Introductie De uitkomsten van kwantum berekeningen kunnen in de praktijk foutief zijn, vanwege ruis in de hardware. Om de resulterende fouten te elimineren, kunnen kwantumfoutcorrectie (QEC) codes worden gebruikt om de kwantum informatie te coderen in beschermde, logische vrijheidsgraden, en vervolgens door de fouten sneller dan ze zich ophopen te corrigeren, fouttolerante (FT) berekeningen mogelijk te maken. Een volledige uitvoering van QEC zal waarschijnlijk vereisen: voorbereiding van logische toestanden; realisatie van een universele set van logische poorten, wat de voorbereiding van magische toestanden kan vereisen; herhaalde metingen van syndromen; en de decodering van de syndromen voor het corrigeren van fouten. Indien succesvol, moeten de resulterende logische foutpercentages lager zijn dan de onderliggende fysische foutpercentages, en afnemen met toenemende coderafstanden tot verwaarloosbare waarden. Het kiezen van een QEC-code vereist overweging van de onderliggende hardware en zijn ruiseigenschappen. Voor een zwaar-hexagonrooster , van qubits zijn subsystem QEC-codes aantrekkelijk omdat ze goed geschikt zijn voor qubits met verminderde connectiviteiten. Andere codes hebben veelbelovend getoond vanwege hun relatief hoge drempel voor FT of een groot aantal transversale logische poorten . Hoewel hun ruimte- en tijdsbehoeften een aanzienlijke hindernis voor schaalbaarheid kunnen vormen, bestaan er bemoedigende benaderingen om de meest kostbare middelen te verminderen door gebruik te maken van een vorm van foutmitigatie . 1 2 3 4 5 6 In het decoderingproces hangt succesvolle correctie niet alleen af van de prestaties van de kwantumhardware, maar ook van de implementatie van de besturingselektronica die wordt gebruikt voor het verkrijgen en verwerken van de klassieke informatie verkregen uit syndroommetingen. In ons geval kan het initialiseren van zowel syndroom- als vlagqubits via real-time feedback tussen meetcycli helpen bij het mitigeren van fouten. Op decoderingniveau, hoewel er protocollen bestaan om QEC asynchroon uit te voeren binnen een FT-formalisme , , moet de snelheid waarmee de foutsyndromen worden ontvangen overeenkomen met hun klassieke verwerkingstijd om een toenemende achterstand van syndroomgegevens te voorkomen. Bovendien vereisen sommige protocollen, zoals het gebruik van een magische toestand voor een logische -poort , de toepassing van real-time feed-forward. 7 8 T 9 Daarom is de langetermijnvisie van QEC niet gericht op één ultiem doel, maar moet het worden gezien als een continuüm van diep onderling verbonden taken. Het experimentele pad in de ontwikkeling van deze technologie zal bestaan uit de demonstratie van deze taken eerst in isolatie en later hun progressieve combinatie, altijd terwijl hun geassocieerde metrieken voortdurend worden verbeterd. Een deel van deze vooruitgang wordt weerspiegeld in talrijke recente vooruitgangen op kwantumsystemen op verschillende fysieke platforms, die verschillende aspecten van de desiderata voor FT kwantum computing hebben gedemonstreerd of benaderd. Met name is FT logische toestandvoorbereiding aangetoond op ionen , kernspin in diamant en supergeleidende qubits . Herhaalde cycli van syndroomextractie zijn aangetoond in supergeleidende qubits in kleine foutdetecterende codes , , inclusief gedeeltelijke foutcorrectie evenals een universele (zij het niet FT) set van single-qubit poorten . Een FT demonstratie van een universele poortset op twee logische qubits is onlangs gerapporteerd in ionen . Op het gebied van foutcorrectie zijn er recente realisaties van de afstand-3 oppervlakcode op supergeleidende qubits met decodering en post-selectie , evenals een FT implementatie van een dynamisch beschermd kwantumgeheugen met behulp van de kleurencodes en de FT toestandvoorbereiding, -bewerking en -meting, inclusief de stabilisatoren ervan, van een logische toestand in de Bacon-Shor code in ionen , . