```html Auteurs: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstract De ophoping van fysieke fouten , , verhindert de uitvoering van grootschalige algoritmen in huidige kwantumcomputers. Kwantumfoutcorrectie belooft een oplossing door logische qubits te coderen in een groter aantal fysieke qubits, zodat de fysieke fouten voldoende worden onderdrukt om een gewenste berekening met aanvaardbare getrouwheid uit te voeren. Kwantumfoutcorrectie wordt praktisch realiseerbaar zodra de fysieke foutenmarge onder een drempelwaarde ligt die afhangt van de keuze van de kwantumcode, het syndroommetingcircuit en het decoderingsalgoritme . We presenteren een end-to-end kwantumfoutcorrectieprotocol dat fouttolerante geheugen implementeert op basis van een familie van low-density parity-check (LDPC) codes . Onze aanpak bereikt een foutdrempel van 0,7% voor het standaard circuitgebaseerde ruismodell, vergelijkbaar met de oppervlaktecode , , , die gedurende 20 jaar de leidende code was wat betreft de foutendrempel. De syndroommetingscyclus voor een code van lengte in onze familie vereist ancilla-qubits en een circuit met diepte 8 met CNOT-poorten, qubitinitialisaties en metingen. De vereiste qubitconnectiviteit is een graaf met graad 6, bestaande uit twee vlakke, disjuncte subgrafen. In het bijzonder tonen we aan dat 12 logische qubits bijna 1 miljoen syndroomcycli kunnen behouden blijven met in totaal 288 fysieke qubits, uitgaande van een fysieke foutenmarge van 0,1%, terwijl de oppervlaktecode bijna 3.000 fysieke qubits zou vereisen om deze prestaties te bereiken. Onze bevindingen maken demonstraties van een fouttolerante kwantumgeheugen met lage overhead bereikbaar voor kwantumprocessoren van de nabije toekomst. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hoofdtekst Kwantumcomputing trok aandacht vanwege het vermogen om asymptotisch snellere oplossingen te bieden voor een reeks computationele problemen in vergelijking met de best bekende klassieke algoritmen . Men gelooft dat een functionele schaalbare kwantumcomputer kan helpen bij het oplossen van computationele problemen op gebieden zoals wetenschappelijke ontdekking, materiaalonderzoek, chemie en medicijnontwerp, om er maar een paar te noemen , , , . 5 11 12 13 14 Het belangrijkste obstakel voor het bouwen van een kwantumcomputer is de fragiliteit van kwantumgeïnformeerde, vanwege verschillende bronnen van ruis die het beïnvloeden. Aangezien het isoleren van een kwantumcomputer van externe effecten en het beheersen ervan om een gewenste berekening te induceren, in strijd zijn met elkaar, lijkt ruis onvermijdelijk. De bronnen van ruis omvatten imperfecties in qubits, gebruikte materialen, besturingsapparatuur, fouten bij de voorbereiding en meting van de toestand, en een verscheidenheid aan externe factoren, variërend van lokale door de mens gemaakte factoren, zoals afdwalende elektromagnetische velden, tot factoren die inherent zijn aan het Universum, zoals kosmische straling. Zie ref. voor een samenvatting. Hoewel sommige bronnen van ruis kunnen worden geëlimineerd met betere controle , materialen en afscherming , , , lijken verschillende andere bronnen moeilijk, zo niet onmogelijk, te verwijderen. De laatste soort kan spontane en gestimuleerde emissie in gevangen ionen omvatten , , en de interactie met het bad (Purcell-effect) in supergeleidende circuits—die beide toonaangevende kwantumtechnologieën omvatten. Foutcorrectie wordt dus een cruciale vereiste voor het bouwen van een functionele schaalbare kwantumcomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 De mogelijkheid van kwantumfouttolerantie is goed ingeburgerd . Het coderen van een logische qubit redundant in vele fysieke qubits maakt het mogelijk om fouten te diagnosticeren en te corrigeren door herhaaldelijk syndromen van pariteitscheck-operatoren te meten. Foutcorrectie is echter alleen gunstig als de