GIT 시퀀스: 임의의 차원

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5. GIT 시퀀스: 임의의 차원

이러한 구성 요소 중에는 안정적인 주기 궤도에 해당하는 특별한 구성 요소인 안정 구성 요소가 있습니다. 우리는 그것의 조합론이 결합면체 의 몫에 의해 지배된다는 것을 보여줄 것입니다.

5.1. 실제 대수 기하학. 실수 계수와 n차를 갖는 모닉 다항식의 공간을 고려하십시오. 즉, 다음과 같은 형식입니다.

다항식의 판별식은 다음과 같이 정의됩니다.

예제 5.1. n = 3인 경우, 모든 다항식

변수 y = x − b/3의 변경을 통해 2차 항이 없는 다항식( 눌려진 3차 다항식)으로 변환될 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 형식입니다.

비고 5.2. 스펙트럼에 복소수 4개가 있는 경우 Bblock에는 항상 diag(1, −1) 형식의 합이 하나 이상 있습니다. 이중선형 형식으로 볼 때 이 행렬은 항상 혼합된 서명을 갖습니다. 서명이 비축퇴 이중선형 형태의 공간에서 연속적으로 동작하기 때문에 이는 나머지 고유값을 고정하면서 해당 사중이 명확한 서명의 다중도 2의 쌍곡선 또는 타원 쌍에 연결될 수 없음을 의미합니다. 이것은 Krein-Moser 정리를 암시하는 주요 관찰입니다. 부록 A. 이는 또한 대칭 궤도에 대한 개선을 의미합니다(정리 A).

비정기적 사례. 비정규적인 경우도 유사하게 처리할 수 있지만 조합론이 더 많이 포함됩니다. 실제로 A가 실수 고유값을 가지고 있다고 가정합니다.

여기서 우리는 고유값으로 ±1과 복소 고유값도 허용합니다.

우리는 다중성을 다음과 같이 나타냅니다.

결합면체. 안정 영역의 경계 조합은 다음과 같이 대안적으로 인코딩될 수 있습니다. 우리는 단순 고유값을 식별합니다.

는 고유값 νj 및 νj+1이 다중성 두 고유값으로 합쳐지고, 따라서 다음과 같이 주어진 다중성의 수축에 해당함을 나타냅니다.

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1).

마찬가지로, 추가 괄호

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

는 고유값 νj−1이 이전 다중성 2개의 고유값과 함께 다중성 3개의 고유값으로 결합되었음을 나타냅니다. 따라서 수축에 해당합니다.

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

이 구성은 명백한 방식으로 반복됩니다. 여기서 우리는 고유값이 ±1과 결합되도록 허용합니다. 즉, {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1}은 유효한 표현식입니다. 대괄호 표기법을 사용하여 대괄호 안의 요소 순서가 관련이 없음을 나타냅니다. 이 구성을 반복하면 문자열의 포셋이 생성되고(모든 열린 괄호에는 해당하는 닫힌 괄호가 수반되고 중첩된 괄호는 없음), 두 문자열 a, b는 다음의 시퀀스로 b를 얻은 경우 a ≤ b를 충족합니다. 대괄호 연산은 다음과 같습니다. 그런 다음 이 포셋은 구성을 통해 안정 영역의 경계 조합론을 인코딩합니다.

이제 위의 내용은 괄호 연산을 취하는 연산과 밀접하게 관련되어 있습니다.

위와 마찬가지로 반복합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

등등, 이제 유효한 표현식은 예를 들어 ((−1ν1)ν2)ν3(ν41)입니다. 대괄호는 표현식에서 모든 내부 괄호를 제거한 결과입니다. 즉, (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .)을 통해 기호적으로 해당 순열 그룹의 동작으로 수정한 결과입니다. (즉, 괄호 안의 요소 수에 따라 작용), 상징적으로 다음을 통해

예를 들어, 위의 표현식은 {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}이 됩니다. 여기서 이제 괄호 안의 요소 순서는 관련이 없습니다.

그러나 괄호가 있는 표현의 조합은 결합면체라고 불리는 매우 잘 알려진 폴리토프의 지배를 받습니다. 이는 (m − 2) 차원의 볼록 다포체 Km 이며, 각 꼭지점은 m개의 문자열에 여는 괄호와 닫는 괄호를 올바르게 삽입하는 방법에 해당합니다(제품 작업의 순서를 고유하게 결정한다는 의미). 가장자리는 연관성 규칙의 단일 적용에 해당합니다. 화살표가 괄호가 오른쪽으로 이동했음을 나타내는 경우 이는 포셋(poset)으로 볼 수도 있습니다(이것은 Tamari 격자입니다). 게다가 가장자리에 라벨을 붙일 수도 있습니다.

결합면체에서 안정한 영역을 얻기 위해 우리는 괄호 표기법으로 쓸 때 후자의 많은 레이블이 실제로 동일하다는 것을 관찰합니다. 그런 다음 결론을 내립니다.

즉, 안정한 영역은 결합면체의 몫과 동형이며, 여기서 우리는 대괄호 표기법으로 기록될 때 레이블이 동일해지는 지층을 식별합니다. 저차원 사례(n = 1, 2, 3)는 그림 6과 7에 나와 있습니다.