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 Hier combineren we de mogelijkheid van real-time feedback op een supergeleidend qubitsysteem met een maximum-likelihood decoderingsprotocol tot nu toe experimenteel onontgonnen, om de overlevingskans van logische toestanden te verbeteren. We demonstreren deze tools als onderdeel van de FT-werking van een subsystemcode , de zwaar-hexagoncode , op een supergeleidende kwantumprocessor. Essentieel voor het fouttolerant maken van onze implementatie van deze code zijn vlagqubits die, wanneer ze niet nul blijken te zijn, de decoder waarschuwen voor circuitfouten. Door voorwaardelijk vlag- en syndroomqubits te resetten na elke syndroommetingscyclus, beschermen we ons systeem tegen fouten die voortkomen uit de ruisasymmetrie die inherent is aan energie relaxatie. We maken verder gebruik van recent beschreven decoderingsstrategieën en breiden de decoderingsideeën uit om maximum-likelihoodconcepten op te nemen , , . 22 1 15 4 23 24 Resultaten De zwaar-hexagoncode en multi-ronde circuits De zwaar-hexagoncode die we overwegen is een = 9 qubit code die = 1 logische qubit codeert met afstand = 3 . De en gauge (zie Fig. a) en stabilisator groepen worden gegenereerd door n k d 1 Z X 1 De stabilisator groepen zijn de centra van de respectieve gauge groepen . Dit betekent dat de stabilisatoren, als producten van gauge operatoren, kunnen worden afgeleid uit metingen van alleen de gauge operatoren. Logische operatoren kunnen worden gekozen als = 1 2 3 en = 1 3 7. XL X X X ZL Z Z Z (blauw) en (rood) gauge operatoren (vergelijkingen ( ) en ( )) gemapt op de 23 benodigde qubits met de afstand-3 zwaar-hexagoncode. Codequbits ( 1 − 9) worden getoond in geel, syndroomqubits ( 17, 19, 20, 22) gebruikt voor stabilisatoren in blauw, en vlagqubits en syndromen gebruikt in stabilisatoren in wit. De volgorde en richting van CX-poorten binnen elk deelsegment (0 tot 4) worden aangegeven door de genummerde pijlen. Circuitdiagram van één syndroommetingsronde, inclusief zowel als stabilisatoren. Het circuitdiagram illustreert toegestane parallelisatie van poortbewerkingen: die binnen de grenzen bepaald door planningsbarrières (verticale gestippelde grijze lijnen). Aangezien de duur van elke twee-qubit poort verschilt, wordt de definitieve poortplanning bepaald met een standaard zo-laat-mogelijk circuit transpilatie-pas; waarna dynamische ontkoppeling wordt toegevoegd aan dataqubits waar de tijd het toelaat. Metings- en resetbewerkingen zijn geïsoleerd van andere poortbewerkingen door barrières om uniforme dynamische ontkoppeling toe te staan aan inactieve dataqubits. Decoderingsgrafieken voor drie rondes van ( ) en ( ) stabilisatormetingen met ruis op circuitlevel maken correctie van en fouten mogelijk, respectievelijk. De blauwe en rode knooppunten in de grafieken komen overeen met verschil syndromen, terwijl de zwarte knooppunten de grens zijn. Randen coderen verschillende manieren waarop fouten in het circuit kunnen optreden zoals beschreven in de tekst. Knooppunten zijn gelabeld met het type stabilisatormeting ( of ), samen met een subscript dat de stabilisator indexeert, en superscripts die de ronde aangeven. Zwarte randen, voortkomend uit Pauli fouten op codequbits (en