hardwarefoutmarge onder een bepaalde drempelwaarde ligt die afhangt van een specifiek foutcorrectieprotocol. De eerste voorstellen voor kwantumfoutcorrectie, zoals geconcateerde codes , , , richtten zich op het aantonen van de theoretische mogelijkheid van foutonderdrukking. Naarmate het begrip van kwantumfoutcorrectie en de mogelijkheden van kwantumtechnologieën volwassener werden, verschoof de focus naar het vinden van praktische kwantumfoutcorrectieprotocollen. Dit resulteerde in de ontwikkeling van de oppervlaktecode , , , die een hoge foutdrempel van bijna 1% biedt, snelle decoderingsalgoritmen en compatibiliteit met bestaande kwantumprocessoren die afhankelijk zijn van tweedimensionale (2D) vierkante rooster-qubitconnectiviteit. Kleine voorbeelden van de oppervlaktecode met een enkele logische qubit zijn al experimenteel aangetoond door verschillende groepen , , , , . Het opschalen van de oppervlaktecode naar 100 of meer logische qubits zou echter prohibitief duur zijn vanwege de slechte coderingsefficiëntie. Dit stimuleerde interesse in meer algemene kwantumcodes, bekend als low-density parity-check (LDPC) codes . Recente vooruitgang in de studie van LDPC-codes suggereert dat ze kwantumfouttolerantie kunnen bereiken met een veel hogere coderingsefficiëntie . Hier richten we ons op de studie van LDPC-codes, aangezien ons doel is om kwantumfoutcorrectiecodes en -protocollen te vinden die zowel efficiënt zijn als praktisch realiseerbaar, gezien de beperkingen van kwantumcomputingtechnologieën. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Een kwantumfoutcorrigerende code is van het LDPC-type als elke check-operator van de code slechts op enkele qubits werkt en elke qubit deelneemt aan slechts enkele checks. Verschillende varianten van LDPC-codes zijn onlangs voorgesteld, waaronder hyperbolische oppervlaktecodes , , , hypergraaf-product , gebalanceerde productcodes , tweeblokcodes gebaseerd op eindige groepen , , , en kwantum-Tannercodes , . De laatstgenoemde zijn aangetoond , asymptotisch ‘goed’ te zijn in de zin van het bieden van een constante codering-snelheid en lineaire afstand: een parameter die het aantal corrigeerbare fouten kwantificeert. Daarentegen heeft de oppervlaktecode een asymptotisch nul codering-snelheid en slechts een vierkantswortelafstand. Het vervangen van de oppervlaktecode door een hoog-snelheid, hoog-afstands LDPC-code kan grote praktische implicaties hebben. Ten eerste kan de overhead voor fouttolerantie (de verhouding tussen het aantal fysieke en logische qubits) aanzienlijk worden verminderd. Ten tweede vertonen hoog-afstands codes een zeer scherpe afname van de logische foutenmarge: naarmate de fysieke foutenwaarschijnlijkheid de drempelwaarde overschrijdt, kan de mate van foutonderdrukking die door de code wordt bereikt, met ordes van grootte toenemen, zelfs met een kleine reductie van de fysieke foutenmarge. Dit kenmerk maakt hoog-afstands LDPC-codes aantrekkelijk voor demonstraties van de nabije toekomst die waarschijnlijk in het nabij-drempel regime zullen opereren. Het werd echter eerder geloofd dat het overtreffen van de oppervlaktecode voor realistische ruismodellen, waaronder geheugen-, poort- en state preparation en measurement (SPAM) fouten, zeer grote LDPC-codes met meer dan 10.000 fysieke qubits zou kunnen vereisen . