Séquence GIT : dimension arbitraire

Tableau des liens

• Abstrait
• Introduction
• Préliminaires
• La signature B
• Séquence GIT : faibles dimensions
• Séquence GIT : dimension arbitraire
• Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, améliorations et références

5. Séquence GIT : dimension arbitraire

Parmi ces composantes, il en existe une particulière, la composante stable, qui correspond aux orbites périodiques stables. Nous montrerons que sa combinatoire est gouvernée par un quotient de l' associaèdre .

5.1. Une vraie géométrie algébrique. Considérons l'espace des polynômes moniques à coefficients réels et de degré n, c'est à dire de la forme

Rappelons que le discriminant d'un polynôme est défini comme l'expression

Exemple 5.1. Pour le cas n = 3, chaque polynôme

peut être transformé via le changement de variables y = x − b/3 en un polynôme sans terme de degré 2 (un polynôme cubique déprimé ), c'est à dire de la forme

Remarque 5.2. Notez que s'il y a des quadruples complexes dans le spectre, alors le Bblock a toujours au moins un summand de la forme diag(1, −1). Considérée comme une forme bilinéaire, cette matrice a toujours une signature mixte. Comme les signatures se comportent de manière continue dans l'espace des formes bilinéaires non dégénérées, cela implique que le quadruple correspondant ne peut pas être connecté à une paire hyperbolique ou elliptique de multiplicité deux de signature définie, tout en fixant les valeurs propres restantes. C’est la principale observation qu’implique le théorème de Krein-Moser, cf. Annexe A. C'est aussi ce qui implique son raffinement pour les orbites symétriques (Théorème A).

Cas non réguliers. Les cas non réguliers peuvent être traités de la même manière, bien que la combinatoire soit plus impliquée. En effet, supposons que A ait des valeurs propres réelles

où nous autorisons également ±1 comme valeur propre et les valeurs propres complexes

On note les multiplicités par

L'associaèdre. La combinatoire des limites de la région stable peut être alternativement codée comme suit. Nous identifions les valeurs propres simples

indique que les valeurs propres νj et νj+1 se rejoignent en une multiplicité deux valeur propre, et correspond donc à la contraction des multiplicités donnée par

(1, . . . , 1) 7 → (1, . . . , 2, . . . , 1).

De même, une autre parenthèse

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

indique que la valeur propre νj−1 s'est réunie avec la valeur propre de multiplicité deux précédente en une valeur propre de multiplicité trois, et correspond donc à la contraction

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

Cette construction se répète de manière évidente. Ici, nous permettons également aux valeurs propres de se réunir avec ±1, c'est-à-dire que {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} est une expression valide. Notez que nous utilisons la notation entre parenthèses pour indiquer que l’ordre des éléments entre parenthèses n’a pas d’importance. L'itération de cette construction aboutit à un ensemble de chaînes (dans lequel toutes les parenthèses ouvertes sont accompagnées d'une parenthèse fermée correspondante, et il n'y a pas de parenthèses imbriquées), et où deux chaînes a, b satisfont a ≤ b si b est obtenu par une séquence de entre parenthèses les opérations de a. Ce poset code ensuite la combinatoire des limites de la région stable, par construction.

Or, ce qui précède est intimement lié à l’opération de prise de parenthèses.

et en les itérant, de la même manière que ci-dessus, par exemple comme

et ainsi de suite, où maintenant une expression valide est par exemple ((−1ν1)ν2)ν3(ν41). La parenthèse est alors le résultat de la suppression de toutes les parenthèses intérieures dans une expression, c'est à dire symboliquement via (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .), et de la modification par l'action du groupe de permutation correspondant (c'est-à-dire agissant sur le nombre d'éléments à l'intérieur du support), symboliquement via

Par exemple, l'expression ci-dessus devient {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, où désormais l'ordre des éléments à l'intérieur de la parenthèse n'a plus d'importance.

Mais la combinatoire des expressions avec parenthèses est régie par un polytope très connu, appelé l'associaèdre. Il s'agit du polytope convexe de dimension (m − 2) K m dans lequel chaque sommet correspond à une manière d'insérer correctement des parenthèses ouvrantes et fermantes dans une chaîne de m lettres (ce qui signifie qu'il détermine de manière unique l'ordre des opérations sur le produit), et les arêtes correspondent à une application unique de la règle d'associativité. Cela peut également être considéré comme un poset, lorsque la flèche indique que les parenthèses ont été déplacées vers la droite (c'est le treillis Tamari). De plus, on peut aussi étiqueter les bords

Afin d'obtenir la région stable à partir de l'associaèdre, nous observons que de nombreuses étiquettes dans ce dernier sont en fait équivalentes lorsqu'elles sont écrites avec la notation parenthèses. Nous concluons alors :

En d’autres termes, la région stable est homéomorphe à un quotient de l’associaèdre, où l’on identifie les strates dont l’étiquette devient équivalente lorsqu’elle est écrite entre parenthèses. Les cas de faible dimension (n = 1, 2, 3) sont représentés dans les figures 6 et 7.