dus alleen van grootte 2), verbinden de twee grafieken in en , maar worden niet gebruikt in de matching decoder. De hyperranden van grootte 4, die niet door matching worden gebruikt, maar wel door de maximum-likelihood decoder. Kleuren zijn alleen voor duidelijkheid. Vertaling van elk in de tijd met één ronde geeft ook een geldige hyperrand (met enige variatie aan de tijdsgrenzen). Ook niet getoond zijn eventuele hyperranden van grootte 3. a 1 2 Q Q Q Q Q Q b c d e c d f Hier richten we ons op een specifiek FT-circuit, veel van onze technieken kunnen algemener worden gebruikt met verschillende codes en circuits. Twee sub-circuits, getoond in Fig. b, worden geconstrueerd om de - en -gauge operatoren te meten. De -gauge meting circuit verkrijgt ook nuttige informatie door vlagqubits te meten. 1 We bereiden codetoestanden voor in de logische () toestand door eerst negen qubits in de () toestand voor te bereiden en de -gauge ( -gauge) te meten. We voeren dan rondes van syndroommeting uit, waarbij een ronde een -gauge meting gevolgd door een -gauge meting omvat (respectievelijk -gauge gevolgd door -gauge). Tot slot lezen we alle negen codequbits uit in de ( -basis. We voeren dezelfde experimenten uit voor initiële logische toestanden en , door simpelweg de negen qubits in en in plaats daarvan te initialiseren. Z Decoderingsalgoritmen In de context van FT kwantum computing is een decoder een algoritme dat als input syndroommetingen van een foutcorrigerende code neemt en een correctie aan de qubits of meetgegevens uitvoert. In dit gedeelte beschrijven we twee decoderingsalgoritmen: perfect matching decoding en maximum likelihood decoding. De decoderingshypergraaf is een beknopte beschrijving van de informatie verzameld door een FT-circuit en beschikbaar gesteld aan een decoderingsalgoritme. Het bestaat uit een set van knooppunten, of foutgevoelige gebeurtenissen, , en een set van hyperranden , die de correlaties tussen gebeurtenissen coderen veroorzaakt door fouten in het circuit. Figuur c–f toont delen van de decoderingshypergraaf voor ons experiment. 15 V E 1 Het construeren van een decoderingshypergraaf voor stabilisatorcircuits met Pauli-ruis kan worden gedaan met behulp van standaard Gottesman-Knill simulaties of vergelijkbare Pauli tracing technieken . Eerst wordt een foutgevoelige gebeurtenis gemaakt voor elke meting die deterministisch is in het foutloze circuit. Een deterministische meting is elke meting waarvan de uitkomst ∈ {0, 1} kan worden voorspeld door de uitkomsten van metingen uit een set van eerdere metingen modulo twee op te tellen. Dat wil zeggen, voor een foutloos circuit, , waarbij de set kan worden gevonden door simulatie van het circuit. Stel de waarde van de foutgevoelige gebeurtenis in op − (mod2), wat nul is (ook wel triviaal genoemd) bij afwezigheid van fouten. Het observeren van een niet-nul (ook wel niet-triviaal genoemd) foutgevoelige gebeurtenis impliceert dus dat het circuit ten minste één fout heeft ondergaan. In onze circuits zijn foutgevoelige gebeurtenissen ofwel vlag qubit metingen of het verschil van opeenvolgende metingen van dezelfde stabilisator (ook soms verschil syndromen genoemd). 