Secuencia GIT: dimensión arbitraria

Tabla de enlaces

• Abstracto
• Introducción
• Preliminares
• La firma B
• Secuencia GIT: dimensiones bajas
• Secuencia GIT: dimensión arbitraria
• Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

5. Secuencia GIT: dimensión arbitraria

Entre estos componentes, hay uno especial, el componente estable, que corresponde a órbitas periódicas estables. Demostraremos que su combinatoria se rige por un cociente del asociaedro .

5.1. Algo de geometría algebraica real. Consideremos el espacio de polinomios mónicos con coeficientes reales y de grado n, es decir de la forma

Recuerde que el discriminante de un polinomio se define como la expresión

Ejemplo 5.1. Para el caso n = 3, cada polinomio

se puede transformar mediante el cambio de variables y = x − b/3 a un polinomio sin término de grado 2 (un polinomio cúbico deprimido ), es decir, de la forma

Observación 5.2. Tenga en cuenta que si hay cuádruples complejos en el espectro, entonces el bloque B siempre tiene al menos un sumando de la forma diag(1, −1). Vista como una forma bilineal, esta matriz siempre tiene una firma mixta. Como las firmas se comportan continuamente en el espacio de formas bilineales no degeneradas, esto implica que el cuádruple correspondiente no puede conectarse a un par hiperbólico o elíptico de multiplicidad dos de firma definida, mientras se fijan los valores propios restantes. Ésta es la principal observación que implica el teorema de Krein-Moser, cf. Apéndice A. Esto es también lo que implica su refinamiento para órbitas simétricas (Teorema A).

Casos no regulares. Los casos no regulares se pueden tratar de manera similar, aunque la combinatoria se involucra más. De hecho, supongamos que A tiene valores propios reales

donde también permitimos ±1 como valor propio y valores propios complejos

Denotamos las multiplicidades por

El asociaedro. La combinatoria de límites de la región estable se puede codificar alternativamente de la siguiente manera. Identificamos los valores propios simples.

indica que los valores propios νj y νj+1 se unen en un valor propio de multiplicidad dos, y por lo tanto corresponde a la contracción de multiplicidades dada por

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1).

Del mismo modo, un paréntesis adicional

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj, νj+1} . . . νl1

indica que el valor propio νj−1 se unió con el valor propio de multiplicidad dos anterior en un valor propio de multiplicidad tres, y por lo tanto corresponde a la contracción

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

Esta construcción se repite de la manera obvia. Aquí también permitimos que los valores propios se unan con ±1, es decir, {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} es una expresión válida. Tenga en cuenta que utilizamos la notación entre corchetes para indicar que el orden de los elementos entre corchetes es irrelevante. La iteración de esta construcción da como resultado un conjunto de cadenas (en el que todos los corchetes abiertos van acompañados de uno cerrado correspondiente y no hay corchetes anidados), y donde dos cadenas a, b satisfacen a ≤ b si b se obtiene mediante una secuencia de operaciones entre paréntesis de a. Este poset luego codifica la combinatoria de límites de la región estable, por construcción.

Ahora bien, lo anterior está íntimamente relacionado con la operación de tomar operaciones entre paréntesis.

e iterarlos, de manera similar a lo anterior, por ejemplo, como

y así sucesivamente, donde ahora una expresión válida es, por ejemplo ((−1ν1)ν2)ν3(ν41). El corchete es entonces el resultado de eliminar todos los paréntesis interiores en una expresión, es decir, simbólicamente mediante (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .), y modificarlo mediante la acción del grupo de permutación correspondiente. (es decir, actuando sobre el número de elementos dentro del corchete), simbólicamente a través de

Por ejemplo, la expresión anterior se convierte en {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, donde ahora el orden de los elementos dentro del paréntesis es irrelevante.

Pero la combinatoria de expresiones entre paréntesis se rige por un politopo muy conocido, llamado asociaedro. Este es el politopo convexo K m de (m − 2) dimensiones en el que cada vértice corresponde a una forma de insertar correctamente paréntesis de apertura y cierre en una cadena de m letras (lo que significa que determina de forma única el orden de las operaciones del producto), y los bordes corresponden a una sola aplicación de la regla de asociatividad. Esto también se puede ver como un poset, cuando la flecha indica que los paréntesis se han movido hacia la derecha (esta es la red de Tamari). Además, también se pueden etiquetar los bordes.

Para obtener la región estable del asociaedro, observamos que muchas etiquetas en este último son en realidad equivalentes cuando se escriben con la notación entre corchetes. Luego concluimos:

En otras palabras, la región estable es homeomorfa a un cociente del asociaedro, donde identificamos aquellos estratos cuya etiqueta se vuelve equivalente cuando se escribe entre paréntesis. Los casos de dimensiones bajas (n = 1, 2, 3) se representan en las Figuras 6 y 7.