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Hier presenteren we verschillende concrete voorbeelden van hoog-snelheid LDPC-codes met enkele honderden fysieke qubits, uitgerust met een low-depth syndroommetingcircuit, een efficiënt decoderingsalgoritme en een fouttolerante protocol voor het adresseren van individuele logische qubits. Deze codes vertonen een foutdrempel van bijna 0,7%, laten uitstekende prestaties zien in het nabij-drempel regime en bieden een 10-voudige reductie van de coderings-overhead vergeleken met de oppervlaktecode. Hardwarevereisten voor het realiseren van onze foutcorrectieprotocollen zijn relatief mild, aangezien elke fysieke qubit wordt gekoppeld door twee-qubit poorten met slechts zes andere qubits. Hoewel de qubitconnectiviteitsgraaf niet lokaal inpasbaar is in een 2D-rooster, kan deze worden ontleed in twee vlakke subgrafen met graad 3. Zoals we hieronder betogen, is dergelijke qubitconnectiviteit zeer geschikt voor architecturen gebaseerd op supergeleidende qubits. Onze codes zijn een generalisatie van fietsen (bicycle) codes voorgesteld door MacKay et al. en dieper bestudeerd in refs. , , . We hebben onze codes bivariate bicycle (BB) genoemd omdat ze gebaseerd zijn op bivariate polynomen, zoals gedetailleerd in de . Dit zijn stabilisatorcodes van het Calderbank–Shor–Steane (CSS) type , die kunnen worden beschreven door een verzameling van zes-qubit check (stabilisator) operatoren bestaande uit Pauli en . Op hoog niveau lijkt een BB-code op de tweedimensionale toruscode . In het bijzonder kunnen fysieke qubits van een BB-code worden uitgelijnd op een tweedimensionaal rooster met periodieke randvoorwaarden, zodat alle check-operatoren worden verkregen uit een enkel paar en -checks door horizontale en verticale verschuivingen van het rooster toe te passen. Echter, in tegenstelling tot de plaquette- en vertexstabilisatoren die de toruscode beschrijven, zijn de check-operatoren van BB-codes niet geometrisch lokaal. Bovendien werkt elke check op zes qubits in plaats van vier. We zullen de code beschrijven met een Tanner-graaf zodat elke knoop van ofwel een databite of een check-operator vertegenwoordigt. Een check-knoop en een dataknoop zijn verbonden door een rand als de -de check-operator niet-triviaal werkt op de -de databite (door Pauli of toe te passen). Zie Fig. voor voorbeeld Tanner-grafen van oppervlakte- en BB-codes. De Tanner-graaf van elke BB-code heeft graad 6 en een grafische dikte gelijk aan twee, wat betekent dat deze kan worden ontleed in twee disjuncte vlakke subgrafen ( ). Dik-2 qubitconnectiviteit is zeer geschikt voor supergeleidende qubits die worden gekoppeld door microgolfresonatoren. Twee vlakke lagen van koppelaars en hun besturingslijnen kunnen bijvoorbeeld aan de boven- en onderkant van de chip die de qubits host, worden bevestigd en de twee zijden kunnen worden samengevoegd. 41 35 36 42 Methoden 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Methoden , Tanner-graaf van een oppervlaktecode, ter vergelijking. , Tanner-graaf van een BB-code met parameters [[144, 12, 12]] ingebed in een torus. Elke rand van de Tanner-graaf verbindt een data- en een check-knoop. Data qubits geassocieerd met de registers ( ) en ( ) worden weergegeven door blauwe en oranje cirkels. Elke knoop heeft zes invalshoeken, waaronder vier kortetermijnranden (wijzend naar boven, beneden, links en rechts) en twee langetermijnranden. We tonen slechts enkele langetermijnranden om de duidelijkheid te bewaren. Gestippelde en doorlopende randen geven twee vlakke subgrafen aan die de Tanner-graaf bestrijken, zie de . , Schematische weergave van een Tanner-graafuitbreiding voor het meten van en volgens ref. , aangekoppeld aan een oppervlaktecode. De ancilla die overeenkomt met de meting kan worden verbonden met een oppervlaktecode, waardoor load-store-operaties voor alle logische qubits mogelijk worden gemaakt door middel van kwantumteleportatie en enkele logische eenheden. Deze uitgebreide Tanner-graaf heeft ook een implementatie in een dik-2 architectuur via de en -randen ( ). a b q L q R Methoden c 50 A B Methoden Een BB-code met parameters [[ , , ]] codeert logische qubits in data qubits die een coderafstand bieden, wat betekent dat elke logische fout ten minste data qubits omvat. We verdelen data qubits in registers ( ) en ( ) van elk /2 groot. Elke check werkt op drie qubits uit ( ) en drie qubits uit ( ). De code is afhankelijk van ancilla