25 26 M m m FM Vervolgens worden hyperranden toegevoegd door circuitfouten te beschouwen. Ons model bevat een foutkans voor elk van verschillende circuitcomponenten pC Hier onderscheiden we de identiteitsoperatie id op qubits tijdens een tijd waarin andere qubits een unitaire bewerking ondergaan, van de identiteitsoperatie idm op qubits wanneer anderen een meting en reset ondergaan. We resetten qubits nadat ze zijn gemeten, terwijl we qubits initialiseren die nog niet in het experiment zijn gebruikt. Tenslotte is cx de controlled-not poort, h is de Hadamard poort, en x, y, z zijn Pauli poorten. (zie Methoden “IBM_Peekskill and experimental details” voor meer details). Numerieke waarden voor worden vermeld in Methoden “IBM_Peekskill and experimental details”. pC Ons foutmodel is circuit depolariserende ruis. Voor initialisatie- en resetfouten wordt een Pauli toegepast met de respectieve kansen init en reset na de ideale toestandvoorbereiding. Voor meetfouten wordt Pauli toegepast met kans vóór de ideale meting. Een één-qubit unitaire poort (twee-qubit poort) ondergaat met kans een van de drie (vijftien) niet-identiteit één-qubit (twee-qubit) Pauli fouten na de ideale poort. Er is een gelijke kans dat elk van de drie (vijftien) Pauli fouten optreedt. X p p X C pC Wanneer een enkele fout in het circuit optreedt, veroorzaakt deze een subset van foutgevoelige gebeurtenissen die niet-triviaal worden. Deze set van foutgevoelige gebeurtenissen wordt een hyperrand. De set van alle hyperranden is . Twee verschillende fouten kunnen tot dezelfde hyperrand leiden, dus elke hyperrand kan worden beschouwd als een set van fouten, waarvan elk individueel de gebeurtenissen in de hyperrand niet-triviaal maakt. Geassocieerd met elke hyperrand is een waarschijnlijkheid, die, op de eerste orde, de som is van de waarschijnlijkheden van fouten in de set. E Een fout kan ook leiden tot een fout die, gepropageerd tot het einde van het circuit, anti-commuteert met een of meer van de logische operatoren van de code, wat een logische correctie noodzakelijk maakt. We nemen voor algemeenheid aan dat de code logische qubits en een basis van 2 logische operatoren heeft, maar merken op dat = 1 voor de zwaar-hexagoncode die in het experiment wordt gebruikt. We kunnen bijhouden welke logische operatoren anti-commuteren met de fout met behulp van een vector uit . Dus, elke hyperrand is ook gelabeld met een van deze vectoren , een logisch label genaamd. Merk op dat als de code afstand ten minste drie heeft, elke hyperrand een uniek logisch label heeft. k k k h Ten slotte merken we op dat een decoderingsalgoritme ervoor kan kiezen de decoderingshypergraaf op verschillende manieren te vereenvoudigen. Eén manier die we hier altijd toepassen is het proces van deflagging. Vlagmetingen van qubits 16, 18, 21, 23 worden simpelweg genegeerd zonder correcties toe te passen. Als vlag 11 niet-triviaal is en 12 triviaal, pas toe op 2. Als 12 niet-triviaal is en 11 triviaal, pas toe op qubit 6. Als vlag 13 niet-triviaal is en 14 triviaal, pas toe op qubit 4. Als 14 niet-triviaal is en 13 triviaal, pas toe op qubit 8. Zie ref. voor details over waarom dit voldoende is voor fouttolerantie. Dit betekent dat in plaats van foutgevoelige gebeurtenissen van de vlag qubit metingen direct op te nemen, we de gegevens voorbewerken door de vlag informatie te gebruiken om virtuele Pauli correcties toe te passen en daaropvolgende foutgevoelige gebeurtenissen dienovereenkomstig aan te passen. Hyperranden voor de deflagde hypergraaf kunnen worden gevonden via stabilisatorsimulatie die de correcties omvat. Laat het aantal rondes aangeven. Na deflagging zijn de grootte van de set voor ( basis) experimenten ∣ ∣ = 6 + 2 (resp. 6 + 4), vanwege het meten van zes stabilisatoren per ronde en het hebben van twee (resp. vier) initiële foutgevoelige stabilisatoren na toestandvoorbereiding. De grootte van is vergelijkbaar ∣ ∣ = 60 − 13 (resp. 60 − 1) voor > 0. 