check-qubits om het foutsyndroom te meten. We verdelen check-qubits in registers ( ) en ( ) van elk /2 groot die syndromen van het en -type verzamelen. In totaal zijn er 2 fysieke qubits nodig voor de codering. De netto codering-snelheid is daarom = /(2 ). De standaard oppervlaktecode-architectuur codeert bijvoorbeeld = 1 logische qubit in = data qubits voor een code met afstand en gebruikt − 1 check-qubits voor syndroommetingen. De netto codering-snelheid is ≈ 1/(2 ), wat snel onpraktisch wordt als men gedwongen wordt om een grote coderafstand te kiezen, bijvoorbeeld vanwege de fysieke fouten die dicht bij de drempelwaarde liggen. Daarentegen hebben BB-codes een codering-snelheid ≫ 1/ , zie Tabel voor codevoorbeelden. Voor zover wij weten, zijn alle codes in Tabel nieuw. De afstand-12 code [[144, 12, 12]] is wellicht het meest veelbelovend voor demonstraties van de nabije toekomst, aangezien deze een grote afstand en een hoge netto codering-snelheid = 1/24 combineert. Ter vergelijking heeft de afstand-11 oppervlaktecode een netto codering-snelheid = 1/241. Hieronder tonen we aan dat de afstand-12 BB-code de afstand-11 oppervlaktecode overtreft in het experimenteel relevante bereik van foutenmarges. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Om de ophoping van fouten te voorkomen, moet het foutsyndroom voldoende vaak gemeten kunnen worden. Dit wordt bereikt met een syndroommetingcircuit dat databits in de ondersteuning van elke check-operator koppelt aan de respectievelijke ancilla-qubit via een reeks CNOT-poorten. De check-qubits worden vervolgens gemeten, waardoor de waarde van het foutsyndroom wordt onthuld. De tijd die nodig is om het syndroommetingcircuit te implementeren, is evenredig met de diepte ervan: het aantal poortlagen dat bestaat uit niet-overlappende CNOT's. Aangezien nieuwe fouten blijven optreden terwijl het syndroommetingcircuit wordt uitgevoerd, moet de diepte ervan worden geminimaliseerd. De volledige cyclus van syndroommeting voor een BB-code is geïllustreerd in Fig. . De syndroomcyclus vereist slechts zeven lagen CNOT's, ongeacht de codelengte. De check-qubits worden aan het begin en aan het einde van de syndroomcyclus geïnitialiseerd en gemeten (zie de voor details). Het circuit respecteert de cyclische verschuivingssymmetrie van de onderliggende code. 2 Methoden Volledige cyclus van syndroommetingen met zeven lagen CNOT's. We bieden een lokaal beeld van het circuit dat slechts één databite uit elk register ( ) en ( ) bevat. Het circuit is symmetrisch onder horizontale en verticale verschuivingen van de Tanner-graaf. Elke databite wordt via CNOT's gekoppeld aan drie *X-*check- en drie *Z-*check-qubits: zie de voor meer details. q L q R Methoden Het volledige foutcorrectieprotocol voert ≫ 1 syndroommetingscycli uit en roept vervolgens een decoder aan: een klassiek algoritme dat als invoer de gemeten syndromen neemt en een gok van de uiteindelijke fout op de databits oplevert. Foutcorrectie slaagt als de gegokte en de werkelijke fout overeenkomen modulo een product van check-operatoren. In dat geval hebben de twee fouten dezelfde actie op elke gecodeerde (logische) toestand. Het toepassen van de inverse van de gegokte fout brengt de databits dus terug naar de oorspronkelijke logische toestand. Anders, als de gegokte en de werkelijke fout verschillen door een niet-triviale logische operator, faalt de foutcorrectie, wat resulteert in een logische fout. Onze numerieke experimenten zijn gebaseerd op belief propagation met een ordered statistics decoder (BP-OSD) voorgesteld door Panteleev en Kalachev . Het oorspronkelijke werk beschreef BP-OSD in de context van een speelgoedruismodell met alleen geheugenfouten. Hier tonen we aan hoe BP-OSD kan worden uitgebreid naar het circuitgebaseerde ruismodell, zie de voor details. Onze aanpak volgt nauwkeurig refs. , , N c 36 36 Supplementaire Informatie 45 46 47