15 V r r E r r r Rekening houdend met en fouten afzonderlijk, kan het probleem van het vinden van een minimale gewichtsfoutcorrectie voor de oppervlakcode worden gereduceerd tot het vinden van een minimale gewichts perfecte matching in een graaf . Matching decoders blijven bestudeerd worden vanwege hun praktische toepasbaarheid en brede toepasbaarheid , . In dit gedeelte beschrijven we de matching decoder voor onze afstand-3 zwaar-hexagoncode. 4 27 28 29 De decoderingsgrafieken, één voor de -fouten (Fig. c) en één voor de -fouten (Fig. d), voor minimale gewichts perfecte matching zijn in feite subgrafieken van de decoderingshypergraaf in het vorige gedeelte. Laten we ons hier richten op de grafiek voor het corrigeren van -fouten, aangezien de -foutgraaf analoog is. In dit geval behouden we uit de decoderingshypergraaf de knooppunten die overeenkomen met (het verschil van opeenvolgende) -stabilisatormetingen en de randen (d.w.z. hyperranden met grootte twee) ertussen. Bovendien wordt een grens knooppunt gemaakt, en worden grootte-één hyperranden van de vorm { } met ∈ , weergegeven door randen { , } op te nemen. Alle randen in de -foutgraaf erven waarschijnlijkheden en logische labels van hun corresponderende hyperranden (zie Tabel voor - en -fout randgegevens voor 2-ronde experiment). 1 1 VZ v v VZ v b 1 Een perfect matching algoritme neemt een graaf met gewogen randen en een even set van gemarkeerde knooppunten, en retourneert een set van randen in de graaf die alle gemarkeerde knooppunten paarsgewijs verbindt en een minimaal totaal gewicht heeft van alle dergelijke rand sets. In ons geval zijn de gemarkeerde knooppunten de niet-triviale foutgevoelige gebeurtenissen (als er een oneven aantal is, wordt het grens knooppunt ook gemarkeerd), en de randgewichten zijn ofwel gekozen om allemaal één te zijn (uniforme methode) of ingesteld als , waarbij de randwaarschijnlijkheid is (analytische methode). De laatste keuze betekent dat het totale gewicht van een rand set gelijk is aan de log-waarschijnlijkheid van die set, en minimale gewichts perfecte matching probeert deze waarschijnlijkheid over de randen in de graaf te maximaliseren. pe Gegeven een minimale gewichts perfecte matching, kan men de logische labels van de randen in de matching gebruiken om een correctie aan de logische toestand te bepalen. Alternatief is de -fout ( -fout) graaf voor de matching decoder zodanig dat elke rand kan worden geassocieerd met een code qubit (of een meetfout), zodanig dat het opnemen van een rand in de matching een ( ) correctie impliceert die moet worden toegepast op de corresponderende qubit. Z Maximum likelihood decoding (MLD) is een optimale, zij het niet-schaalbare, methode voor het decoderen van kwantum foutcorrigerende codes. In de oorspronkelijke opzet werd MLD toegepast op fenomenologische ruismodellen waarbij fouten optreden net voordat syndromen worden gemeten , . Dit negeert uiteraard het meer realistische geval waarbij fouten zich door de syndroommeetcircuitiek kunnen voortplanten. Meer recent is MLD uitgebreid met circuitruis , . Hier beschrijven we hoe MLD circuitruis corrigeert met behulp van de decoderingshypergraaf. 24 30 23 31 MLD deduceert de meest waarschijnlijke logische correctie gegeven een observatie van de foutgevoelige gebeurtenissen. Dit wordt gedaan door de kansverdeling Pr[ , ] te berekenen, waarbij foutgevoelige gebeurtenissen vertegenwoordigt en een logische correctie vertegenwoordigt. β γ We kunnen Pr[ , ] berekenen door elke hyperrand uit de decoderingshypergraaf, Fig. c–f, op te nemen, beginnend bij de nul-foutverdeling, d.w.z. Pr[0∣ ∣, 02 ] = 1. β γ 1 V k
